Mathématiques — 6ème
Les nombres entiers et décimaux — Maths Sixième (chapitre 1)
Numération décimale de position, valeur des chiffres, grands nombres jusqu'au milliard, nombres décimaux et leurs différentes écritures, demi-droite…
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Les nombres entiers et décimaux
Chapitre 1 — Nombres et calculs · Sixième
Pourquoi $3{,}7$ est-il plus grand que $3{,}25$, alors que $25$ est plus grand que $7$ ? Parce qu'un chiffre ne vaut pas la même chose selon la place qu'il occupe. Ce premier chapitre reprend cette idée, l'étend aux très grands nombres comme aux très petits, et montre qu'un même nombre peut s'écrire de plusieurs façons — toutes justes.
Au programme officiel (programme de mathématiques du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Nombres, calcul et résolution de problèmes, thème Les nombres entiers et décimaux :
« Connaître et utiliser la valeur des chiffres selon leur rang » ; « Connaître les liens entre les unités de numération unité, dizaine, centaine, millier, dixième, centième, millième » ; « Connaître des grands nombres entiers » ; « Reconnaître un nombre décimal » ; « Connaître la définition d'un pourcentage » ; « Associer et utiliser différentes écritures d'un nombre décimal : écriture à virgule, fraction, nombre mixte, pourcentage » ; « Placer sur une demi-droite graduée un point dont l'abscisse est un nombre décimal » ; « Repérer un nombre décimal sur une demi-droite graduée » ; « Comparer deux nombres décimaux » ; « Ordonner une liste de nombres décimaux » ; « Donner la valeur arrondie à l'unité, au dixième ou au centième » ; « Encadrer un nombre décimal par deux nombres décimaux, intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux ».
1. La valeur d'un chiffre dépend de sa place
Dans le nombre $4\,107{,}25$ :
| rang | milliers | centaines | dizaines | unités | dixièmes | centièmes |
|---|---|---|---|---|---|---|
| chiffre | $4$ | $1$ | $0$ | $7$ | $2$ | $5$ |
| ce qu'il vaut | $4\,000$ | $100$ | $0$ | $7$ | $0{,}2$ | $0{,}05$ |
Chaque rang vaut dix fois le rang situé à sa droite. Une centaine, c'est dix dizaines. Un dixième, c'est dix centièmes. C'est la numération décimale de position : le même chiffre $4$ vaut $4\,000$ ici, mais vaudrait $0{,}04$ s'il était au rang des centièmes.
« Le chiffre des dizaines » et « le nombre de dizaines » ne sont pas la même chose. Dans $4\,107$ : le chiffre des dizaines est $0$ ; le nombre de dizaines est $410$, car $4\,107 = 410 \times 10 + 7$. Le premier se lit, le second se calcule — et c'est lui qui sert dans les problèmes (« combien de paquets de dix ? »).
Décomposer un nombre, c'est écrire ce que vaut chaque chiffre : $4\,107{,}25 = 4\,000 + 100 + 7 + 0{,}2 + 0{,}05.$
2. Les grands nombres
Les chiffres se groupent par classes de trois, séparées par une espace — jamais par un point ni une virgule.
| classe | milliards | millions | mille | unités |
|---|---|---|---|---|
| exemple | $8$ | $045$ | $200$ | $000$ |
$8\,045\,200\,000 \text{ se lit « huit milliards quarante-cinq millions deux cent mille ».}$
- $1$ million $= 1\,000\,000$, soit mille milliers.
- $1$ milliard $= 1\,000\,000\,000$, soit mille millions.
Un milliard, ce n'est pas « beaucoup » : c'est mille fois un million. Compter jusqu'à un million à raison d'un nombre par seconde prendrait environ $11$ jours et demi. Compter jusqu'à un milliard prendrait plus de trente ans. Les deux mots se ressemblent ; les nombres, non.
3. Les nombres décimaux
Définition. Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après elle.
$7 \quad ; \quad 3{,}5 \quad ; \quad 0{,}007 \quad ; \quad 12{,}25$ sont des nombres décimaux. Tout nombre entier est décimal : $7 = 7{,}0$.
Certains nombres ne sont PAS décimaux. Le quotient $\frac{1}{3}$ vaut $0{,}333\ldots$ : les $3$ ne s'arrêtent jamais. Aucune écriture à virgule finie ne le donne exactement. Un nombre non décimal n'est pas un « nombre bizarre » — c'est simplement un nombre que la virgule ne sait pas écrire en entier.
Partie entière et partie décimale. Dans $12{,}25$ : la partie entière est $12$, la partie décimale est $0{,}25$.
Les zéros inutiles à droite ne changent rien ; ailleurs, ils changent tout.
$3{,}5 = 3{,}50 = 3{,}500 \qquad\text{mais}\qquad 3{,}5 \neq 3{,}05 \neq 0{,}35.$
À droite du dernier chiffre décimal, un zéro n'ajoute rien. Entre la virgule et un chiffre, il décale tout d'un rang.
4. Un même nombre, plusieurs écritures
Le nombre $4{,}107$ s'écrit aussi :
$4{,}107 \; = \; \frac{4\,107}{1\,000} \; = \; 4 + \frac{107}{1\,000} \; = \; 4 + \frac{1}{10} + \frac{7}{1\,000}.$
- $\dfrac{4\,107}{1\,000}$ est une fraction décimale : son dénominateur est $10$, $100$, $1\,000$…
- $4 + \dfrac{107}{1\,000}$ est un nombre mixte : une partie entière plus une fraction inférieure à $1$.
Le pourcentage. Écrire $t\,\%$, c'est écrire la fraction $\dfrac{t}{100}$. $25\,\% = \frac{25}{100} = 0{,}25 \qquad ; \qquad 7\,\% = \frac{7}{100} = 0{,}07.$
Passer de l'écriture à virgule à la fraction décimale se fait en comptant les décimales. Trois chiffres après la virgule → dénominateur $1\,000$. Deux chiffres → $100$. C'est direct dans les deux sens : $\frac{58}{100} = 0{,}58$ parce que $100$ demande deux décimales.
5. Sur la demi-droite graduée
Sur une demi-droite graduée, chaque point est repéré par un nombre appelé son abscisse. On note $A(2{,}3)$.
Pour placer $2{,}3$, on repère d'abord l'unité $2$, puis on partage l'intervalle jusqu'à $3$ en dix parts égales — ce sont les dixièmes — et on compte trois crans.
Pour placer $2{,}34$, on recommence : on partage l'intervalle de $2{,}3$ à $2{,}4$ en dix, et on compte quatre crans. Chaque zoom fait apparaître le rang suivant.
La première question est toujours : que vaut UN intervalle ? Si l'écart entre deux nombres écrits est $1$ et qu'il y a $5$ petits intervalles, chacun vaut $0{,}2$ — et non $0{,}1$. Compter les crans sans se poser cette question est la principale source d'erreurs de lecture.
6. Comparer et ordonner
Méthode pour comparer deux décimaux.
1. On compare d'abord les parties entières. La plus grande gagne.
2. Si elles sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, et ainsi de suite — rang par rang, de gauche à droite.
$3{,}7 > 3{,}25$ Les parties entières sont égales ($3$ et $3$). On passe aux dixièmes : $7 > 2$. C'est fini, on n'a pas besoin d'aller plus loin.
On ne compare JAMAIS les parties décimales comme des entiers. $25$ est plus grand que $7$, mais $0{,}25$ est plus petit que $0{,}7$ — parce que $0{,}7$ vaut $0{,}70$, soit $70$ centièmes contre $25$. Le truc qui marche toujours : compléter avec des zéros pour avoir le même nombre de décimales, puis comparer.
$3{,}70 \quad\text{contre}\quad 3{,}25 \; : \quad 70 > 25.$
Ordonner une liste, c'est la ranger dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant. $1{,}09 < 1{,}2 < 1{,}25 < 1{,}3 < 2$
7. Encadrer, intercaler, arrondir
Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux autres. $3 < 3{,}47 < 4 \quad (\text{à l'unité}) \qquad 3{,}4 < 3{,}47 < 3{,}5 \quad (\text{au dixième})$
Intercaler, c'est trouver un nombre entre deux autres. $1{,}2 < \mathbf{1{,}25} < 1{,}3$
Entre deux nombres décimaux, il y en a toujours une infinité d'autres. Entre $1{,}2$ et $1{,}3$ on peut placer $1{,}25$, mais aussi $1{,}21$, $1{,}299$, $1{,}2001$… Il suffit d'ajouter une décimale. C'est une différence majeure avec les entiers : entre $12$ et $13$, il n'y a rien.
Arrondir. L'arrondi d'un nombre est celui des deux encadrants dont il est le plus proche.
Pour trouver l'arrondi au rang voulu, on regarde le chiffre juste après ce rang :
- s'il vaut $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$ → on garde le chiffre du rang (on arrondit par défaut) ;
- s'il vaut $5$, $6$, $7$, $8$ ou $9$ → on ajoute $1$ au chiffre du rang (on arrondit par excès).
$3{,}47 \approx 3 \; (\text{à l'unité}) \qquad 3{,}47 \approx 3{,}5 \; (\text{au dixième}) \qquad 3{,}47 = 3{,}47 \; (\text{au centième})$
Le signe $\approx$ se lit « environ égal à ». On l'emploie dès qu'on arrondit : écrire $3{,}47 = 3{,}5$ serait faux.
Arrondir un nombre non décimal. Même méthode : $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \approx 0{,}33$ au centième. C'est justement à cela que sert l'arrondi — donner une valeur utilisable d'un nombre qu'on ne peut pas écrire en entier.
8. Exercices corrigés
Exercice 1 — Valeur des chiffres
Dans le nombre $50\,382{,}64$ : a. Quel est le chiffre des centaines ? le chiffre des centièmes ? b. Quel est le nombre de milliers ? c. Que vaut le chiffre $6$ ?
Correction. a. Chiffre des centaines : $3$. Chiffre des centièmes : $4$. b. Nombre de milliers : $50$, car $50\,382{,}64 = 50 \times 1\,000 + 382{,}64$. c. Le $6$ est au rang des dixièmes : il vaut $0{,}6$.
Exercice 2 — Lire et écrire
a. Écrire en chiffres : « trois milliards deux cent quatre millions dix mille ». b. Écrire en lettres : $2\,050\,007$.
Correction. a. $3\,204\,010\,000$ b. « deux millions cinquante mille sept »
Les classes vides s'écrivent avec des zéros : il y a bien trois zéros entre « deux cent quatre millions » et « dix mille » — un pour les centaines de mille absentes, et deux autres pour les unités.
Exercice 3 — Décimal ou non ?
Ces nombres sont-ils décimaux ? a. $8$ · b. $0{,}125$ · c. $\dfrac{1}{4}$ · d. $\dfrac{1}{3}$ · e. $\dfrac{7}{10}$
Correction. a. Oui ($8 = 8{,}0$). b. Oui. c. Oui : $\frac{1}{4} = 0{,}25$. d. Non : $0{,}333\ldots$ ne s'arrête jamais. e. Oui : $\frac{7}{10} = 0{,}7$.
Exercice 4 — Écritures d'un même nombre
Compléter :
| à virgule | fraction décimale | nombre mixte | pourcentage |
|---|---|---|---|
| $0{,}45$ | ? | — | ? |
| ? | $\dfrac{312}{100}$ | ? | — |
| $0{,}09$ | ? | — | ? |
Correction.
| à virgule | fraction décimale | nombre mixte | pourcentage |
|---|---|---|---|
| $0{,}45$ | $\dfrac{45}{100}$ | — | $45\,\%$ |
| $3{,}12$ | $\dfrac{312}{100}$ | $3 + \dfrac{12}{100}$ | — |
| $0{,}09$ | $\dfrac{9}{100}$ | — | $9\,\%$ |
Exercice 5 — Comparer
Compléter par
lt;$ ou gt;$ : a. $7{,}9 \ldots 7{,}12$ · b. $0{,}5 \ldots 0{,}45$ · c. $10{,}08 \ldots 10{,}1$ · d. $3{,}600 \ldots 3{,}6$Correction. a. $7{,}9 > 7{,}12$ (car $7{,}90$ contre $7{,}12$) b. $0{,}5 > 0{,}45$ (car $0{,}50$ contre $0{,}45$) c. $10{,}08 < 10{,}1$ (car $10{,}08$ contre $10{,}10$) d. $3{,}600 = 3{,}6$ — ni lt;$ ni gt;$ : ils sont égaux.
Les questions a, b et c sont le même piège : le nombre qui a le plus de chiffres après la virgule n'est pas le plus grand.
Exercice 6 — Ranger
Ranger dans l'ordre croissant : $2{,}5$ ; $2{,}05$ ; $2{,}55$ ; $2$ ; $2{,}501$.
Correction. $2 < 2{,}05 < 2{,}5 < 2{,}501 < 2{,}55$
Avec le même nombre de décimales, la comparaison saute aux yeux : $2{,}000$ ; $2{,}050$ ; $2{,}500$ ; $2{,}501$ ; $2{,}550$.
Exercice 7 — Lire une graduation
Sur une demi-droite graduée, les nombres $0$ et $1$ sont séparés par $4$ intervalles égaux. a. Que vaut un intervalle ? b. Quelle est l'abscisse du point situé $3$ intervalles après $0$ ? $7$ intervalles après $0$ ?
Correction. a. $1 \div 4 = 0{,}25$. b. $3 \times 0{,}25 = 0{,}75$ · $7 \times 0{,}25 = 1{,}75$.
Le second point dépasse $1$ : sept quarts font plus d'une unité. Compter les crans sans les convertir donnerait « $7$ », soit quatre fois trop.
Exercice 8 — Encadrer et intercaler
a. Encadrer $6{,}382$ par deux entiers consécutifs, puis par deux dixièmes consécutifs. b. Intercaler trois nombres différents entre $4{,}1$ et $4{,}2$.
Correction. a. $6 < 6{,}382 < 7$ · $6{,}3 < 6{,}382 < 6{,}4$ b. Par exemple $4{,}11$ ; $4{,}15$ ; $4{,}199$ — il y en a une infinité.
Exercice 9 — Arrondir
Arrondir $12{,}357$ : a. à l'unité · b. au dixième · c. au centième
Correction. a. Le chiffre après l'unité est $3$ → on garde : $12{,}357 \approx \mathbf{12}$. b. Le chiffre après le dixième est $5$ → on ajoute $1$ : $12{,}357 \approx \mathbf{12{,}4}$. c. Le chiffre après le centième est $7$ → on ajoute $1$ : $12{,}357 \approx \mathbf{12{,}36}$.
Attention : on part toujours du nombre de départ. Arrondir d'abord au centième ($12{,}36$) puis au dixième donnerait $12{,}4$ ici — mais cette double étape est dangereuse et peut donner un résultat faux dans d'autres cas.
Exercice 10 — Un problème de stock
Un entrepôt contient $1\,204\,500$ boîtes. Chaque boîte contient $10$ objets. a. Combien d'objets en tout ? Écrire le résultat en lettres. b. Ce nombre dépasse-t-il le milliard ?
Correction. a. $1\,204\,500 \times 10 = 12\,045\,000$ objets, soit « douze millions quarante-cinq mille ». b. Non : un milliard s'écrit $1\,000\,000\,000$, avec dix chiffres. $12\,045\,000$ n'en a que huit : il est environ $83$ fois plus petit.
Comparer le nombre de chiffres est le moyen le plus rapide de comparer deux grands entiers : celui qui en a le plus est le plus grand.
À retenir
La valeur d'un chiffre dépend de son rang. Chaque rang vaut dix fois celui de sa droite. Ne pas confondre le chiffre des dizaines (on le lit) et le nombre de dizaines (on le calcule).
$1 \text{ million} = 1\,000\,000 \qquad 1 \text{ milliard} = 1\,000\,000\,000 = 1\,000 \text{ millions}$
Nombre décimal : il s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. $\frac{1}{3}$ n'en est pas un.
$4{,}107 = \frac{4\,107}{1\,000} = 4 + \frac{107}{1\,000} \qquad\qquad t\,\% = \frac{t}{100}$
Comparer : parties entières d'abord, puis rang par rang de gauche à droite. Le truc sûr : compléter avec des zéros pour avoir autant de décimales des deux côtés.
Entre deux décimaux, il y a toujours une infinité d'autres décimaux.
Arrondir : on regarde le chiffre juste après le rang. $0$ à $4$ → on garde ; $5$ à $9$ → on ajoute $1$. On écrit alors $\approx$, jamais $=$.
Chapitre suivant : additionner, soustraire et multiplier des décimaux.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
Chapitre 2 · Additionner, soustraire et multiplier des décimaux →