Mathématiques — 6ème
Distances, cercles et médiatrice — Maths Sixième (chapitre 12)
Distance entre deux points, plus court chemin, milieu d'un segment, cercle et disque comme ensembles de points, rayon, diamètre et corde, médiatrice d'un…
Par ProfBot
Distances, cercles et médiatrice
Chapitre 12 — Espace et géométrie · Sixième
Toute la géométrie de la sixième tient dans une seule idée : la distance. Le cercle, c'est l'ensemble des points à une distance donnée d'un centre ; la médiatrice, l'ensemble des points à égale distance de deux points. Deux définitions du même type — et un instrument, le compas, qui les construit toutes les deux.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Espace et géométrie, thème Étude de configurations planes :
Distances — « Connaître et utiliser la définition de la distance entre deux points » ; « Connaître et utiliser la définition du milieu d'un segment ».
Cercles et disques — « Connaître les définitions d'un cercle, d'un disque, d'un rayon, d'un diamètre, d'une corde » ; « Comprendre la définition d'un cercle et celle d'un disque sous la forme d'ensembles de points » ; « Résoudre des problèmes mettant en jeu des distances à un point ».
Médiatrice d'un segment — « Connaître la définition de la médiatrice » ; « Comprendre et utiliser la propriété caractéristique de la médiatrice » ; « Résoudre des problèmes en s'appuyant sur cette propriété ».
1. Distance et milieu
![Le segment [AB] est le plus court chemin de A à B ; le milieu I de [DE] vérifie ID = IE.](/plateforme/cours/maths-sixieme/ch12-distance.svg)
Définition. La distance entre deux points $A$ et $B$ est la longueur du segment $[AB]$. On la note $AB$ — sans crochets.
$[AB]$ désigne le segment (un objet), $AB$ désigne sa longueur (un nombre). C'est la même différence qu'entre une ficelle et sa mesure.
Le plus court chemin. Le segment $[AB]$ est le plus court chemin de $A$ à $B$. Pour n'importe quel point $C$ : $AC+CB \geqslant AB$ et il y a égalité exactement quand $C$ appartient au segment $[AB]$.
Ce critère sert à savoir si trois points sont alignés « dans le bon ordre ». Si $AB = 10$ cm, $AC = 4$ cm et $CB = 7$ cm, alors $AC+CB = 11 > 10$ : le point $C$ n'est pas sur le segment $[AB]$. Le détour se paie toujours.
Définition. Le milieu d'un segment $[AB]$ est le point $I$ du segment tel que $IA = IB$.
Les deux conditions comptent. Un point situé à égale distance de $A$ et de $B$ mais hors du segment n'est pas le milieu — il est sur la médiatrice, dont il sera question plus bas.
2. Cercle et disque
Définitions.
- Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ de $O$.
- Le disque de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $r$ de $O$.
Le cercle est un trait ; le disque est le trait et tout son intérieur. Une pièce de monnaie est un disque, un anneau est un cercle.
Le vocabulaire.
- Un rayon est un segment joignant le centre à un point du cercle — et le mot désigne aussi sa longueur.
- Un diamètre est un segment joignant deux points du cercle en passant par le centre — et le mot désigne aussi sa longueur.
- Une corde est un segment joignant deux points du cercle, quels qu'ils soient.
$\text{diamètre} = 2\times\text{rayon}$
Le diamètre est la plus longue des cordes. Toute corde est inférieure ou égale au diamètre — un cercle de rayon $3$ cm, donc de diamètre $6$ cm, ne peut pas porter de corde de $7$ cm. Et tout diamètre est une corde : celle qui passe par le centre.
Traduire une position en distance, et réciproquement. Pour un cercle de centre $O$ et de rayon $2$ cm :
| position du point $P$ | distance $OP$ |
|---|---|
| $P$ est sur le cercle | $OP = 2$ cm |
| $P$ est dans le disque | $OP \leqslant 2$ cm |
| $P$ est à l'extérieur | $OP > 2$ cm |
Et chaque ligne se lit dans les deux sens : savoir que $OP = 2$ cm suffit à affirmer que $P$ est sur le cercle.
3. La médiatrice
![La médiatrice de [AB] : perpendiculaire passant par le milieu, et MA = MB pour tout point M dessus.](/plateforme/cours/maths-sixieme/ch12-mediatrice.svg)
Définition. La médiatrice d'un segment $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu.
Propriété caractéristique. La médiatrice de $[AB]$ est l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$. Autrement dit :
- si $M$ est sur la médiatrice, alors $MA = MB$ ;
- si $MA = MB$, alors $M$ est sur la médiatrice.
Et un point qui n'est pas sur la médiatrice est plus proche de l'une des extrémités que de l'autre : il est « du côté » de celle-là.
« Caractéristique » signifie que la propriété va dans les deux sens. C'est ce qui la rend si utile : pour placer un point à égale distance de deux villages, on n'essaie pas au hasard — on trace la médiatrice, et tous les points qui conviennent sont dessus, sans exception.
4. Construire au compas
Construction de la médiatrice de $[AB]$.
- On ouvre le compas de plus de la moitié de $AB$.
- Pointe en $A$, on trace un arc de part et d'autre du segment.
- Sans changer l'écartement, pointe en $B$, on trace deux arcs qui coupent les premiers en $P$ et $Q$.
- La droite $(PQ)$ est la médiatrice de $[AB]$.
Pourquoi ça marche. Le compas garde le même écartement : $PA = PB$ et $QA = QB$. Ces deux points sont donc équidistants de $A$ et de $B$, donc sur la médiatrice d'après la propriété caractéristique. Deux points suffisent à tracer une droite.
Si l'écartement est trop petit, les arcs ne se coupent pas. Il faut ouvrir le compas de plus de la moitié de $AB$ — sinon les deux arcs restent à distance l'un de l'autre. C'est un contrôle visuel immédiat.
Deux applications directes.
- Trouver le milieu d'un segment sans règle graduée : la médiatrice le coupe exactement en son milieu.
- Retrouver le centre d'un cercle dont on a perdu le centre : on trace deux cordes, puis leurs médiatrices. Elles se coupent au centre — car le centre est à égale distance des extrémités de chaque corde.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Vocabulaire
Un cercle a pour centre $O$ et pour rayon $3$ cm. a. Combien mesure son diamètre ? b. Une corde de ce cercle peut-elle mesurer $5$ cm ? $7$ cm ? c. Un point $A$ vérifie $OA = 3$ cm. Où se trouve-t-il ?
Correction. a. $2\times3 = \mathbf{6}$ cm. b. $5$ cm : oui, car $5 \leqslant 6$. $7$ cm : non, aucune corde ne dépasse le diamètre. c. $A$ est sur le cercle, par définition même du cercle.
Exercice 2 — Segment et milieu
$AB = 9$ cm et $I$ est le milieu de $[AB]$. a. Combien mesure $AI$ ? b. Un point $J$ de $[AB]$ vérifie $AJ = 4$ cm. Est-ce le milieu ? c. Que vaut $JB$ ?
Correction. a. $9\div2 = \mathbf{4{,}5}$ cm. b. Non : $4 \neq 4{,}5$. c. $9-4 = \mathbf{5}$ cm. On vérifie : $4+5 = 9$ ✔, $J$ est bien sur le segment.
Exercice 3 — Sur, dans, ou dehors ?
Un cercle a pour centre $O$ et pour rayon $2{,}5$ cm. Situer chaque point. a. $OA = 2{,}5$ cm · b. $OB = 1{,}8$ cm · c. $OC = 3$ cm · d. $OD = 0$ cm
Correction. a. $A$ est sur le cercle. b. $B$ est à l'intérieur : dans le disque, mais pas sur le cercle. c. $C$ est à l'extérieur du disque. d. $OD = 0$ signifie que $D$ est le centre $O$. Il est dans le disque, mais pas sur le cercle.
En b comme en d, attention à la formulation : « dans le disque » et « sur le cercle » ne sont pas synonymes.
Exercice 4 — Le point est-il sur le segment ?
$AB = 10$ cm. Dans chaque cas, dire si $C$ appartient au segment $[AB]$. a. $AC = 4$ cm et $CB = 6$ cm b. $AC = 4$ cm et $CB = 7$ cm c. $AC = 10$ cm et $CB = 0$ cm
Correction. a. $4+6 = 10 = AB$ : oui, $C$ est sur $[AB]$. b. $4+7 = 11 > 10$ : non. Le chemin $A \to C \to B$ fait $1$ cm de plus que le trajet direct : $C$ n'est pas sur $[AB]$ — il n'est même pas sur la droite $(AB)$, sans quoi les distances ne colleraient pas. c. $CB = 0$ signifie $C = B$ : oui, $B$ appartient bien à $[AB]$.
Exercice 5 — Construire au compas
Tracer un segment $[AB]$ de $5$ cm, puis placer un point $M$ tel que $AM = 3$ cm et $BM = 4$ cm. a. Comment procéder ? b. Combien de positions possibles pour $M$ ? c. Que vaut $AM+MB$ ? Que peut-on en conclure ?
Correction. a. On trace le cercle de centre $A$ et de rayon $3$ cm, puis celui de centre $B$ et de rayon $4$ cm : $M$ est un de leurs points d'intersection. b. Deux positions, symétriques par rapport à la droite $(AB)$. c. $3+4 = 7 > 5$ : $M$ n'est pas sur le segment $[AB]$ — c'est cohérent, il forme un triangle avec $A$ et $B$.
Exercice 6 — Le puits
Deux maisons $A$ et $B$ sont distantes de $40$ m. On veut creuser un puits à égale distance des deux. a. Où peut-on le placer ? b. Combien de places conviennent ? c. Où est celle qui minimise la distance à parcourir depuis chaque maison ?
Correction. a. Sur la médiatrice de $[AB]$. b. Une infinité : tous les points de cette droite conviennent. c. Au milieu de $[AB]$, à $20$ m de chaque maison — c'est le point de la médiatrice le plus proche des deux maisons.
La question c montre bien la différence entre le milieu (un point) et la médiatrice (une droite entière).
Exercice 7 — La chèvre
Une chèvre est attachée par une corde de $8$ m à un piquet planté au point $P$, dans un pré. a. Décrire la zone où elle peut brouter. b. Peut-elle atteindre un arbre situé à $9$ m de $P$ ? à $7{,}5$ m ? c. Si l'on rallonge la corde à $12$ m, la zone est-elle deux fois plus large ?
Correction. a. Le disque de centre $P$ et de rayon $8$ m : tous les points à $8$ m ou moins de $P$. b. À $9$ m : non, $9 > 8$. À $7{,}5$ m : oui, $7{,}5 \leqslant 8$. c. La corde passe de $8$ m à $12$ m, soit une fois et demie plus longue — pas deux fois. La largeur de la zone (son diamètre) passe de $16$ m à $24$ m, elle aussi multipliée par $1{,}5$.
Exercice 8 — Le centre perdu
On a tracé un cercle mais effacé son centre. Comment le retrouver, avec seulement une règle non graduée et un compas ?
Correction. On trace deux cordes quelconques du cercle, puis la médiatrice de chacune. Le point d'intersection des deux médiatrices est le centre. Justification : le centre est à égale distance (le rayon) des deux extrémités de chaque corde, donc il appartient à la médiatrice de chaque corde. Il est donc sur les deux à la fois.
Exercice 9 — Vrai ou faux
a. Tout diamètre est une corde. b. Toute corde est un diamètre. c. Le milieu d'un segment appartient à sa médiatrice. d. Si $MA = MB$, alors $M$ est le milieu de $[AB]$.
Correction. a. Vrai : c'est la corde qui passe par le centre. b. Faux : seules celles qui passent par le centre le sont. c. Vrai : la médiatrice passe par le milieu, par définition. d. Faux : $M$ est sur la médiatrice, mais il n'est le milieu que s'il est en plus sur le segment.
À retenir
Distance : $AB$ est la longueur du segment $[AB]$. Le segment est le plus court chemin : $AC+CB \geqslant AB$, avec égalité si et seulement si $C \in [AB]$.
Milieu : le point du segment situé à égale distance des extrémités.
Cercle de centre $O$ et de rayon $r$ : l'ensemble des points à la distance $r$ de $O$. Disque : distance inférieure ou égale à $r$.
$\text{diamètre} = 2\times\text{rayon}$ Le diamètre est la plus longue des cordes.
Médiatrice de $[AB]$ : la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu — c'est-à-dire l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$.
Construction au compas : même écartement (supérieur à la moitié de $AB$) depuis $A$ puis depuis $B$ ; la droite joignant les deux intersections est la médiatrice.
Chapitre suivant : les angles.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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