Mathématiques — 6ème
Les triangles — Maths Sixième (chapitre 14)
Construire un triangle à partir de trois données, quand trois longueurs ne donnent aucun triangle, la somme des angles d'un triangle vaut 180°, triangles…
Par ProfBot
Les triangles
Chapitre 14 — Espace et géométrie · Sixième
Le triangle est la figure la plus simple qui enferme une surface — et de loin la plus riche. C'est là que se rejoignent les deux grands sujets de l'année : les distances (chapitre 12) et les angles (chapitre 13). Une propriété remarquable les relie : dans tout triangle, la somme des angles vaut exactement $180°$.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Espace et géométrie, thème Triangles :
« Construire des triangles » ; « Connaître et utiliser les propriétés angulaires des triangles particuliers : triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral » ; « Connaître la valeur de la somme des mesures des angles d'un triangle » ; « L'utiliser pour calculer des angles, effectuer des constructions et résoudre des problèmes » ; « Savoir que les médiatrices d'un triangle sont concourantes » ; « Connaître et construire le cercle circonscrit à un triangle ».
Le programme note aussi qu'« à l'aide du compas, l'élève remarque que la donnée de trois longueurs ne permet pas toujours de construire un triangle ».
1. Construire un triangle
Trois données bien choisies suffisent :
a. Les trois côtés — au compas. On trace un côté, puis deux arcs de rayons les deux autres longueurs ; leur intersection donne le troisième sommet.
b. Deux côtés et l'angle entre eux — au rapporteur. On trace un côté, on construit l'angle à l'une de ses extrémités, on reporte la seconde longueur.
c. Un côté et les deux angles qui le touchent — au rapporteur. On trace le côté, puis les deux angles à ses extrémités : les demi-droites se coupent au troisième sommet.
Avant de construire, on fait toujours un croquis à main levée avec le codage des données : petits traits pour les côtés égaux, arcs pour les angles égaux, petit carré pour l'angle droit. Le croquis n'a pas besoin d'être exact — il sert à savoir dans quel ordre construire.
2. Trois longueurs ne suffisent pas toujours
Essayons de construire un triangle de côtés $6$ cm, $2$ cm et $3$ cm. On trace le segment de $6$ cm, puis les deux arcs… qui ne se rencontrent pas. Aucun triangle n'existe.
La raison tient en une ligne, et on la connaît depuis le chapitre 12 : le segment est le plus court chemin. Passer par le troisième sommet ne peut pas être plus court que d'aller tout droit : $2+3 = 5 < 6.$
Avec $6$ cm, $4{,}5$ cm et $5$ cm, en revanche, $4{,}5+5 = 9{,}5 > 6$ : les arcs se coupent, le triangle existe.
Le test se fait sur le plus GRAND côté. C'est lui qu'il faut comparer à la somme des deux autres — inutile de faire les trois vérifications si l'on repère d'abord le plus long.
3. La somme des angles
Découpons les trois coins d'un triangle en papier et posons-les côte à côte, sommet contre sommet : ils forment exactement un angle plat. On peut recommencer avec n'importe quel triangle — le résultat ne change jamais.
Propriété. Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$ :
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180°.$
Application immédiate : deux angles connus donnent le troisième. Si $\widehat{A} = 65°$ et $\widehat{B} = 48°$, alors $\widehat{C} = 180-65-48 = 67°.$
Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits. $90+90 = 180$ : il ne resterait $0°$ pour le troisième, et deux côtés parallèles ne se couperaient jamais. De même, un triangle a au plus un angle obtus.
4. Les triangles particuliers
Triangle isocèle. Deux côtés de même longueur. Les deux angles à la base sont alors égaux — et réciproquement, deux angles égaux entraînent deux côtés égaux.
Si $ABC$ est isocèle en $A$ avec $\widehat{A} = 30°$, les deux autres angles se partagent ce qui reste : $(180-30)\div2 = 75° \text{ chacun}.$
Triangle équilatéral. Trois côtés de même longueur. Ses trois angles sont alors égaux, donc chacun vaut
$180\div3 = 60°.$
Triangle rectangle. Un angle droit. Les deux autres angles, forcément aigus, ont pour somme
$180-90 = 90°.$
Dans un triangle isocèle, il faut savoir QUEL angle on connaît. L'angle « au sommet principal » et les angles « à la base » ne jouent pas le même rôle : si l'angle au sommet vaut $30°$, les deux autres valent $75°$ ; si un angle à la base vaut $30°$, l'autre à la base vaut aussi $30°$ et le sommet vaut $180-30-30 = 120°$. Deux situations, deux réponses.
5. Médiatrices et cercle circonscrit
Traçons les trois médiatrices d'un triangle $ABC$. Elles passent toutes les trois par un même point — on dit qu'elles sont concourantes.
Pourquoi ? Appelons $O$ le point d'intersection des médiatrices de $[AB]$ et de $[AC]$.
- $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$, donc $OA = OB$ ;
- $O$ est sur la médiatrice de $[AC]$, donc $OA = OC$.
Donc $OB = OC$ : le point $O$ est équidistant de $B$ et de $C$, donc il est aussi sur la médiatrice de $[BC]$. Les trois se rencontrent bien au même endroit.
Conséquence. $OA = OB = OC$ : le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ passe par les trois sommets. On l'appelle le cercle circonscrit au triangle.
Deux médiatrices suffisent pour le construire. La troisième ne sert qu'à vérifier — si elle ne passe pas par le point trouvé, c'est qu'une construction est imprécise. C'est un contrôle gratuit, et il faut le faire.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Le troisième angle
Calculer le troisième angle : a. $\widehat{A} = 65°$, $\widehat{B} = 48°$ · b. $\widehat{A} = 90°$, $\widehat{B} = 37°$ · c. $\widehat{A} = 120°$, $\widehat{B} = 25°$
Correction. a. $180-65-48 = \mathbf{67°}$ b. $180-90-37 = \mathbf{53°}$ c. $180-120-25 = \mathbf{35°}$
Contrôle en b : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus font $90°$ à eux deux, et $37+53 = 90$ ✔
Exercice 2 — Triangles particuliers
a. $ABC$ est isocèle en $A$ et $\widehat{A} = 40°$. Calculer $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$. b. $DEF$ est isocèle en $D$ et $\widehat{E} = 70°$. Calculer les deux autres angles. c. $GHI$ est équilatéral. Que valent ses angles ?
Correction. a. $(180-40)\div2 = \mathbf{70°}$ chacun. b. $\widehat{E}$ est un angle à la base, donc $\widehat{F} = \mathbf{70°}$ aussi, et $\widehat{D} = 180-70-70 = \mathbf{40°}$. c. $180\div3 = \mathbf{60°}$ chacun.
Les cas a et b portent sur le même triangle vu de deux façons — c'est précisément le piège signalé plus haut.
Exercice 3 — Constructible ou non ?
Peut-on construire un triangle de côtés : a. $3$ ; $4$ ; $8$ cm · b. $5$ ; $6$ ; $10$ cm · c. $2$ ; $3$ ; $5$ cm · d. $7$ ; $7$ ; $7$ cm
Correction. a. Non : $3+4 = 7 < 8$. b. Oui : $5+6 = 11 > 10$. c. Non : $2+3 = 5$, exactement la longueur du grand côté. Les deux arcs se touchent sur le segment : les trois points seraient alignés — ce n'est pas un triangle. d. Oui : c'est un triangle équilatéral, $7+7 = 14 > 7$.
Le cas c est le cas limite : égalité signifie alignement, exactement comme au chapitre 12 ($AC+CB = AB$ quand $C$ est sur $[AB]$).
Exercice 4 — Isocèle et rectangle à la fois
Un triangle est à la fois isocèle et rectangle. Quelles sont les mesures de ses trois angles ?
Correction. L'angle droit ne peut pas être un des deux angles égaux (il y aurait deux angles droits). Les deux angles égaux se partagent donc $180-90 = 90°$ : $90\div2 = 45°.$ Les angles mesurent $\mathbf{90°}$, $\mathbf{45°}$ et $\mathbf{45°}$.
Exercice 5 — Programme de construction
Écrire un programme de construction d'un triangle $ABC$ tel que $AB = 6$ cm, $\widehat{A} = 50°$ et $AC = 4$ cm.
Correction.
- Tracer le segment $[AB]$ de $6$ cm.
- Au rapporteur, construire un angle de $50°$ de sommet $A$, un côté porté par $[AB]$.
- Sur l'autre côté de cet angle, placer $C$ à $4$ cm de $A$.
- Tracer $[BC]$.
C'est le cas « deux côtés et l'angle entre les deux » : les données sont bien placées, la construction est possible et donne un seul triangle.
Exercice 6 — Vrai ou faux
a. Un triangle peut avoir deux angles obtus. b. Un triangle équilatéral est isocèle. c. Dans un triangle isocèle, les trois angles sont égaux. d. Si deux angles d'un triangle mesurent $60°$, le triangle est équilatéral.
Correction. a. Faux : deux angles obtus dépasseraient déjà $180°$ à eux seuls. b. Vrai : il a (au moins) deux côtés égaux — il en a même trois. c. Faux : seuls deux le sont, en général. d. Vrai : le troisième vaut $180-60-60 = 60°$, les trois angles sont égaux, donc les trois côtés aussi.
Exercice 7 — Le cercle circonscrit
$ABC$ est un triangle quelconque. a. Comment construire son cercle circonscrit ? b. Pourquoi ce cercle passe-t-il par les trois sommets ? c. Combien de cercles passent par $A$, $B$ et $C$ ?
Correction. a. On trace les médiatrices de deux côtés ; elles se coupent en $O$. Le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ est le cercle circonscrit. b. Parce que $OA = OB = OC$ : les trois sommets sont à la même distance de $O$, donc sur le même cercle. c. Un seul : son centre doit être équidistant des trois sommets, et il n'y a qu'un point qui le soit — l'intersection des médiatrices.
Exercice 8 — Un triangle dans un triangle
Dans un triangle $ABC$, on sait que $\widehat{A} = 80°$ et que le triangle est isocèle en $A$. a. Calculer $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$. b. La bissectrice de $\widehat{A}$ coupe $[BC]$ en $M$. Calculer les angles du triangle $ABM$.
Correction. a. $(180-80)\div2 = \mathbf{50°}$ chacun. b. Dans $ABM$ : $\widehat{BAM} = 80\div2 = 40°$ (la bissectrice), $\widehat{ABM} = \widehat{B} = 50°$, donc $\widehat{AMB} = 180-40-50 = \mathbf{90°}$.
Le résultat n'est pas un hasard : dans un triangle isocèle, la bissectrice de l'angle au sommet est aussi la médiatrice de la base — elle est perpendiculaire à $[BC]$ et passe par son milieu.
À retenir
Construire un triangle : trois côtés (au compas) · deux côtés et l'angle entre eux · un côté et les deux angles qui le touchent.
Trois longueurs ne donnent pas toujours un triangle : il faut que le plus grand côté soit plus court que la somme des deux autres.
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180°$
Isocèle : deux côtés égaux $\Leftrightarrow$ deux angles égaux. Équilatéral : trois côtés égaux, donc trois angles de $60°$. Rectangle : un angle droit, et les deux autres font $90°$ à eux deux.
Les trois médiatrices sont concourantes en un point $O$ tel que $OA = OB = OC$ : c'est le centre du cercle circonscrit, l'unique cercle passant par les trois sommets.
Chapitre suivant : la symétrie axiale.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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