Mathématiques — 6ème
Diviser — division euclidienne et division décimale — Maths Sixième (chapitre 3)
Les deux sens de la division, division euclidienne d'un entier par un entier inférieur à 100, quotient et reste, division d'un décimal par un entier…
Par ProfBot
Diviser : division euclidienne et division décimale
Chapitre 3 — Nombres et calculs · Sixième
$247$ élèves, des cars de $50$ places : combien de cars ? La division donne $4$ et il reste $47$ — mais la réponse est $5$ cars, car les $47$ derniers élèves doivent monter quelque part. Diviser ne suffit pas : il faut savoir ce que le reste veut dire dans la situation. C'est tout l'enjeu de ce chapitre.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Nombres, calcul et résolution de problèmes :
« Diviser un nombre décimal par un nombre entier non nul inférieur à $10$ » ; « Résoudre des problèmes mettant en jeu des divisions décimales » ; « Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier par un nombre entier inférieur à $100$ » ; « Résoudre des problèmes mettant en jeu des divisions euclidiennes ».
Le programme précise que les deux sens de la division sont mobilisés : « division partition pour calculer la valeur d'une part et division quotition pour calculer le nombre de parts égales ». Il ajoute que pour des nombres dépassant ce cadre, « l'élève peut utiliser une calculatrice ».
1. Les deux sens de la division
Le même calcul, $24 \div 4 = 6$, répond à deux questions différentes.
Le partage (« partition »). On partage $24$ bonbons entre $4$ enfants. Combien chacun en a-t-il ?
On connaît le nombre de parts ($4$), on cherche la valeur d'une part : $6$ bonbons.
Le groupement (« quotition »). On range $24$ bonbons par paquets de $4$. Combien de paquets ?
On connaît la valeur d'une part ($4$), on cherche le nombre de parts : $6$ paquets.
Reconnaître le sens change la réponse au problème, pas le calcul. Le calcul est le même ; c'est l'unité du résultat qui diffère : $6$ bonbons dans un cas, $6$ paquets dans l'autre. Écrire l'unité à côté du résultat est le meilleur moyen de vérifier qu'on a compris la question.
2. La division euclidienne
Définition. Effectuer la division euclidienne d'un entier $a$ (le dividende) par un entier $b$ non nul (le diviseur), c'est trouver deux entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que
$a = b \times q + r \qquad\text{avec}\qquad 0 \leqslant r < b.$
$247 = 18 \times 13 + 13 \qquad\text{avec}\qquad 0 \leqslant 13 < 18.$
Le reste est toujours PLUS PETIT que le diviseur. S'il ne l'était pas, on pourrait encore faire un groupe de plus : le quotient serait trop petit. C'est le contrôle à faire systématiquement — un reste supérieur ou égal au diviseur signale à coup sûr une erreur.
Deux contrôles, à faire à chaque fois :
- $r < b$ ? Ici $13 < 18$ ✔
- $b \times q + r$ redonne-t-il $a$ ? Ici $18\times13 + 13 = 234 + 13 = 247$ ✔
Quand le reste est nul, on dit que $a$ est divisible par $b$, ou que $b$ est un diviseur de $a$.
3. La division décimale
Dans une division décimale, on ne s'arrête pas au reste : on continue avec les dixièmes, les centièmes…
Exemple : $17{,}4 \div 4$.
- $17 \div 4$ : quotient $4$, reste $1$. On écrit $4$ aux unités.
- On descend le chiffre des dixièmes : il reste $14$ dixièmes. C'est ici qu'on place la virgule au quotient.
- $14 \div 4$ : quotient $3$, reste $2$. On écrit $3$ aux dixièmes.
- Il reste $2$ dixièmes, soit $20$ centièmes. $20 \div 4 = 5$, reste $0$.
$17{,}4 \div 4 = 4{,}35$
Contrôle : $4{,}35 \times 4 = 17{,}4$ ✔
La virgule se place au quotient au moment précis où l'on descend le premier chiffre décimal du dividende. Pas avant, pas après. C'est la seule règle à retenir, et elle explique pourquoi le quotient de $17{,}4$ par $4$ commence par $4$, et non par $43$ ou par $0{,}4$.
Quand ça ne tombe pas juste
$10 \div 3 = 3{,}333\ldots$ La division ne s'arrête jamais. On donne alors une valeur arrondie (chapitre 1) : $10 \div 3 \approx 3{,}3 \; (\text{au dixième}) \qquad 10 \div 3 \approx 3{,}33 \; (\text{au centième})$
Le signe $=$ devient $\approx$ dès qu'on arrondit. Écrire $10 \div 3 = 3{,}33$ est faux : $3{,}33 \times 3 = 9{,}99$, et non $10$. La différence semble minuscule, mais elle est réelle — et le signe $\approx$ est là pour le dire.
4. Que faire du reste ?
$247$ élèves partent en sortie. Un car transporte $50$ élèves. $247 = 50 \times 4 + 47$
Selon la question posée, la réponse change :
| question | réponse | pourquoi |
|---|---|---|
| Combien de cars remplis ? | $4$ | on ignore le reste |
| Combien de cars faut-il réserver ? | $5$ | les $47$ derniers ont besoin d'un car |
| Combien d'élèves dans le dernier car ? | $47$ | c'est le reste lui-même |
La division donne des nombres ; c'est la QUESTION qui donne la réponse. Le calcul $247 = 50\times4+47$ est le même dans les trois cas. Un quotient arrondi « comme d'habitude » aurait donné $5$ dans les trois lignes — donc deux réponses fausses sur trois. On relit toujours la question avant d'écrire la conclusion.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Quel sens ?
Pour chaque problème, dire s'il s'agit d'un partage ou d'un groupement, puis répondre. a. On répartit $56$ cahiers entre $8$ élèves. Combien chacun en reçoit-il ? b. On range $56$ cahiers dans des cartons de $8$. Combien de cartons ? c. Un ruban de $56$ cm est coupé en $8$ morceaux égaux. Quelle longueur fait chacun ?
Correction. a. Partage : $56 \div 8 = 7$ cahiers par élève. b. Groupement : $56 \div 8 = 7$ cartons. c. Partage : $56 \div 8 = 7$ cm par morceau.
Le calcul est identique trois fois ; seules les unités de la réponse changent — cahiers, cartons, centimètres.
Exercice 2 — Divisions euclidiennes
Écrire $a = b \times q + r$ pour : a. $a = 97$, $b = 7$ · b. $a = 500$, $b = 24$ · c. $a = 156$, $b = 12$
Correction. a. $97 = 7 \times 13 + 6$, avec $0 \leqslant 6 < 7$ b. $500 = 24 \times 20 + 20$, avec $0 \leqslant 20 < 24$ c. $156 = 12 \times 13 + 0$ : le reste est nul, $156$ est divisible par $12$.
En b, le reste $20$ est presque aussi grand que le diviseur $24$ — mais il reste plus petit, donc le quotient $20$ est bien le bon. Un reste de $24$ ou plus aurait signalé une erreur.
Exercice 3 — Vrai ou faux
Ces égalités sont-elles des divisions euclidiennes correctes ? a. $73 = 8 \times 9 + 1$ (division par $8$) · b. $73 = 8 \times 8 + 9$ (division par $8$) · c. $73 = 9 \times 8 + 1$ (division par $9$)
Correction. a. Oui : $8\times9+1 = 73$ et $1 < 8$ ✔ b. L'égalité est vraie ($64+9 = 73$) mais ce n'est pas la division euclidienne : le reste $9$ dépasse le diviseur $8$. On pourrait faire un groupe de plus — le vrai quotient est $9$, pas $8$. c. Oui : $9\times8+1 = 73$ et $1 < 9$ ✔
Les questions a et c portent sur la même égalité, lue de deux façons : diviser $73$ par $8$ donne $9$ reste $1$ ; diviser $73$ par $9$ donne $8$ reste $1$. Les deux sont justes, parce que dans les deux cas le reste est plus petit que le diviseur choisi.
Exercice 4 — Divisions décimales
Calculer : a. $23{,}4 \div 4$ · b. $9{,}6 \div 8$ · c. $7 \div 5$ · d. $12{,}9 \div 6$
Correction. a. $\mathbf{5{,}85}$ · b. $\mathbf{1{,}2}$ · c. $\mathbf{1{,}4}$ · d. $\mathbf{2{,}15}$
Contrôles par multiplication : $5{,}85\times4 = 23{,}4$ ✔ · $1{,}2\times8 = 9{,}6$ ✔ · $1{,}4\times5 = 7$ ✔ · $2{,}15\times6 = 12{,}9$ ✔
En c, on divise un entier et l'on obtient un décimal : $7 = 7{,}0$, et l'on descend le zéro des dixièmes.
Exercice 5 — Ça ne tombe pas juste
Calculer $47 \div 6$ et donner : a. le quotient et le reste de la division euclidienne ; b. la valeur arrondie au dixième ; c. la valeur arrondie au centième.
Correction. a. $47 = 6\times7 + 5$ : quotient $7$, reste $5$. b. $47 \div 6 = 7{,}8333\ldots \approx \mathbf{7{,}8}$ c. $\approx \mathbf{7{,}83}$
Vérification que $7{,}83$ n'est bien qu'une valeur approchée : $7{,}83 \times 6 = 46{,}98$, et non $47$.
Exercice 6 — Les cars
Une école emmène $186$ élèves. Chaque car transporte $45$ élèves. a. Poser la division euclidienne. b. Combien de cars faut-il réserver ? c. Combien d'élèves y aura-t-il dans le dernier car ?
Correction. a. $186 = 45 \times 4 + 6$, avec $0 \leqslant 6 < 45$. b. $4$ cars pleins, plus $6$ élèves qui doivent monter : il faut $5$ cars. c. $6$ élèves dans le dernier car — il sera presque vide.
Exercice 7 — Un partage de prix
Quatre amis partagent équitablement une note de restaurant de $73{,}80$ €. a. Combien paie chacun ? b. S'ils étaient $8$, combien paierait chacun ?
Correction. a. $73{,}80 \div 4 = \mathbf{18{,}45}$ €. b. $73{,}80 \div 8 = \mathbf{9{,}225}$ € — soit $9{,}23$ € en pratique, car on ne paie pas les millièmes d'euro.
La question b montre que le résultat exact n'est pas toujours la réponse utile : ici, l'arrondi au centime s'impose, et il faut le dire.
Exercice 8 — Retrouver le dividende
Dans une division euclidienne, le diviseur est $23$, le quotient est $17$ et le reste est $9$. a. Quel est le dividende ? b. Vérifier que le reste est acceptable.
Correction. a. $a = 23 \times 17 + 9 = 391 + 9 = \mathbf{400}$. b. $9 < 23$ ✔ : le reste est bien inférieur au diviseur.
Exercice 9 — Le plus grand reste possible
Dans une division par $7$, quel est le plus grand reste possible ? Et le plus petit ?
Correction. Le reste vérifie $0 \leqslant r < 7$ : le plus grand est $\mathbf{6}$, le plus petit est $\mathbf{0}$.
Un reste de $7$ est impossible : il ferait un groupe complet de plus. Dans une division par $b$, les restes possibles sont exactement $0, 1, 2, \ldots, b-1$ — il y en a $b$.
À retenir
Deux sens de la division : le partage (on cherche la valeur d'une part) et le groupement (on cherche le nombre de parts). Le calcul est le même, l'unité de la réponse diffère.
$a = b \times q + r \qquad\text{avec}\qquad 0 \leqslant r < b$ Le reste est toujours plus petit que le diviseur. Deux contrôles : $r < b$, et $b\times q + r = a$.
Division décimale : on place la virgule au quotient au moment où l'on descend le premier chiffre décimal du dividende.
Quand ça ne tombe pas juste : on donne une valeur arrondie, avec le signe $\approx$ — jamais $=$.
Le reste ne se traite pas tout seul : c'est la QUESTION qui décide. $247 = 50\times4+47$ donne $4$, $5$ ou $47$ selon ce qu'on demande.
Chapitre suivant : les fractions et le sens quotient.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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