Mathématiques — 6ème
Les fractions — le sens quotient — Maths Sixième (chapitre 4)
La fraction comme partage, comme mesure et comme quotient, définition du quotient de a par b, égalités à trous multiplicatives, placer une fraction sur une…
Par ProfBot
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Les fractions : le sens quotient
Chapitre 4 — Nombres et calculs · Sixième
$\frac{3}{4}$, ce sont trois quarts d'un gâteau. Mais c'est aussi — et c'est nouveau cette année — le quart de trois : trois barres de chocolat partagées entre quatre personnes. Les deux façons de voir donnent le même nombre, et c'est cette égalité, loin d'être évidente, qui fait de la fraction un vrai nombre.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Nombres, calcul et résolution de problèmes, thème Les fractions :
Le sens quotient — « Relier une fraction au résultat exact de la division de son numérateur par son dénominateur » ; « Comprendre et connaître la définition du quotient d'un entier $a$ par un entier $b$ non nul » ; « Compléter des égalités à trous multiplicatives » ; « Placer une fraction sur une demi-droite graduée dans des cas simples » ; « Graduer un segment de longueur donnée » ; « Savoir que la fraction $\frac{a}{b}$ peut représenter un nombre entier, un nombre décimal non entier ou un nombre non décimal ».
La fraction comme opérateur multiplicatif — « Utiliser une multiplication pour appliquer une fraction à un nombre entier ».
Le programme précise l'objectif : « faire comprendre aux élèves qu'une fraction, par exemple $\frac{3}{4}$, ne représente pas seulement 3 quarts d'une unité de référence, mais aussi le quart de 3 ».
1. Ce que vous savez déjà
La fraction comme partie d'un tout. On partage l'unité en $4$ parts égales et on en prend $3$ : c'est $\dfrac{3}{4}$.
La fraction comme mesure. Le quart, $\dfrac{1}{4}$, est une nouvelle unité. Alors $\frac{7}{4} = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} = 7 \times \frac{1}{4}.$ Sept quarts, c'est plus qu'une unité — et cette écriture le montre sans difficulté.
Vocabulaire. Dans $\dfrac{3}{4}$ : $3$ est le numérateur (il compte les parts prises), $4$ est le dénominateur (il dit en combien de parts on a partagé l'unité). Le dénominateur donne le nom de la part : quart, cinquième, dixième.
2. Le sens nouveau : le quotient
Trois barres de chocolat identiques sont partagées équitablement entre quatre personnes. Combien chacune reçoit-elle ?
Chacune reçoit le quart de $3$. Et si l'on coupe chaque barre en quatre, chacune reçoit trois morceaux d'un quart de barre, soit $\dfrac{3}{4}$ de barre.
$\text{le quart de } 3 \; = \; \frac{3}{4} \; = \; \text{trois quarts de } 1.$
Définition. Soit $a$ un nombre et $b$ un nombre non nul. Le quotient $\dfrac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ :
$b \times \frac{a}{b} = a.$
$4 \times \frac{3}{4} = 3 \qquad ; \qquad 3 \times \frac{7}{3} = 7 \qquad ; \qquad 5 \times \frac{2}{5} = 2.$
La fraction est le résultat EXACT de la division. $\frac{3}{4}$ n'est pas « $3$ divisé par $4$, à calculer plus tard » : c'est déjà le résultat, écrit exactement. La calculatrice donnera $0{,}75$, mais pour $\frac{1}{3}$ elle ne pourra donner qu'une valeur approchée — alors que l'écriture fractionnaire, elle, est toujours exacte.
Les égalités à trous
Chercher $\dfrac{a}{b}$, c'est répondre à la question « par quel nombre faut-il multiplier $b$ pour obtenir $a$ ? ».
$4 \times \ldots = 7 \quad\Longrightarrow\quad \ldots = \frac{7}{4} \qquad\qquad 6 \times \ldots = 5 \quad\Longrightarrow\quad \ldots = \frac{5}{6}$
Ces égalités à trous préparent les équations du collège. Le programme le dit : elles « préfigurent celle de l'équation $a \times x = b$ ». En sixième on écrit des points de suspension ; en cinquième, une lettre. Le raisonnement, lui, est déjà exactement le même.
3. Placer une fraction sur une demi-droite
Méthode. Le dénominateur dit en combien de parts partager chaque unité ; le numérateur dit combien de crans compter à partir de $0$.
Pour $\dfrac{7}{4}$ : on partage chaque unité en $4$, et on compte $7$ crans. On arrive entre $1$ et $2$.
Une fraction supérieure à 1 n'a rien d'anormal. Dès que le numérateur dépasse le dénominateur, la fraction dépasse $1$ : $\frac{7}{4} > 1$ parce que $7 > 4$. Comparer numérateur et dénominateur donne donc, d'un coup d'œil, la position par rapport à $1$.
Graduer un segment. Pour graduer un segment de $12$ cm en tiers, on calcule $12 \div 3 = 4$ : les graduations sont tous les $4$ cm. Pour le graduer en quarts, tous les $12 \div 4 = 3$ cm.
4. Entier, décimal, ou ni l'un ni l'autre
Une fraction est un nombre — mais quel nombre ?
| fraction | valeur | nature |
|---|---|---|
| $\dfrac{8}{4}$ | $2$ | un nombre entier |
| $\dfrac{3}{4}$ | $0{,}75$ | un nombre décimal non entier |
| $\dfrac{1}{3}$ | $0{,}333\ldots$ | un nombre non décimal |
L'écriture fractionnaire ne dit pas la nature du nombre. $\frac{8}{4}$ ressemble à $\frac{1}{3}$, et pourtant l'un est l'entier $2$ et l'autre n'a même pas d'écriture décimale. Pour savoir, il faut effectuer la division. Si elle s'arrête, le nombre est décimal ; si elle ne s'arrête jamais, il ne l'est pas.
Une même valeur, plusieurs fractions. $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{5}{10} = 0{,}5$
5. La fraction comme opérateur
« Prendre les $\dfrac{2}{3}$ de $12$ œufs », c'est partager $12$ en $3$ puis en prendre $2$ : $12 \div 3 = 4, \qquad 4 \times 2 = 8 \text{ œufs}.$
C'est aussi une multiplication : $\frac{2}{3} \times 12 = 8.$
Autre exemple : les $\dfrac{3}{4}$ de $10$ m valent $(10 \div 4) \times 3 = 2{,}5 \times 3 = 7{,}5$ m.
On peut diviser d'abord ou multiplier d'abord — au choix. Les $\frac{2}{3}$ de $12$ : soit $12 \div 3 = 4$ puis $4\times2 = 8$ ; soit $12\times2 = 24$ puis $24\div3 = 8$. On choisit l'ordre qui donne les calculs les plus simples. Pour les $\frac{3}{4}$ de $10$, diviser d'abord donne $2{,}5$ (un décimal) : il vaut mieux multiplier d'abord, $10\times3 = 30$, puis $30\div4 = 7{,}5$.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Lire une fraction
a. Dans $\dfrac{5}{8}$, quel est le numérateur ? le dénominateur ? Comment s'appelle la part ? b. Écrire $\dfrac{5}{8}$ comme une somme de fractions unitaires. c. Écrire $\dfrac{5}{8}$ comme un produit.
Correction. a. Numérateur $5$, dénominateur $8$. La part s'appelle un huitième. b. $\dfrac{5}{8} = \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}$ c. $\dfrac{5}{8} = 5 \times \dfrac{1}{8}$
Exercice 2 — Égalités à trous
Compléter par une fraction : a. $3 \times \ldots = 8$ · b. $7 \times \ldots = 4$ · c. $5 \times \ldots = 15$ · d. $9 \times \ldots = 1$
Correction. a. $\dfrac{8}{3}$ · b. $\dfrac{4}{7}$ · c. $\dfrac{15}{5} = 3$ · d. $\dfrac{1}{9}$
En c, la fraction vaut un entier : $5\times3 = 15$. Il n'y a pas d'obligation à laisser le résultat sous forme de fraction quand la division tombe juste.
Exercice 3 — Vérifier une définition
Vérifier que chaque égalité est bien vraie : a. $4 \times \dfrac{9}{4} = 9$ · b. $6 \times \dfrac{5}{6} = 5$ · c. $10 \times \dfrac{7}{10} = 7$
Correction. Les trois sont vraies : c'est exactement la définition du quotient. On peut aussi vérifier en décimal : $4\times2{,}25 = 9$ ; $6\times0{,}8333\ldots = 5$ ; $10\times0{,}7 = 7$.
En b, le calcul décimal est approché ($0{,}8333\ldots$ ne s'écrit pas exactement), alors que l'écriture fractionnaire, elle, est exacte. C'est un argument pour garder les fractions.
Exercice 4 — Entier, décimal ou non décimal ?
Pour chaque fraction, donner sa valeur et sa nature : a. $\dfrac{12}{4}$ · b. $\dfrac{7}{2}$ · c. $\dfrac{2}{5}$ · d. $\dfrac{5}{3}$ · e. $\dfrac{9}{6}$
Correction. a. $3$ — entier b. $3{,}5$ — décimal non entier c. $0{,}4$ — décimal non entier d. $1{,}666\ldots$ — non décimal e. $1{,}5$ — décimal non entier
En e, le numérateur n'est pas un multiple du dénominateur, et pourtant la division tombe juste : $\frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1{,}5$. On ne peut pas conclure sans effectuer la division.
Exercice 5 — Placer sur la demi-droite
Sur une demi-droite graduée où l'unité mesure $6$ cm : a. À quelle distance de $0$ se trouve $\dfrac{1}{3}$ ? et $\dfrac{2}{3}$ ? b. À quelle distance se trouve $\dfrac{5}{3}$ ? Entre quels entiers se situe-t-il ?
Correction. a. $6 \div 3 = 2$ cm pour $\dfrac{1}{3}$, donc $4$ cm pour $\dfrac{2}{3}$. b. $5 \times 2 = 10$ cm. Comme $5 > 3$, la fraction dépasse $1$ : elle est entre $1$ et $2$.
Exercice 6 — Graduer un segment
a. Comment graduer en cinquièmes un segment de $15$ cm ? b. Et en quarts un segment de $10$ cm ?
Correction. a. $15 \div 5 = 3$ : une graduation tous les $3$ cm. b. $10 \div 4 = 2{,}5$ : une graduation tous les $2{,}5$ cm.
En b, la mesure n'est pas entière — ce n'est pas un obstacle : $2{,}5$ cm se reporte parfaitement à la règle, c'est $2$ cm et $5$ mm.
Exercice 7 — Fraction d'une quantité
Calculer : a. les $\dfrac{3}{5}$ de $40$ · b. les $\dfrac{2}{7}$ de $21$ · c. les $\dfrac{5}{6}$ de $18$ · d. les $\dfrac{3}{4}$ de $50$
Correction. a. $(40\div5)\times3 = 8\times3 = \mathbf{24}$ b. $(21\div7)\times2 = 3\times2 = \mathbf{6}$ c. $(18\div6)\times5 = 3\times5 = \mathbf{15}$ d. $50\times3 = 150$ puis $150\div4 = \mathbf{37{,}5}$
En d, diviser d'abord donnerait $50\div4 = 12{,}5$ — un décimal à multiplier ensuite. Multiplier d'abord évite de traîner la virgule.
Exercice 8 — Un problème de partage
Cinq amis se partagent équitablement $3$ pizzas identiques. a. Quelle fraction de pizza reçoit chacun ? b. Vérifier que les cinq parts redonnent bien $3$ pizzas. c. Chaque pizza pèse $400$ g. Quelle masse reçoit chacun ?
Correction. a. Chacun reçoit $\dfrac{3}{5}$ de pizza. b. $5 \times \dfrac{3}{5} = 3$ ✔ C'est la définition du quotient. c. Les $\dfrac{3}{5}$ de $400$ g : $(400\div5)\times3 = 80\times3 = \mathbf{240}$ g.
Contrôle de c : $5 \times 240 = 1\,200$ g, et $3$ pizzas pèsent $3\times400 = 1\,200$ g ✔
Exercice 9 — Fractions égales
Trouver trois fractions égales à $\dfrac{1}{2}$, puis trois fractions égales à $\dfrac{2}{3}$.
Correction. $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{50}{100} \qquad\qquad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{20}{30}$
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre : le partage est plus fin, mais on en prend proportionnellement autant.
À retenir
Trois façons de voir $\dfrac{3}{4}$ : trois quarts d'un tout · sept quarts, c'est $7\times\frac{1}{4}$ (mesure) · le quart de $3$ (quotient — c'est le sens nouveau de la sixième).
$b \times \frac{a}{b} = a \qquad (b \neq 0)$ $\dfrac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ — c'est le résultat exact de la division.
Égalité à trous : $4 \times \ldots = 7$ a pour réponse $\dfrac{7}{4}$.
Placer sur une demi-droite : le dénominateur dit en combien partager chaque unité, le numérateur combien de crans compter. Numérateur
gt;$ dénominateur $\Rightarrow$ la fraction dépasse $1$.Une fraction peut être un entier, un décimal, ou ni l'un ni l'autre. Seule la division le dit.
Prendre une fraction d'un nombre : on divise par le dénominateur et on multiplie par le numérateur — dans l'ordre le plus commode.
Chapitre suivant : comparer et calculer avec les fractions.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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