Mathématiques — 6ème
Durées et horaires — Maths Sixième (chapitre 11)
Les unités de durée et le système sexagésimal, lire l'heure sur un cadran ou un affichage digital, écriture décimale et sexagésimale d'une durée, convertir…
Par ProfBot
Durées et horaires
Chapitre 11 — Grandeurs et mesures · Sixième
Le temps est la seule grandeur du programme qui ne se compte pas en base dix. Une heure ne vaut pas dix minutes mais soixante, et c'est un héritage direct des mathématiciens de Babylone, il y a près de quatre mille ans. Toutes les erreurs de ce chapitre viennent de là : on calcule avec des soixantaines, pas avec des dizaines.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Grandeurs et mesures, thème Le repérage dans le temps et les durées :
automatismes — lire l'heure sur un cadran à aiguilles ou un affichage digital, placer les aiguilles, connaître les unités jour, heure, minute, seconde et leurs relations, savoir combien de jours compte une année (bissextile ou non), d'années un siècle et un millénaire, savoir qu'« une demi-heure c'est $30$ minutes, un quart d'heure $15$ minutes, trois quarts d'heure $45$ minutes ».
objectifs — « Effectuer des calculs sur des horaires et des durées » ; « Résoudre des problèmes impliquant des horaires et des durées » ; « Convertir des durées ».
1. Les unités de durée
$1\ \text{jour} = 24\ \text{h} \qquad 1\ \text{h} = 60\ \text{min} \qquad 1\ \text{min} = 60\ \text{s} \qquad 1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}$
Et pour les longues durées : $1$ semaine $=7$ jours ; $1$ année $=365$ jours — $366$ si elle est bissextile ; $1$ siècle $=100$ ans ; $1$ millénaire $=1\,000$ ans.
Ce système n'est pas décimal. Convertir des mètres en centimètres, c'est déplacer une virgule ; convertir des heures en minutes, jamais. $2{,}5$ h ne s'écrit pas « $2$ h $50$ » : c'est $2$ h $30$. Le réflexe décimal est ici un piège permanent.
Lire l'heure.
Sur un cadran à aiguilles, la petite aiguille indique les heures, la grande les minutes — et chaque chiffre du cadran vaut $5$ minutes pour elle. Quand la grande aiguille est sur le $5$, il est $25$ minutes ; quand elle est sur le $9$, il est $45$ minutes.
2. Deux écritures d'une même durée
Une durée s'écrit de deux façons :
- en sexagésimal : $2$ h $30$ min ;
- en décimal : $2{,}5$ h.
Les équivalences à connaître par cœur :
| écriture décimale | fraction d'heure | en minutes |
|---|---|---|
| $0{,}1$ h | $\dfrac{1}{10}$ h | $6$ min |
| $0{,}25$ h | $\dfrac{1}{4}$ h | $15$ min |
| $0{,}5$ h | $\dfrac{1}{2}$ h | $30$ min |
| $0{,}75$ h | $\dfrac{3}{4}$ h | $45$ min |
Le chiffre après la virgule est une fraction d'HEURE, pas un nombre de minutes. $1{,}75$ h se lit « une heure et trois quarts », donc $1$ h $45$ min. Pour passer du décimal au sexagésimal, on multiplie la partie décimale par $60$ : $0{,}75\times60 = 45$.
3. Convertir une durée
Vers l'unité la plus petite : on multiplie. $3\ \text{h}\ 20\ \text{min} = 3\times60+20 = 200\ \text{min}$
Vers l'unité la plus grande : on divise, et le RESTE compte. C'est la division euclidienne du chapitre 3, employée en cascade.
Exemple : combien font $34\,990$ secondes ? $34\,990 = 3\,600\times9 + 2\,590 \quad\text{soit } 9\ \text{h et } 2\,590\ \text{s}$ $2\,590 = 60\times43+10 \quad\text{soit } 43\ \text{min et } 10\ \text{s}$ $34\,990\ \text{s} = 9\ \text{h}\ 43\ \text{min}\ 10\ \text{s}$
Autre exemple : $609$ heures ? $609 = 24\times25+9$, donc $25$ jours et $9$ h ; puis $25 = 7\times3+4$, donc $3$ semaines et $4$ jours. Au total : $3$ semaines, $4$ jours et $9$ heures.
Le quotient donne l'unité supérieure, le reste garde l'ancienne. C'est exactement le mécanisme de la division euclidienne — et c'est pour cela que le programme relie les durées à la numération : les Babyloniens comptaient en base soixante, nous en base dix, mais le principe du « paquet plein » est le même.
4. Calculer sur les horaires
Trois questions reviennent, toujours les mêmes :
a. Trouver l'horaire de fin. Une séance commence à $17$ h $40$ et dure $110$ minutes. $110$ min $=1$ h $50$ min. On avance d'abord jusqu'à l'heure ronde ($+20$ min $\rightarrow 18$ h), puis d'une heure ($\rightarrow 19$ h), puis des $30$ minutes restantes : $19$ h $30$.
b. Trouver la durée entre deux instants. De $8$ h $25$ à $12$ h $10$. De $8$ h $25$ à $9$ h : $35$ min. De $9$ h à $12$ h : $3$ h. De $12$ h à $12$ h $10$ : $10$ min. Total : $3$ h $45$ min.
c. Trouver l'horaire de début. Un train arrive à $16$ h $25$ après $1$ h $50$ de trajet. On recule : $16$ h $25 - 1$ h $= 15$ h $25$, puis $-50$ min $\rightarrow$ $14$ h $35$.
La retenue vaut $60$, pas $100$. Pour $2$ h $45+1$ h $30$, on trouve $3$ h $75$ min — ce qui n'existe pas : $75$ min $=1$ h $15$ min, donc le résultat est $4$ h $15$. Une réponse contenant $60$ minutes ou plus n'est jamais terminée.
Passer minuit. Une émission commencée à $23$ h $30$ et durant $50$ minutes se termine à $0$ h $20$, le lendemain. On avance jusqu'à $24$ h ($30$ min), puis on repart de $0$ h avec les $20$ minutes restantes.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Conversions simples
a. $4$ h en minutes · b. $2$ h $15$ min en minutes · c. $300$ s en minutes · d. $2$ jours en heures · e. $1$ h $30$ min en secondes
Correction. a. $4\times60 = \mathbf{240}$ min b. $2\times60+15 = \mathbf{135}$ min c. $300\div60 = \mathbf{5}$ min d. $2\times24 = \mathbf{48}$ h e. $90\times60 = \mathbf{5\,400}$ s
Exercice 2 — Décimal et sexagésimal
Écrire en heures et minutes : a. $0{,}5$ h · b. $2{,}25$ h · c. $1{,}75$ h Écrire en écriture décimale : d. $3$ h $30$ min · e. $1$ h $15$ min
Correction. a. $\mathbf{30}$ min · b. $\mathbf{2}$ h $\mathbf{15}$ min · c. $\mathbf{1}$ h $\mathbf{45}$ min d. $\mathbf{3{,}5}$ h · e. $\mathbf{1{,}25}$ h
Contrôle de c : $0{,}75\times60 = 45$ ✔ Écrire « $1$ h $75$ » serait absurde : il n'y a pas $75$ minutes dans une heure.
Exercice 3 — Conversions en cascade
a. Combien font $200$ minutes en heures et minutes ? b. Combien font $10\,000$ secondes en heures, minutes et secondes ?
Correction. a. $200 = 60\times3+20$ : $\mathbf{3}$ h $\mathbf{20}$ min. b. $10\,000 = 3\,600\times2+2\,800$, puis $2\,800 = 60\times46+40$ : $\mathbf{2}$ h $\mathbf{46}$ min $\mathbf{40}$ s. Contrôle : $2\times3\,600+46\times60+40 = 7\,200+2\,760+40 = 10\,000$ ✔
Exercice 4 — Horaire de fin
a. Un film commence à $20$ h $50$ et dure $2$ h $15$. À quelle heure se termine-t-il ? b. Un cours commence à $10$ h $45$ et dure $55$ minutes. À quelle heure finit-il ? c. Une émission commence à $23$ h $30$ et dure $50$ minutes. Et celle-là ?
Correction. a. $20$ h $50+2$ h $=22$ h $50$, puis $+15$ min $=\mathbf{23}$ h $\mathbf{05}$. b. $10$ h $45+15$ min $=11$ h, puis $+40$ min $=\mathbf{11}$ h $\mathbf{40}$. c. $23$ h $30+30$ min $=24$ h $=0$ h, puis $+20$ min $=\mathbf{0}$ h $\mathbf{20}$, le lendemain.
Exercice 5 — Durée écoulée
Calculer la durée : a. de $8$ h $25$ à $12$ h $10$ · b. de $13$ h $50$ à $17$ h $05$ · c. de $22$ h $40$ à $1$ h $10$
Correction. a. $35$ min $+3$ h $+10$ min $=\mathbf{3}$ h $\mathbf{45}$ min. b. $10$ min $+3$ h $+5$ min $=\mathbf{3}$ h $\mathbf{15}$ min. c. De $22$ h $40$ à minuit : $1$ h $20$ ; puis $1$ h $10$ : total $\mathbf{2}$ h $\mathbf{30}$ min.
En c, on ne peut pas soustraire directement $22$ h $40$ de $1$ h $10$ : il faut passer par minuit, en deux morceaux.
Exercice 6 — Horaire de début
Un gâteau doit cuire $1$ h $25$ et sortir du four à $19$ h $10$. À quelle heure faut-il l'enfourner ?
Correction. On recule : $19$ h $10-1$ h $=18$ h $10$, puis $-25$ min $=\mathbf{17}$ h $\mathbf{45}$. Contrôle : $17$ h $45+1$ h $25 = 18$ h $45+25$ min $=19$ h $10$ ✔
Exercice 7 — Le bus
Les bus passent à $8$ h $07$, $8$ h $22$, $8$ h $37$, $8$ h $52$. Il est $8$ h $12$. a. Quel est le prochain bus, et dans combien de temps ? b. Tous les combien passe un bus ? c. Un ami prévient qu'il arrivera dans $12$ minutes. Pourrez-vous prendre un bus ensemble, et lequel ?
Correction. a. Celui de $\mathbf{8}$ h $\mathbf{22}$, dans $\mathbf{10}$ minutes. b. Toutes les $\mathbf{15}$ minutes. c. L'ami arrivera à $8$ h $24$ : trop tard pour celui de $8$ h $22$. Vous prendrez ensemble celui de $\mathbf{8}$ h $\mathbf{37}$.
Exercice 8 — La semaine de cours
Une élève a $6$ h $30$ de cours lundi, $5$ h $45$ mardi, $6$ h jeudi, $4$ h $15$ vendredi et $5$ h $30$ samedi. Quelle est sa durée hebdomadaire de cours ?
Correction. En minutes : $390+345+360+255+330 = 1\,680$ min. Puis $1\,680\div60 = \mathbf{28}$ h — exactement, sans reste.
Convertir tout en minutes avant d'additionner évite toutes les retenues de $60$. C'est la méthode la plus sûre quand il y a plus de deux durées.
Exercice 9 — Longues durées
a. Combien font $609$ heures, en semaines, jours et heures ? b. Est-il plus long d'emprunter sur $76$ mois ou sur $5$ ans ? c. Combien de siècles dans un millénaire ?
Correction. a. $609 = 24\times25+9$ : $25$ jours et $9$ h. Puis $25 = 7\times3+4$ : $\mathbf{3}$ semaines, $\mathbf{4}$ jours et $\mathbf{9}$ heures. b. $5$ ans $=5\times12 = 60$ mois, et $76 > 60$ : $76$ mois est plus long (de $16$ mois). c. $1\,000\div100 = \mathbf{10}$ siècles.
À retenir
$1\ \text{jour} = 24\ \text{h} \qquad 1\ \text{h} = 60\ \text{min} \qquad 1\ \text{min} = 60\ \text{s} \qquad 1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}$
Les durées ne sont pas décimales : on ne déplace jamais la virgule pour convertir.
Décimal $\rightarrow$ sexagésimal : on multiplie la partie après la virgule par $60$. $0{,}25$ h $=15$ min · $0{,}5$ h $=30$ min · $0{,}75$ h $=45$ min · $0{,}1$ h $=6$ min.
Convertir vers le haut : divisions euclidiennes en cascade ($\div60$, $\div60$, $\div24$, $\div7$) ; le quotient monte d'une unité, le reste reste.
Calculer un horaire : on avance (ou on recule) par étapes, en s'arrêtant sur l'heure ronde. Une réponse comportant $60$ minutes ou plus n'est pas terminée.
Plusieurs durées à additionner : tout convertir en minutes d'abord.
Chapitre suivant : distances, cercles et médiatrice.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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