Mathématiques — 6ème
Aires et volumes — Maths Sixième (chapitre 10)
Comparer des aires par superposition ou découpage-recollement, l'unité d'aire, aire du carré et du rectangle, figures composées, conversions entre m², dm²…
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Aires et volumes
Chapitre 10 — Grandeurs et mesures · Sixième
Le périmètre mesure le tour d'une figure ; l'aire mesure la surface qu'elle occupe. Deux grandeurs différentes, souvent confondues — et l'une n'entraîne pas l'autre. On terminera par une troisième grandeur, le volume, mesurée à l'aide de petits cubes.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Grandeurs et mesures :
Les aires, automatismes — « comparer des aires sans avoir recours à la mesure, par superposition ou par découpage et recollement » ; « $1$ cm² est l'aire d'un carré de $1$ cm de côté » ; déterminer une aire à l'appui d'un quadrillage ; « $1$ m² $=$ $100$ dm² » et « $1$ dm² $=$ $100$ cm² ».
objectifs — « Effectuer des conversions d'aire » ; « Connaître la formule de l'aire d'un carré ou d'un rectangle » ; « Calculer l'aire d'un carré ou d'un rectangle ».
Les volumes — « Connaître l'unité centimètre cube » ; « Comparer des volumes » ; « Déterminer un volume ».
1. Comparer sans mesurer
Avant tout calcul, deux façons de comparer deux aires sans aucun nombre :
- la superposition : si une figure recouvre exactement l'autre, elles ont la même aire ;
- le découpage et recollement : si l'on peut découper la première et en recoller les morceaux pour obtenir la seconde, les aires sont égales.
Sur la figure, la pièce carrée détachée du haut de la figure en L vient se placer au bout de la bande du bas : on obtient un rectangle de $7$ sur $2$. Les deux figures ont donc la même aire, $14$ carreaux.
Même aire ne veut pas dire même périmètre. Ici, les deux contours mesurent l'un et l'autre $18$ carreaux — on peut le vérifier en les parcourant — mais ce n'est qu'une coïncidence de cet exemple. Un rectangle de $9$ sur $4$ et un carré de côté $6$ ont tous deux une aire de $36$ carreaux, et des périmètres différents : $26$ et $24$. Aire et périmètre sont deux grandeurs indépendantes.
2. Mesurer une aire
Définition. L'aire d'une figure est la mesure de la surface qu'elle occupe. L'unité usuelle est le centimètre carré, noté $\text{cm}^2$ : c'est l'aire d'un carré de $1$ cm de côté.
De même, $1\ \text{dm}^2$ est l'aire d'un carré de $1$ dm de côté, $1\ \text{m}^2$ celle d'un carré de $1$ m de côté, $1\ \text{mm}^2$ celle d'un carré de $1$ mm de côté et $1\ \text{km}^2$ celle d'un carré de $1$ km de côté.
Sur un quadrillage au centimètre, il suffit alors de compter les carreaux. Et dès que la figure est un rectangle, on n'a même plus besoin de compter : $4$ carreaux par rangée sur $2$ rangées, cela fait $4\times2 = 8$ carreaux.
3. Les deux formules
$\text{carré : } \mathcal{A} = c\times c \qquad\qquad \text{rectangle : } \mathcal{A} = L\times\ell$
Un carré de $4{,}5$ cm de côté a pour aire $4{,}5\times4{,}5 = 20{,}25\ \text{cm}^2$. Un rectangle de $12$ m sur $7{,}5$ m a pour aire $12\times7{,}5 = 90\ \text{m}^2$.
Une aire s'exprime en unités CARRÉES. Écrire « l'aire vaut $90$ m » est une faute de sens, pas une faute d'orthographe : $90$ m est une longueur. Et les deux dimensions doivent être dans la même unité avant de multiplier.
Les figures composées se découpent. Une figure en L se voit comme deux rectangles accolés — ou comme un grand rectangle dont on retire un morceau :
- par découpage : $8\times3 + 5\times2 = 24+10 = 34\ \text{cm}^2$ ;
- par soustraction : $8\times5 - 3\times2 = 40-6 = 34\ \text{cm}^2$.
Les deux méthodes donnent le même résultat : c'est le contrôle.
Périmètre et aire ne se calculent pas de la même façon. Pour le périmètre, on additionne des longueurs ; pour l'aire, on multiplie deux longueurs. Un rectangle de $6$ cm sur $2$ cm a pour périmètre $16$ cm et pour aire $12\ \text{cm}^2$ : deux nombres différents, deux unités différentes, deux questions différentes.
4. Convertir des aires
Un carré de $1$ dm de côté, c'est un carré de $10$ cm de côté. Il contient donc $10$ rangées de $10$ carreaux :
$1\ \text{dm}^2 = 10\times10 = 100\ \text{cm}^2 \qquad\qquad 1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2$
Entre deux unités d'aire voisines, le facteur est $100$, pas $10$. C'est la conséquence directe de ce que les deux dimensions sont multipliées par $10$ : $10\times10 = 100$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre — et elle se corrige toujours en redessinant le carré découpé.
Exemples. $3{,}7\ \text{m}^2 = 370\ \text{dm}^2 \qquad 370\ \text{cm}^2 = 3{,}7\ \text{dm}^2 \qquad 0{,}5\ \text{m}^2 = 50\ \text{dm}^2$
En sixième, on convertit entre m² et dm², et entre dm² et cm² — pas au-delà. Le programme est explicite : « les autres conversions d'aire ne figurent pas au programme ». Pour passer des m² aux cm², il faudrait franchir deux marches d'un coup ; ce sera pour plus tard.
5. Les volumes
Définition. Le centimètre cube, noté $\text{cm}^3$, est le volume d'un cube de $1$ cm d'arête.
Comparer deux volumes faits de cubes identiques, c'est comparer le nombre de cubes. Déterminer un volume, c'est les dénombrer.
Pour ne pas en oublier, on compte par couches. L'assemblage de la figure a $4$ cubes de large et $3$ de profondeur, soit $4\times3 = 12$ cubes par couche ; il a $2$ couches, donc $24$ cubes : $\mathcal{V} = 24\ \text{cm}^3.$
Les cubes cachés comptent aussi. Sur un dessin en perspective, on ne voit jamais tous les cubes : ceux du fond et du dessous sont masqués. Compter uniquement ce qu'on voit donne toujours un résultat trop petit — c'est pour cela qu'on raisonne par couches entières plutôt qu'en pointant les cubes un à un.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Aires de rectangles et de carrés
Calculer l'aire : a. d'un carré de côté $6$ cm ; b. d'un rectangle de $9$ cm sur $4$ cm ; c. d'un carré de côté $2{,}5$ m ; d. d'un rectangle de $12$ m sur $7{,}5$ m.
Correction. a. $6\times6 = \mathbf{36\ \text{cm}^2}$ b. $9\times4 = \mathbf{36\ \text{cm}^2}$ c. $2{,}5\times2{,}5 = \mathbf{6{,}25\ \text{m}^2}$ d. $12\times7{,}5 = \mathbf{90\ \text{m}^2}$
Les figures a et b ont la même aire, $36\ \text{cm}^2$, mais pas le même périmètre : $24$ cm pour le carré, $26$ cm pour le rectangle.
Exercice 2 — Périmètre ou aire ?
Pour chaque question, dire s'il s'agit d'un périmètre ou d'une aire. a. Quelle longueur de plinthes pour faire le tour d'une pièce ? b. Combien de peinture pour un mur ? c. Quelle longueur de ruban pour entourer un cadre ? d. Combien de pelouse pour couvrir un jardin ?
Correction. a. Périmètre · b. Aire · c. Périmètre · d. Aire
La règle pratique : ce qui entoure relève du périmètre, ce qui recouvre relève de l'aire.
Exercice 3 — Conversions
Convertir : a. $4\ \text{m}^2$ en dm² · b. $250\ \text{cm}^2$ en dm² · c. $0{,}3\ \text{m}^2$ en dm² · d. $7{,}5\ \text{dm}^2$ en cm²
Correction. a. $4\times100 = \mathbf{400\ \text{dm}^2}$ b. $250\div100 = \mathbf{2{,}5\ \text{dm}^2}$ c. $0{,}3\times100 = \mathbf{30\ \text{dm}^2}$ d. $7{,}5\times100 = \mathbf{750\ \text{cm}^2}$
On multiplie ou on divise par $100$ — jamais par $10$. Pour vérifier le sens : une aire donnée en petites unités a une grande mesure.
Exercice 4 — Figure composée
Une figure en L a pour dimensions extérieures $8$ cm sur $5$ cm ; il lui manque, dans le coin supérieur droit, un rectangle de $3$ cm sur $2$ cm. a. Calculer son aire par soustraction. b. La calculer par découpage, et comparer.
Correction. a. $8\times5 - 3\times2 = 40-6 = \mathbf{34\ \text{cm}^2}$. b. Bande du bas $8\times3 = 24$, bloc du haut $5\times2 = 10$ : $24+10 = \mathbf{34\ \text{cm}^2}$ ✔
Deux chemins, un seul résultat : c'est le meilleur contrôle possible. Si les deux nombres diffèrent, c'est qu'une dimension a été mal lue.
Exercice 5 — Le mur à peindre
Un mur mesure $4$ m de long et $2{,}5$ m de haut. Un pot de peinture couvre $12\ \text{m}^2$. a. Quelle est l'aire du mur ? b. Un pot suffit-il ? c. Et pour trois murs identiques ?
Correction. a. $4\times2{,}5 = \mathbf{10\ \text{m}^2}$. b. $10 < 12$ : oui, un pot suffit. c. $3\times10 = 30\ \text{m}^2$. Comme $2\times12 = 24 < 30$ et $3\times12 = 36 > 30$, il faut $3$ pots.
En c, le résultat de la division $30\div12 = 2{,}5$ doit être arrondi au-dessus : on n'achète pas un demi-pot, et deux pots ne suffiraient pas.
Exercice 6 — Le carrelage
Une pièce rectangulaire mesure $4$ m sur $3$ m. On la carrelle avec des carreaux carrés de $5$ dm de côté. a. Quelle est l'aire de la pièce, en dm² ? b. Quelle est l'aire d'un carreau ? c. Combien de carreaux faut-il ?
Correction. a. $4\times3 = 12\ \text{m}^2$, et $12\times100 = \mathbf{1\,200\ \text{dm}^2}$. b. $5\times5 = \mathbf{25\ \text{dm}^2}$. c. $1\,200\div25 = \mathbf{48}$ carreaux.
Contrôle par une autre route : la pièce mesure $40$ dm sur $30$ dm, soit $8$ carreaux par rangée et $6$ rangées — et $8\times6 = 48$ ✔
Exercice 7 — Compter des cubes
Un assemblage est fait de cubes de $1$ cm d'arête : $5$ cubes de large, $4$ de profondeur, $3$ de haut. a. Combien de cubes par couche ? b. Quel est son volume ? c. Un autre assemblage compte $2$ couches de $28$ cubes. Lequel a le plus grand volume ?
Correction. a. $5\times4 = \mathbf{20}$ cubes. b. $3$ couches de $20$ : $\mathbf{60\ \text{cm}^3}$. c. $2\times28 = 56$ cubes, soit $56\ \text{cm}^3$ : le premier assemblage est le plus volumineux ($60 > 56$).
Comparer deux volumes faits des mêmes cubes ne demande aucune formule : il suffit de comparer les nombres de cubes.
Exercice 8 — Vrai ou faux
a. Deux rectangles de même aire ont le même périmètre. b. $1\ \text{m}^2 = 10\ \text{dm}^2$. c. Si on double le côté d'un carré, on double son aire. d. Un volume peut se mesurer en cm³.
Correction. a. Faux : $9\times4$ et $6\times6$ valent tous deux $36\ \text{cm}^2$, pour des périmètres de $26$ cm et $24$ cm. b. Faux : $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2$. c. Faux : un carré de côté $3$ a pour aire $9$ ; de côté $6$, il a pour aire $36$, soit quatre fois plus. Les deux dimensions ont doublé. d. Vrai, c'est l'unité de volume vue dans ce chapitre.
À retenir
Comparer sans mesurer : superposition, ou découpage et recollement.
$\text{carré : } \mathcal{A} = c\times c \qquad \text{rectangle : } \mathcal{A} = L\times\ell$
Une aire s'exprime en unités carrées : cm², dm², m². $1\ \text{cm}^2$ est l'aire d'un carré de $1$ cm de côté.
Conversions : $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2$ et $1\ \text{dm}^2 = 100\ \text{cm}^2$ — un facteur $100$, parce que les deux dimensions changent d'unité.
Figures composées : on découpe en rectangles, ou on retranche d'un grand rectangle. Les deux méthodes doivent s'accorder.
Volume : le $\text{cm}^3$ est le volume d'un cube de $1$ cm d'arête. On dénombre les cubes par couches, sans oublier ceux qu'on ne voit pas.
Périmètre, aire, volume sont trois grandeurs différentes : on additionne des longueurs, on multiplie deux longueurs, on compte des cubes.
Chapitre suivant : les durées et les horaires.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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