Mathématiques — 6ème
La symétrie axiale — Maths Sixième (chapitre 15)
Définition du symétrique d'un point par rapport à une droite, construction au compas, à l'équerre et sur quadrillage, propriétés conservées par la symétrie…
Par ProfBot
La symétrie axiale
Chapitre 15 — Espace et géométrie · Sixième
Plier une feuille et voir les deux moitiés se superposer : c'est toute la symétrie axiale. Reste à en donner une définition qui fonctionne sans plier — sur papier uni, avec une règle et un compas. Cette définition, on la connaît déjà : c'est la médiatrice du chapitre 12.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Espace et géométrie, thème Symétrie axiale :
« Connaître la définition du symétrique d'un point par rapport à une droite » ; « Connaître et utiliser les propriétés de la symétrie axiale pour effectuer des constructions ».
Les automatismes du programme demandent aussi de « reconnaître si une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie ».
1. Le symétrique d'un point
![Le point M, son symétrique M' et l'axe (d), médiatrice de [MM'].](/plateforme/cours/maths-sixieme/ch15-definition.svg)
Définition. Soit $(d)$ une droite et $M$ un point qui n'est pas sur $(d)$. Le symétrique de $M$ par rapport à $(d)$ est le point $M'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice du segment $[MM']$.
Autrement dit, $(d)$ est perpendiculaire à $[MM']$ et le coupe en son milieu. Les deux conditions sont indispensables : la première donne la direction, la seconde la distance.
Deux cas et une remarque.
- Si $M$ appartient à $(d)$, alors $M$ est son propre symétrique.
- La relation est réciproque : si $M'$ est le symétrique de $M$, alors $M$ est le symétrique de $M'$.
Le symétrique n'est pas « le point d'en face » au jugé. Il est à la même distance de l'axe, sur la perpendiculaire à l'axe passant par $M$. Un point placé à vue d'œil est presque toujours décalé le long de l'axe — d'où l'usage des instruments.
2. Construire un symétrique
Au compas (sur papier uni). On choisit deux points $P$ et $Q$ sur l'axe. On trace l'arc de centre $P$ et de rayon $PM$, puis l'arc de centre $Q$ et de rayon $QM$. Ces deux arcs se recoupent en $M'$. Pourquoi ça marche : $PM = PM'$ et $QM = QM'$, donc $P$ et $Q$ sont sur la médiatrice de $[MM']$ — c'est-à-dire que l'axe est cette médiatrice.
À l'équerre et à la règle graduée. On trace la perpendiculaire à l'axe passant par $M$, on mesure la distance de $M$ à l'axe, et on reporte la même distance de l'autre côté.
Sur quadrillage. On compte les carreaux : $M'$ est sur la même ligne que $M$ (si l'axe est vertical) et à autant de carreaux de l'axe.
Pour une figure, on ne construit que les points « importants ». Les sommets d'un polygone, le centre d'un cercle : on place leurs symétriques, puis on relie. Inutile de traiter les points d'un segment un à un — la symétrie transforme un segment en segment.
3. Ce que la symétrie conserve
Propriétés. La symétrie axiale conserve :
- les longueurs ;
- les mesures d'angles ;
- l'alignement ;
- les aires.
Il en découle la nature des images :
| objet | son symétrique |
|---|---|
| un point | un point |
| une droite | une droite |
| un segment | un segment de même longueur |
| un angle | un angle de même mesure |
| un cercle | un cercle de même rayon |
Une figure et son symétrique sont superposables — c'est ce que montre le pliage.
Superposable ne veut pas dire identique en tout. La figure image est retournée, comme dans un miroir : ce qui était à gauche se retrouve à droite. Les mesures, elles, ne changent pas — c'est ce qui compte en géométrie.
4. Les axes de symétrie d'une figure
Définition. Une droite est un axe de symétrie d'une figure si le symétrique de cette figure par rapport à cette droite est la figure elle-même.
| figure | axes de symétrie |
|---|---|
| rectangle (non carré) | $2$ |
| carré | $4$ |
| triangle isocèle (non équilatéral) | $1$ |
| triangle équilatéral | $3$ |
| cercle | une infinité (toutes les droites passant par le centre) |
| triangle quelconque | aucun |
Les diagonales d'un rectangle ne sont PAS des axes de symétrie. En pliant un rectangle le long d'une diagonale, les deux moitiés ne se superposent pas : c'est vérifiable en dix secondes avec une feuille. Seul le carré, dont les côtés sont égaux, admet ses diagonales comme axes.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Vrai ou faux
a. Le symétrique d'un point est toujours différent de ce point. b. Le symétrique d'un segment de $7$ cm est un segment de $7$ cm. c. La symétrie axiale peut agrandir une figure. d. Si $M'$ est le symétrique de $M$, alors $M$ est le symétrique de $M'$.
Correction. a. Faux : un point de l'axe est son propre symétrique. b. Vrai : les longueurs sont conservées. c. Faux : ni agrandir, ni réduire — les longueurs ne changent pas. d. Vrai : la relation est réciproque.
Exercice 2 — Distances à l'axe
Le point $M$ est à $2{,}5$ cm de l'axe $(d)$, et $M'$ est son symétrique. a. À quelle distance de l'axe se trouve $M'$ ? b. Combien mesure $MM'$ ? c. Où se trouve le milieu de $[MM']$ ?
Correction. a. $\mathbf{2{,}5}$ cm : c'est la définition même. b. $2{,}5+2{,}5 = \mathbf{5}$ cm. c. Sur l'axe — l'axe est la médiatrice de $[MM']$, donc il le coupe en son milieu.
Exercice 3 — Images de figures
Donner la nature et les dimensions de l'image : a. d'un segment de $4{,}2$ cm ; b. d'un angle de $47°$ ; c. d'un cercle de rayon $3$ cm ; d. d'un triangle de côtés $3$ ; $4$ ; $5$ cm.
Correction. a. Un segment de $\mathbf{4{,}2}$ cm. b. Un angle de $\mathbf{47°}$. c. Un cercle de rayon $\mathbf{3}$ cm (son centre est le symétrique du centre). d. Un triangle de côtés $3$ ; $4$ ; $5$ cm — superposable au premier.
Exercice 4 — Combien d'axes ?
Combien d'axes de symétrie possèdent ces figures ? a. un carré · b. un rectangle non carré · c. un cercle · d. un triangle équilatéral · e. un triangle quelconque
Correction. a. $\mathbf{4}$ · b. $\mathbf{2}$ · c. une infinité · d. $\mathbf{3}$ · e. aucun
Exercice 5 — Les lettres
Parmi les lettres majuscules $A$, $B$, $F$, $H$, $O$ : a. lesquelles ont un axe de symétrie vertical ? b. lesquelles ont un axe horizontal ? c. laquelle n'a aucun axe ?
Correction. (avec le tracé habituel des majuscules d'imprimerie) a. $A$, $H$, $O$. b. $B$, $H$, $O$. c. $F$.
$H$ et $O$ ont donc deux axes au moins. Le $O$, s'il est tracé comme un cercle parfait, en a même une infinité.
Exercice 6 — Construire
Décrire la construction du symétrique d'un triangle $ABC$ par rapport à une droite $(d)$, sur papier uni.
Correction.
- Construire $A'$, symétrique de $A$ : perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$, puis report de la distance de l'autre côté (ou deux arcs de compas centrés sur deux points de $(d)$).
- Faire de même pour $B$ puis pour $C$.
- Tracer les segments $[A'B']$, $[B'C']$ et $[C'A']$.
Trois points suffisent : la symétrie transforme un segment en segment, donc relier les images des sommets donne bien l'image du triangle.
Exercice 7 — Un axe mal choisi
Léa affirme : « une diagonale d'un rectangle est un axe de symétrie, puisqu'elle le coupe en deux triangles superposables. » Où est l'erreur ?
Correction. Les deux triangles sont bien superposables, mais pas par pliage le long de la diagonale : il faut les faire tourner d'un demi-tour pour les superposer. Or un axe de symétrie doit envoyer la figure sur elle-même par pliage. En pliant un rectangle le long d'une diagonale, les deux moitiés dépassent l'une de l'autre.
Deux figures superposables ne sont pas forcément symétriques par rapport à une droite donnée : c'est la transformation qui compte, pas seulement le résultat.
Exercice 8 — Le drapeau
Un drapeau rectangulaire porte un disque parfaitement centré. Combien d'axes de symétrie possède ce dessin ?
Correction. $\mathbf{2}$ : les deux axes du rectangle (la médiatrice de chaque côté). Le disque, lui, en admettrait une infinité, mais un axe de symétrie du dessin doit convenir aux deux figures à la fois ; seules les deux droites du rectangle passent par le centre du disque et conservent le rectangle.
À retenir
Définition : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $(d)$ lorsque $(d)$ est la médiatrice de $[MM']$ — perpendiculaire, et passant par le milieu.
Un point de l'axe est son propre symétrique. La relation est réciproque.
Constructions : au compas (deux arcs centrés sur l'axe) · à l'équerre et à la règle · sur quadrillage en comptant les carreaux.
La symétrie axiale conserve longueurs, mesures d'angles, alignement et aires. Segment $\rightarrow$ segment de même longueur ; angle $\rightarrow$ angle de même mesure ; cercle $\rightarrow$ cercle de même rayon.
Axes de symétrie : carré $4$ · rectangle $2$ · triangle équilatéral $3$ · triangle isocèle $1$ · cercle une infinité · triangle quelconque aucun.
Chapitre suivant : les solides et la vision dans l'espace.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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