Mathématiques — 6ème
Comparer et calculer avec les fractions — Maths Sixième (chapitre 5)
Égalités de fractions, amplifier et simplifier, comparer des fractions de même dénominateur ou de même numérateur, comparer à 1 et à un demi, encadrer par…
Par ProfBot
Comparer et calculer avec les fractions
Chapitre 5 — Nombres et calculs · Sixième
Un même nombre peut s'écrire $\dfrac{7}{3}$ ou $\dfrac{14}{6}$ : deux fractions différentes, une seule valeur. Comprendre pourquoi, c'est tenir la clé de tout le calcul sur les fractions — car comparer, additionner ou soustraire consiste presque toujours à réécrire les fractions avant de les traiter.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Nombres, calcul et résolution de problèmes, thème Les fractions :
Comparer des fractions — « Établir des égalités de fractions » ; « Comparer et encadrer des fractions » ; « Ordonner une liste de nombres écrits sous forme de fractions ou de nombres mixtes ».
Effectuer des opérations sur les fractions — « Additionner et soustraire des fractions » ; « Multiplier une fraction par un nombre entier » ; « Résoudre des problèmes mettant en jeu des fractions » ; « Inventer des problèmes mettant en jeu des fractions ».
Le programme précise aussi que « les notions de diviseur et de multiple et les tables de multiplication sont réactivées en vue de leur utilisation dans le calcul sur les fractions ».
1. Deux écritures, un seul nombre
Graduons une demi-droite en tiers, puis la même en sixièmes. Le point d'abscisse $\dfrac{7}{3}$ et le point d'abscisse $\dfrac{14}{6}$ sont confondus. Ce n'est pas une coïncidence : couper chaque tiers en deux double le nombre de parts et le nombre de crans à compter.
Propriété. Le nombre représenté par une fraction ne change pas quand on multiplie — ou quand on divise — son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
$\frac{7}{3} = \frac{7\times2}{3\times2} = \frac{14}{6} \qquad\qquad \frac{18}{24} = \frac{18\div6}{24\div6} = \frac{3}{4}$
- Amplifier, c'est multiplier les deux termes : le partage devient plus fin, il y a plus de parts mais elles sont plus petites.
- Simplifier, c'est diviser les deux termes : les parts deviennent plus grosses, il y en a moins.
Les deux termes, toujours. Multiplier seulement le numérateur change le nombre : $\frac{2}{3}$ et $\frac{4}{3}$ sont deux nombres différents (le second est le double du premier). C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Pour simplifier, on cherche un diviseur commun. Les tables de multiplication suffisent le plus souvent. On se souvient aussi qu'un nombre entier est divisible :
- par $2$ s'il se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ ;
- par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$ ;
- par $10$ s'il se termine par $0$.
Compléter une égalité de fractions. Pour $\dfrac{2}{3} = \dfrac{\ldots}{9}$ : on passe de $3$ à $9$ en multipliant par $3$, donc on multiplie aussi $2$ par $3$, ce qui donne $\dfrac{6}{9}$.
2. Comparer deux fractions
a. Même dénominateur. Les parts sont de la même taille : la plus grande fraction est celle qui en compte le plus. $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$
b. Même numérateur. Le nombre de parts est le même, mais plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites : $\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$
c. Par comparaison à $1$. Une fraction vaut $1$ quand ses deux termes sont égaux. Donc : $\frac{a}{b} < 1 \text{ si } a < b \qquad\qquad \frac{a}{b} > 1 \text{ si } a > b$ $\frac{7}{8} < 1 < \frac{10}{9} \quad\text{donc}\quad \frac{7}{8} < \frac{10}{9}$
d. Par comparaison à $\dfrac{1}{2}$. Une fraction vaut $\dfrac{1}{2}$ quand son numérateur est la moitié de son dénominateur. Pour $\dfrac{5}{12}$ : la moitié de $12$ est $6$, et $5 < 6$, donc $\dfrac{5}{12} < \dfrac{1}{2}$. Pour $\dfrac{6}{11}$ : la moitié de $11$ est $5{,}5$, et $6 > 5{,}5$, donc $\dfrac{6}{11} > \dfrac{1}{2}$. Conclusion : $\dfrac{5}{12} < \dfrac{6}{11}$.
Dans les autres cas, on se ramène au même dénominateur. Pour comparer $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{5}{8}$, on écrit les deux en vingt-quatrièmes : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{24}$ et $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}$, donc $\dfrac{2}{3} > \dfrac{5}{8}$.
Le « bon » dénominateur commun est un multiple commun des deux. Le produit des deux dénominateurs marche toujours ($3\times8 = 24$), mais un multiple plus petit donne des calculs plus légers : pour $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{6}$, on prend $12$ et non $24$.
3. Encadrer, et le nombre mixte
Encadrer une fraction, c'est la coincer entre deux entiers consécutifs. On effectue pour cela la division euclidienne du numérateur par le dénominateur (chapitre 3).
Pour $\dfrac{23}{5}$ : $23 = 5\times4 + 3$, donc $\dfrac{23}{5} = 4 + \dfrac{3}{5}$, et $4 < \frac{23}{5} < 5.$
Définition. Une écriture de la forme $4 + \dfrac{3}{5}$, somme d'un entier et d'une fraction inférieure à $1$, s'appelle un nombre mixte.
Le quotient euclidien donne la partie entière, le reste donne le numérateur de la fraction restante. C'est le moyen le plus rapide de savoir « où se trouve » une fraction.
Ordonner une liste. On compare chaque nombre à $1$, puis on affine. $\frac{99}{100} < 1 < \frac{7}{6} < 1+\frac{1}{3} < \frac{5}{3}$ Ici $\dfrac{99}{100}$ est la seule inférieure à $1$ ; les trois autres valent $1+\dfrac{1}{6}$, $1+\dfrac{1}{3}$ et $1+\dfrac{2}{3}$ — il ne reste qu'à comparer $\dfrac{1}{6}$, $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{2}{3}$.
4. Additionner et soustraire
Même dénominateur : on ajoute les numérateurs. Les parts étant de même taille, trois septièmes plus deux septièmes font cinq septièmes. $\frac{3}{7}+\frac{2}{7} = \frac{5}{7} \qquad\qquad \frac{9}{4}-\frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
On n'additionne PAS les dénominateurs. $\frac{3}{7}+\frac{2}{7}$ ne fait pas $\frac{5}{14}$ : on compte des septièmes, le nom de la part ne change pas. $\frac{5}{14}$ est d'ailleurs plus petit que $\frac{3}{7}$ — une addition qui diminuerait le résultat devrait alerter.
Dénominateurs différents : on les rend égaux d'abord.
Cas facile — l'un est un multiple de l'autre. $\frac{3}{4}+\frac{5}{8} = \frac{6}{8}+\frac{5}{8} = \frac{11}{8}$
Cas général — on prend un multiple commun. $\frac{5}{4}+\frac{2}{3} = \frac{15}{12}+\frac{8}{12} = \frac{23}{12} \qquad\qquad \frac{7}{2}-\frac{3}{5} = \frac{35}{10}-\frac{6}{10} = \frac{29}{10} = 2{,}9$
Avec un entier. Un entier s'écrit comme une fraction de dénominateur $1$, donc de n'importe quel dénominateur : $2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4}-\frac{3}{4} = \frac{5}{4}$
5. Multiplier une fraction par un entier
On multiplie le numérateur, pas le dénominateur — c'est encore le nombre de parts qui change, pas leur taille : $3\times\frac{5}{7} = \frac{5}{7}+\frac{5}{7}+\frac{5}{7} = \frac{15}{7} \qquad\text{soit}\qquad n \times \frac{a}{b} = \frac{n\times a}{b}$
L'ordre est libre : $3\times\dfrac{5}{7} = \dfrac{5}{7}\times3$.
Simplifier AVANT de multiplier fait gagner du temps. Pour $12\times\dfrac{5}{6}$, on remarque que $12\div6 = 2$ : le résultat est $2\times5 = 10$. Passer par $\dfrac{60}{6}$ donne le même $10$, mais avec un calcul de plus. C'est aussi ainsi qu'on calcule « les $\frac{2}{3}$ de $60$ » : $60\div3 = 20$, puis $20\times2 = 40$.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Amplifier, simplifier
Compléter : a. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{\ldots}{9}$ · b. $\dfrac{4}{7} = \dfrac{28}{\ldots}$ · c. $\dfrac{20}{35} = \dfrac{4}{\ldots}$ · d. $\dfrac{45}{60} = \dfrac{\ldots}{4}$
Correction. a. $3\times3 = 9$ donc $2\times3 = 6$ : $\dfrac{6}{9}$. b. $4\times7 = 28$ donc $7\times7 = 49$ : $\dfrac{28}{49}$. c. $20\div5 = 4$ donc $35\div5 = 7$ : $\dfrac{4}{7}$. d. $60\div15 = 4$ donc $45\div15 = 3$ : $\dfrac{3}{4}$.
Exercice 2 — Lesquelles valent $\dfrac{7}{4}$ ?
Parmi $\dfrac{4}{7}$, $\dfrac{35}{20}$, $\dfrac{15}{18}$, $\dfrac{70}{40}$, $\dfrac{21}{28}$, trouver celles qui sont égales à $\dfrac{7}{4}$.
Correction. $\dfrac{35}{20} = \dfrac{7\times5}{4\times5} = \dfrac{7}{4}$ ✔ · $\dfrac{70}{40} = \dfrac{7\times10}{4\times10} = \dfrac{7}{4}$ ✔ Les autres non : $\dfrac{4}{7}$ est l'inverse des termes, $\dfrac{15}{18} = \dfrac{5}{6}$, et $\dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4}$.
$\dfrac{21}{28}$ est le piège : $21 = 7\times3$ et $28 = 4\times7$, mais les multiplicateurs ne sont pas les mêmes ($3$ et $7$). Il faut le même facteur des deux côtés.
Exercice 3 — Comparer
Comparer sans calculatrice : a. $\dfrac{5}{9}$ et $\dfrac{7}{9}$ · b. $\dfrac{4}{5}$ et $\dfrac{4}{9}$ · c. $\dfrac{11}{12}$ et $\dfrac{13}{12}$ · d. $\dfrac{7}{15}$ et $\dfrac{8}{15}$ · e. $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{5}{8}$
Correction. a. Même dénominateur : $\dfrac{5}{9} < \dfrac{7}{9}$. b. Même numérateur : des cinquièmes sont plus gros que des neuvièmes, donc $\dfrac{4}{5} > \dfrac{4}{9}$. c. $\dfrac{11}{12} < 1 < \dfrac{13}{12}$. d. Même dénominateur : $\dfrac{7}{15} < \dfrac{8}{15}$. e. Au même dénominateur $24$ : $\dfrac{16}{24} > \dfrac{15}{24}$, donc $\dfrac{2}{3} > \dfrac{5}{8}$.
Exercice 4 — Encadrer
Encadrer chaque fraction par deux entiers consécutifs et l'écrire comme nombre mixte : a. $\dfrac{17}{5}$ · b. $\dfrac{29}{4}$ · c. $\dfrac{50}{7}$
Correction. a. $17 = 5\times3+2$ : $3 < \dfrac{17}{5} < 4$ et $\dfrac{17}{5} = 3+\dfrac{2}{5}$. b. $29 = 4\times7+1$ : $7 < \dfrac{29}{4} < 8$ et $\dfrac{29}{4} = 7+\dfrac{1}{4}$. c. $50 = 7\times7+1$ : $7 < \dfrac{50}{7} < 8$ et $\dfrac{50}{7} = 7+\dfrac{1}{7}$.
Les deux dernières sont entre les mêmes entiers, et pourtant $\dfrac{29}{4}$ est la plus grande : $\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{7}$. L'encadrement ne suffit pas toujours pour comparer.
Exercice 5 — Ordonner
Ranger dans l'ordre croissant : $1$ ; $\dfrac{5}{3}$ ; $\dfrac{7}{6}$ ; $\dfrac{99}{100}$ ; $1+\dfrac{1}{3}$.
Correction. $\dfrac{99}{100} < 1 < \dfrac{7}{6} < 1+\dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{3}$
Méthode : une seule fraction est inférieure à $1$. Les trois autres s'écrivent $1+\dfrac{1}{6}$, $1+\dfrac{1}{3}$ et $1+\dfrac{2}{3}$ ; il suffit alors de comparer $\dfrac{1}{6}$, $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{2}{3}$.
Exercice 6 — Additions et soustractions
Calculer : a. $\dfrac{3}{11}+\dfrac{5}{11}$ · b. $\dfrac{7}{4}-\dfrac{3}{4}$ · c. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}$ · d. $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$ · e. $\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}$ · f. $1-\dfrac{2}{7}$
Correction. a. $\dfrac{8}{11}$ b. $\dfrac{4}{4} = 1$ c. $\dfrac{4}{8}+\dfrac{3}{8} = \dfrac{7}{8}$ d. $\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ e. $\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$ f. $\dfrac{7}{7}-\dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$
Exercice 7 — Dénominateurs quelconques
Calculer : a. $\dfrac{5}{4}+\dfrac{2}{3}$ · b. $\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{5}$ · c. $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}$
Correction. a. $\dfrac{15}{12}+\dfrac{8}{12} = \dfrac{23}{12}$ b. $\dfrac{35}{10}-\dfrac{6}{10} = \dfrac{29}{10} = 2{,}9$ c. $\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$
Contrôle rapide de a : les deux fractions valent un peu plus de $1$ et un peu moins de $1$ ; leur somme doit avoisiner $2$. Et $\dfrac{23}{12} = 1+\dfrac{11}{12}$, effectivement presque $2$.
Exercice 8 — Multiplier
Calculer : a. $4\times\dfrac{3}{5}$ · b. $\dfrac{2}{9}\times6$ · c. $15\times\dfrac{4}{5}$ · d. les $\dfrac{3}{8}$ de $40$
Correction. a. $\dfrac{12}{5}$ b. $\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$ c. $15\div5 = 3$ puis $3\times4 = \mathbf{12}$ d. $40\div8 = 5$ puis $5\times3 = \mathbf{15}$
En c, passer par $\dfrac{60}{5}$ mène au même résultat ; simplifier d'abord évite d'écrire un grand numérateur.
Exercice 9 — Le gâteau de Mia
Mia a découpé son gâteau en parts de tailles différentes. Leïla prend une part égale au quart du gâteau, Léo une part égale au sixième. a. Quelle fraction du gâteau ces deux parts représentent-elles ? b. Quelle fraction reste-t-il pour les autres invités ? c. Qui a la plus grosse part ?
Correction. a. $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$. b. $1-\dfrac{5}{12} = \dfrac{12}{12}-\dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{12}$. c. Même numérateur $1$ : le plus petit dénominateur donne la plus grosse part, c'est Leïla.
En b, on peut contrôler : il reste plus de la moitié du gâteau, puisque $\dfrac{7}{12} > \dfrac{6}{12}$. Cohérent avec a, où les deux parts réunies font moins de la moitié.
Exercice 10 — Inventer un problème
Inventer un énoncé dont la résolution demande de calculer $\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}$, puis une soustraction de votre choix.
Correction (une réponse possible). « Un réservoir est rempli aux $\dfrac{2}{5}$ le matin, puis on ajoute $\dfrac{3}{10}$ de sa contenance l'après-midi. Quelle fraction du réservoir est remplie ? Quelle fraction reste-t-il à remplir ? » Réponses : $\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$ rempli, et $1-\dfrac{7}{10} = \dfrac{3}{10}$ à remplir.
Un bon énoncé impose que les deux fractions portent sur le même tout — ici la contenance du réservoir. Deux fractions de touts différents ne s'additionnent pas.
À retenir
Le nombre ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. $\frac{7}{3} = \frac{14}{6} \qquad\qquad \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$
Comparer : même dénominateur → le plus grand numérateur gagne · même numérateur → le plus petit dénominateur gagne · sinon, comparaison à $1$, à $\dfrac{1}{2}$, ou mise au même dénominateur.
Encadrer : la division euclidienne du numérateur par le dénominateur donne le nombre mixte. $\dfrac{23}{5} = 4+\dfrac{3}{5}$, donc $4 < \dfrac{23}{5} < 5$.
Additionner et soustraire : même dénominateur obligatoire, puis on opère sur les numérateurs seuls. $\frac{5}{4}+\frac{2}{3} = \frac{15}{12}+\frac{8}{12} = \frac{23}{12}$
Multiplier par un entier : $n\times\dfrac{a}{b} = \dfrac{n\times a}{b}$ — et l'on simplifie avant quand c'est possible.
À connaître par cœur : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ ; $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ ; $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ ; $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$ ; $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ ; $\dfrac{4}{2} = 2$.
Chapitre suivant : les pourcentages.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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