Mathématiques — 6ème
Les probabilités — Maths Sixième (chapitre 18)
Expérience aléatoire et issues, la probabilité est un nombre compris entre 0 et 1, évènement impossible et évènement certain, calculer une probabilité en…
Par ProfBot
Les probabilités
Chapitre 18 — Organisation et gestion de données · Sixième
On ne peut pas savoir de quel côté tombera une pièce. On peut pourtant en dire quelque chose de très précis : « une chance sur deux ». Ce chapitre transforme cette expression du langage courant en un nombre — et ce nombre, on sait le calculer, le comparer, et le confronter à l'expérience.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Organisation et gestion de données et probabilités, thème Les probabilités :
« Savoir que la probabilité d'un évènement est un nombre compris entre $0$ et $1$ » ; « Calculer des probabilités dans des situations simples d'équiprobabilité » ; « Comparer des résultats d'une expérience aléatoire répétée à une probabilité calculée ».
Le programme précise que « l'objectif majeur est de passer de la traduction d'une probabilité en termes de chances ($a$ chances sur $b$) à son expression par le nombre égal au quotient $\frac{a}{b}$ », et qu'« il n'est pas attendu que l'élève utilise le vocabulaire spécifique (expérience, issue, univers, évènement) de manière autonome ».
1. Le hasard, et ce qu'on peut en dire
Lancer un dé, tirer une boule sans regarder, jouer à pile ou face : ce sont des expériences aléatoires. On connaît tous les résultats possibles — on les appelle les issues — mais on ne sait pas lequel sortira.
Pour un dé à six faces, les issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$ : il y en a six, et pas une de plus.
Le hasard n'a pas de mémoire. Après quatre « pile » d'affilée, la pièce a toujours exactement une chance sur deux de retomber sur pile. Elle ne « doit » rien à personne, et ne rattrape rien. C'est l'erreur de raisonnement la plus répandue sur les jeux de hasard.
2. Un nombre entre 0 et 1
Définition. La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure ses chances de se produire.
- Un évènement impossible a une probabilité de $\mathbf{0}$.
- Un évènement certain a une probabilité de $\mathbf{1}$.
Avec un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$ :
- « obtenir $7$ » est impossible : probabilité $0$ ;
- « obtenir un nombre entier entre $1$ et $6$ » est certain : probabilité $1$ ;
- « obtenir $6$ » a une probabilité de $\dfrac{1}{6}$, proche de $0$ mais non nulle.
Aucune probabilité ne dépasse $1$. Un résultat comme $\frac{7}{6}$ ou $120\ \%$ signale à coup sûr une erreur de calcul : on ne peut pas être « plus que certain ». C'est le premier contrôle à faire sur toute réponse.
3. Calculer une probabilité
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire — on dit qu'il y a équiprobabilité —, le calcul est simple :
$P = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$
Avec un dé équilibré : $P(\text{obtenir } 4) = \frac{1}{6} \qquad\qquad P(\text{obtenir un nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Dans une urne de $3$ boules noires et $7$ boules blanches, toutes identiques au toucher : $P(\text{noire}) = \frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\ \% \qquad P(\text{blanche}) = \frac{7}{10} = 0{,}7 = 70\ \%$
Trois écritures pour le même nombre : fraction, écriture décimale, pourcentage — exactement comme au chapitre 6.
Le mot « équilibré » n'est pas décoratif. Le calcul $\frac{\text{favorables}}{\text{total}}$ suppose que toutes les issues sont également probables. Avec un dé pipé ou une urne où une boule est plus grosse, il ne vaut plus rien.
Le lien avec le langage courant : « une chance sur quatre » s'écrit désormais $\dfrac{1}{4}$, c'est-à-dire $0{,}25$ ou $25\ \%$.
La somme fait toujours $1$. Les probabilités de toutes les issues, additionnées, donnent $1$ : $\frac{3}{10}+\frac{7}{10} = 1$. C'est logique — il est certain qu'on tirera une boule.
4. Répéter l'expérience
La probabilité d'obtenir pile est $\dfrac{1}{2}$. Cela ne veut pas dire qu'en $10$ lancers on obtiendra exactement $5$ piles.
En revanche, si l'on répète beaucoup, la fréquence observée — la proportion de piles obtenus — se rapproche de la probabilité. Sur les $500$ lancers simulés ci-dessus, la fréquence part dans tous les sens au début, puis se stabilise autour de $0{,}5$ : elle vaut $0{,}540$ à l'arrivée, soit $54\ \%$.
Fréquence et probabilité sont deux choses différentes. La probabilité se calcule avant l'expérience ; la fréquence se constate après. Elles se rejoignent quand le nombre d'essais devient grand — et l'écart, lui, ne disparaît jamais complètement.
En classe. Chacun lance $20$ fois une pièce ; on met en commun. Avec $25$ élèves, cela fait $500$ lancers, et la fréquence obtenue est bien plus proche de $0{,}5$ que celle d'un seul élève.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Impossible, certain, ou entre les deux ?
Placer chaque évènement sur l'échelle de $0$ à $1$. a. Obtenir $8$ en lançant un dé à six faces. b. Obtenir un nombre inférieur à $10$ avec ce même dé. c. Obtenir pile avec une pièce équilibrée. d. Obtenir un $1$ dix fois de suite.
Correction. a. Impossible : probabilité $\mathbf{0}$. b. Certain : probabilité $\mathbf{1}$. c. Probabilité $\mathbf{\frac{1}{2}}$ — au milieu de l'échelle. d. Possible, mais très improbable : tout près de $0$, sans être nul.
La nuance de d est importante : « très peu probable » n'est pas « impossible ». Un évènement de probabilité minuscule peut se produire.
Exercice 2 — Avec un dé
On lance un dé équilibré à six faces. Calculer la probabilité d'obtenir : a. le nombre $5$ · b. un nombre impair · c. un nombre supérieur ou égal à $5$ · d. un multiple de $3$
Correction. a. $\dfrac{1}{6}$ b. $1$, $3$ et $5$ conviennent : $\dfrac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}}$ c. $5$ et $6$ conviennent : $\dfrac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$ d. $3$ et $6$ conviennent : $\dfrac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$
Exercice 3 — Le sac de billes
Un sac contient $20$ billes identiques : $5$ bleues, $7$ rouges et $8$ vertes. On en tire une sans regarder. a. Quelle est la probabilité d'obtenir une bille bleue ? L'exprimer en fraction, en décimal et en pourcentage. b. Et une bille rouge ? c. Vérifier que les trois probabilités font $1$.
Correction. a. $\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = \mathbf{25\ \%}$ b. $\dfrac{7}{20} = 0{,}35 = \mathbf{35\ \%}$ c. $\dfrac{5}{20}+\dfrac{7}{20}+\dfrac{8}{20} = \dfrac{20}{20} = 1$ ✔ — soit $25+35+40 = 100\ \%$.
Exercice 4 — Fabriquer une probabilité
Un sac doit contenir $12$ billes, bleues ou rouges, de sorte que la probabilité de tirer une bille bleue soit $\dfrac{1}{4}$. Combien faut-il de billes de chaque couleur ?
Correction. $\dfrac{1}{4}$ de $12$, c'est $12\div4 = \mathbf{3}$ billes bleues, donc $12-3 = \mathbf{9}$ rouges. Contrôle : $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 25\ \%$ ✔
Exercice 5 — La roue
Une roue de loterie est partagée en $8$ secteurs égaux : $3$ rouges, $4$ jaunes et $1$ noir. a. Quelle est la probabilité de tomber sur le noir ? b. Sur le jaune ? c. Sur une couleur qui n'est pas le rouge ?
Correction. a. $\mathbf{\frac{1}{8}}$ b. $\dfrac{4}{8} = \mathbf{\frac{1}{2}}$ c. Les secteurs non rouges sont au nombre de $4+1 = 5$ : $\mathbf{\frac{5}{8}}$. Contrôle : $\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{8} = 1$ ✔
Les secteurs doivent être égaux : sinon, compter les secteurs ne donnerait pas la probabilité.
Exercice 6 — Deux pièces
On lance deux pièces équilibrées. a. Écrire toutes les issues possibles. b. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois pile ? c. Quelle est la probabilité d'obtenir un pile et un face ?
Correction. a. Quatre issues : (P ; P), (P ; F), (F ; P), (F ; F). b. Une seule convient : $\mathbf{\frac{1}{4}}$. c. Deux conviennent — (P ; F) et (F ; P) : $\dfrac{2}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}}$.
Le piège est en c : « un pile et un face » n'est pas une issue mais deux, selon la pièce qui donne pile. C'est pourquoi ce résultat est deux fois plus fréquent que « deux piles ».
Exercice 7 — Fréquence et probabilité
Une classe lance une pièce $500$ fois en tout et obtient $270$ piles. a. Quelle est la fréquence de « pile » ? b. Est-ce compatible avec une pièce équilibrée ? c. Que se passerait-il avec $5\,000$ lancers ?
Correction. a. $\dfrac{270}{500} = 0{,}54 = \mathbf{54\ \%}$. b. Oui : $0{,}54$ est proche de $0{,}5$. Un écart de $20$ piles sur $500$ lancers n'a rien d'anormal. c. La fréquence se rapprocherait encore davantage de $0{,}5$ — sans forcément l'atteindre exactement.
Exercice 8 — Vrai ou faux
a. Une probabilité peut valoir $1{,}5$. b. Si la probabilité d'un évènement est $0$, il ne se produira jamais. c. Après trois « face » de suite, « pile » a plus de chances de sortir. d. Sur $10$ lancers d'une pièce, on obtient toujours $5$ piles.
Correction. a. Faux : une probabilité est comprise entre $0$ et $1$. b. Vrai : c'est la définition d'un évènement impossible. c. Faux : la pièce n'a pas de mémoire, c'est toujours $\dfrac{1}{2}$. d. Faux : c'est le résultat le plus fréquent, mais pas une règle. On peut très bien obtenir $3$ ou $7$ piles.
À retenir
Une probabilité est un nombre compris entre $\mathbf{0}$ et $\mathbf{1}$ : $0$ pour un évènement impossible, $1$ pour un évènement certain.
En situation d'équiprobabilité : $P = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$
Elle s'écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage : $\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\ \%$. « Une chance sur quatre » et $\dfrac{1}{4}$ disent la même chose.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.
Fréquence $\neq$ probabilité : la fréquence se constate après l'expérience et se rapproche de la probabilité quand on répète beaucoup.
Le hasard n'a pas de mémoire : les lancers précédents ne changent rien au suivant.
Chapitre suivant : l'algorithmique et la programmation.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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