Mathématiques — 6ème
Additionner, soustraire et multiplier des décimaux — Maths Sixième (chapitre 2)
Poser une addition et une soustraction de décimaux, multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, sens et technique de la…
Par ProfBot
Voir la vidéo du cours sur YouTube
Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
Chapitre 2 — Nombres et calculs · Sixième
Multiplier, est-ce toujours agrandir ? $12 \times 0{,}5$ vaut $6$ : le résultat est plus petit que $12$. C'est la grande nouveauté de la sixième — la multiplication n'est plus seulement « une addition répétée », et il faut lui donner un sens nouveau pour comprendre ce qui se passe.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Nombres, calcul et résolution de problèmes :
automatismes — « L'élève applique de manière automatique la procédure de multiplication d'un nombre décimal par 1, par 10, par 100 ou par 1 000 » ; « Il applique de manière automatique la procédure de division d'un nombre décimal par 1, par 10, par 100 ou par 1 000 ».
Objectifs d'apprentissage — « Additionner et soustraire des nombres décimaux » ; « Multiplier un nombre entier ou un nombre décimal par $0{,}1$, par $0{,}01$, et par $0{,}001$ » ; « Connaître le lien avec la division par $10$, $100$ et par $1\,000$ » ; « Comprendre le sens de la multiplication de deux nombres décimaux » ; « Calculer le produit de deux nombres décimaux » ; « Contrôler les résultats à l'aide d'ordres de grandeur » ; « Résoudre des problèmes mettant en jeu des multiplications entre des nombres décimaux ».
Le programme insiste : comprendre ce nouveau sens « requiert de dépasser la conception de la multiplication comme une addition itérée » et « gagne à prendre appui sur le calcul de l'aire d'un rectangle ».
1. Additionner et soustraire
Règle. Pour poser une addition ou une soustraction de décimaux, on aligne les virgules les unes sous les autres — donc les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, etc.
$\begin{array}{r} 12{,}4 \\ +\;\; 3{,}75 \\ \hline 16{,}15 \end{array}$
Pour que les colonnes soient complètes, on peut ajouter des zéros à droite : $12{,}4 = 12{,}40$. Ces zéros ne changent rien à la valeur (chapitre 1) mais évitent les décalages.
Aligner à droite comme pour les entiers est l'erreur numéro un. Écrire $12{,}4$ au-dessus de $3{,}75$ en collant les derniers chiffres reviendrait à additionner des dixièmes avec des centièmes. On aligne les virgules, jamais les bords.
2. Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000
Règle. Multiplier par $10$, c'est faire glisser tous les chiffres d'un rang vers la gauche : chaque chiffre prend dix fois plus de valeur. Diviser par $10$ les fait glisser d'un rang vers la droite.
$3{,}47 \times 10 = 34{,}7 \qquad 3{,}47 \times 100 = 347 \qquad 3{,}47 \times 1\,000 = 3\,470$ $3{,}47 \div 10 = 0{,}347 \qquad 3{,}47 \div 100 = 0{,}0347$
« La virgule se déplace » est une image commode, mais fausse. Ce ne sont pas la virgule qui bouge, ce sont les chiffres qui changent de rang : dans $3{,}47 \times 10$, le $3$ passe des unités aux dizaines. La virgule, elle, reste toujours entre les unités et les dixièmes. Cette nuance évite d'oublier les zéros : $3{,}47 \times 1\,000$ donne $3\,470$, avec un zéro qu'aucun « déplacement de virgule » ne fait apparaître tout seul.
3. Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
Propriété.
$\times \, 0{,}1 \; = \; \div \, 10 \qquad\qquad \times \, 0{,}01 \; = \; \div \, 100 \qquad\qquad \times \, 0{,}001 \; = \; \div \, 1\,000$
$45 \times 0{,}1 = 4{,}5 \qquad 45 \times 0{,}01 = 0{,}45 \qquad 8{,}3 \times 0{,}001 = 0{,}0083$
Pourquoi ? Parce que $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$. Multiplier par un dixième, c'est prendre le dixième — donc diviser par $10$.
Multiplier peut rendre plus PETIT. C'est le point qui déroute, et il est normal de buter dessus : jusqu'ici, multiplier agrandissait toujours. La règle complète est simple — multiplier par un nombre inférieur à $1$ diminue, multiplier par un nombre supérieur à $1$ augmente, et multiplier par $1$ ne change rien.
4. Le sens de la multiplication de deux décimaux
Que peut bien vouloir dire $2{,}4 \times 1{,}5$ ? On ne peut pas « ajouter $2{,}4$ une fois et demie ». Le sens vient de la géométrie : c'est l'aire, en m², d'un rectangle de $2{,}4$ m sur $1{,}5$ m.
Découpons ce rectangle en quatre morceaux :
| morceau | dimensions | aire |
|---|---|---|
| grand | $2 \times 1$ | $2$ |
| bande du haut | $2 \times 0{,}5$ | $1$ |
| bande de droite | $0{,}4 \times 1$ | $0{,}4$ |
| petit coin | $0{,}4 \times 0{,}5$ | $0{,}2$ |
| total | $\mathbf{3{,}6}$ |
$2{,}4 \times 1{,}5 = 3{,}6$
L'aire d'un rectangle donne un sens à TOUTE multiplication. Elle marche pour des entiers ($3\times4$ : douze carreaux), pour des décimaux, et même quand le résultat est plus petit que les facteurs. Un rectangle de $2$ m sur $0{,}5$ m a une aire de $1$ m² : moins que $2$, et pourtant c'est bien une multiplication.
5. La technique : compter les décimales
Méthode.
1. On oublie les virgules et on multiplie les nombres entiers obtenus.
2. On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
3. On place la virgule dans le résultat pour qu'il ait autant de décimales.
Exemple. $2{,}4 \times 1{,}5$
- $24 \times 15 = 360$
- $2{,}4$ a une décimale, $1{,}5$ en a une : total deux.
- Le résultat a deux décimales : $3{,}60$, c'est-à-dire $\mathbf{3{,}6}$.
Autre exemple. $0{,}25 \times 0{,}4$
- $25 \times 4 = 100$
- $2 + 1 = 3$ décimales.
- Résultat : $0{,}100$, c'est-à-dire $\mathbf{0{,}1}$.
On compte les décimales des FACTEURS, pas celles du résultat entier. Dans le second exemple, $100$ n'a aucune décimale ; il faut lui en donner trois, ce qui oblige à écrire des zéros devant : $0{,}100$. Sauter cette étape donne $1{,}00$, soit dix fois trop.
Contrôler avec un ordre de grandeur
Un ordre de grandeur est une valeur approchée simple, obtenue en remplaçant chaque nombre par un nombre voisin facile à calculer.
$2{,}4 \times 1{,}5 \; : \quad 2{,}4 \approx 2 \quad\text{et}\quad 1{,}5 \approx 2 \quad\Longrightarrow\quad \text{résultat proche de } 4.$ On a trouvé $3{,}6$ : c'est plausible.
$0{,}25 \times 0{,}4 \; : \quad \text{un quart de } 0{,}4 \quad\Longrightarrow\quad \text{résultat proche de } 0{,}1.$
L'ordre de grandeur ne vérifie pas le calcul : il vérifie la VIRGULE. Il ne dira jamais si vous avez confondu $23$ et $32$, mais il détectera immédiatement un résultat dix ou cent fois trop grand — et c'est de très loin l'erreur la plus fréquente avec les décimaux. Il coûte trois secondes, à faire avant de poser l'opération.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Additions et soustractions
Calculer : a. $7{,}8 + 12{,}45$ · b. $30 - 4{,}6$ · c. $5{,}09 + 0{,}91$ · d. $12{,}3 - 8{,}75$
Correction. a. $7{,}80 + 12{,}45 = \mathbf{20{,}25}$ b. $30{,}0 - 4{,}6 = \mathbf{25{,}4}$ c. $5{,}09 + 0{,}91 = \mathbf{6}$ d. $12{,}30 - 8{,}75 = \mathbf{3{,}55}$
En c, le résultat est un entier : $0{,}09 + 0{,}91 = 1$ centième plus 91 centièmes… soit $100$ centièmes, c'est-à-dire une unité entière qui se reporte.
Exercice 2 — Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000
Calculer : a. $6{,}25 \times 100$ · b. $0{,}4 \times 1\,000$ · c. $52 \div 100$ · d. $7{,}3 \div 1\,000$
Correction. a. $\mathbf{625}$ · b. $\mathbf{400}$ · c. $\mathbf{0{,}52}$ · d. $\mathbf{0{,}0073}$
En b, il faut ajouter deux zéros : $0{,}4 \times 1\,000$ ne peut pas s'obtenir en « déplaçant la virgule » sur un nombre qui n'a qu'une décimale.
Exercice 3 — Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
Calculer : a. $80 \times 0{,}1$ · b. $3{,}5 \times 0{,}01$ · c. $250 \times 0{,}001$ · d. $0{,}6 \times 0{,}1$
Correction. a. $80 \div 10 = \mathbf{8}$ b. $3{,}5 \div 100 = \mathbf{0{,}035}$ c. $250 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}25}$ d. $0{,}6 \div 10 = \mathbf{0{,}06}$
Les quatre résultats sont plus petits que le nombre de départ : c'est normal, on multiplie à chaque fois par un nombre inférieur à $1$.
Exercice 4 — Plus grand ou plus petit ?
Sans calculer, dire si le résultat est plus grand ou plus petit que $40$ : a. $40 \times 1{,}2$ · b. $40 \times 0{,}9$ · c. $40 \times 1$ · d. $40 \times 0{,}01$
Correction. a. Plus grand ($1{,}2 > 1$). b. Plus petit ($0{,}9 < 1$). c. Égal. d. Plus petit, et même beaucoup : $0{,}4$.
Exercice 5 — Produits de décimaux
Calculer : a. $3{,}2 \times 4$ · b. $1{,}5 \times 2{,}5$ · c. $0{,}6 \times 0{,}7$ · d. $12{,}5 \times 0{,}8$
Correction. a. $32\times4 = 128$, une décimale : $\mathbf{12{,}8}$ b. $15\times25 = 375$, deux décimales : $\mathbf{3{,}75}$ c. $6\times7 = 42$, deux décimales : $\mathbf{0{,}42}$ d. $125\times8 = 1\,000$, deux décimales : $10{,}00$, c'est-à-dire $\mathbf{10}$
Contrôle de c par ordre de grandeur : $0{,}6$ et $0{,}7$ sont tous deux inférieurs à $1$, donc le produit doit être inférieur à $0{,}7$. $0{,}42$ convient ; $4{,}2$ aurait été absurde.
Exercice 6 — Ordres de grandeur
Donner un ordre de grandeur de chaque produit, sans poser l'opération. a. $19{,}8 \times 5{,}1$ · b. $0{,}49 \times 200$ · c. $9{,}7 \times 0{,}98$
Correction. a. $20 \times 5 = 100$ b. $0{,}5 \times 200 = 100$ c. $10 \times 1 = 10$
Résultats exacts : $100{,}98$ ; $98$ ; $9{,}506$. Les trois ordres de grandeur étaient bons — et chacun s'obtient de tête.
Exercice 7 — Un problème de courses
Un magasin vend des pommes à $2{,}40$ € le kilogramme. a. Combien coûtent $1{,}5$ kg de pommes ? b. Combien coûtent $0{,}25$ kg ? c. Vérifier chaque réponse par un ordre de grandeur.
Correction. a. $2{,}40 \times 1{,}5 = \mathbf{3{,}60}$ €. b. $2{,}40 \times 0{,}25 = \mathbf{0{,}60}$ €. c. Pour a : un peu plus d'un kilo, donc un peu plus de $2{,}40$ € — $3{,}60$ € convient. Pour b : un quart de kilo, donc le quart de $2{,}40$ €, soit $0{,}60$ € ✔
Exercice 8 — Un problème d'aire
Une pièce rectangulaire mesure $4{,}5$ m sur $3{,}2$ m. On veut la recouvrir d'un revêtement vendu $18{,}50$ € le m². a. Quelle est l'aire de la pièce ? b. Quel est le prix du revêtement ? c. Contrôler ce prix par un ordre de grandeur.
Correction. a. $4{,}5 \times 3{,}2 = \mathbf{14{,}4}$ m² ($45\times32 = 1\,440$, deux décimales). b. $14{,}4 \times 18{,}50 = \mathbf{266{,}40}$ €. c. Environ $14 \times 20 = 280$ € : le résultat trouvé est du bon ordre ✔
Exercice 9 — Le piège de la virgule
Un élève calcule $0{,}3 \times 0{,}4$ et trouve $1{,}2$. a. Où est l'erreur ? b. Donner le bon résultat, et l'expliquer avec un ordre de grandeur.
Correction. a. Il a bien calculé $3\times4 = 12$, mais il n'a compté qu'une décimale au lieu de deux. b. Deux décimales donnent $0{,}12$. Ordre de grandeur : $0{,}3$ et $0{,}4$ sont tous deux inférieurs à $1$, donc le produit est inférieur à $0{,}4$. $1{,}2$ était dix fois trop grand.
C'est exactement le rôle de l'ordre de grandeur : il n'aurait rien dit sur « $3\times4$ », mais il rejette $1{,}2$ immédiatement.
À retenir
Poser une addition ou une soustraction de décimaux : on aligne les virgules, et l'on complète avec des zéros à droite si besoin.
$\times 10 \; \rightarrow \text{les chiffres glissent d'un rang à GAUCHE} \qquad \div 10 \; \rightarrow \text{à DROITE}$
$\times\,0{,}1 = \div\,10 \qquad \times\,0{,}01 = \div\,100 \qquad \times\,0{,}001 = \div\,1\,000$
Multiplier par un nombre inférieur à $1$ DIMINUE. Par un nombre supérieur à $1$, augmente. Par $1$, ne change rien.
Le sens de la multiplication de deux décimaux : l'aire d'un rectangle.
La technique : on multiplie sans les virgules, on compte les décimales des deux facteurs, on en met autant au résultat.
L'ordre de grandeur vérifie la VIRGULE, pas le calcul. À faire avant de poser l'opération.
Chapitre suivant : les divisions.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
← Chapitre 1 · Les nombres entiers et décimaux | Chapitre 3 · Diviser : division euclidienne et division décimale →