Mathématiques — 6ème
Les angles — Maths Sixième (chapitre 13)
Définition et notation d'un angle, angle nul, aigu, droit, obtus, plat et plein, mesurer et construire un angle au rapporteur, angles adjacents,…
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Les angles
Chapitre 13 — Espace et géométrie · Sixième
Un angle mesure un écartement, pas une longueur. Deux demi-droites peuvent être très courtes ou très longues : l'angle qu'elles forment ne change pas. Cette idée simple demande un instrument nouveau — le rapporteur — et un vocabulaire précis, qu'on utilisera dans tous les chapitres de géométrie qui suivent.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Espace et géométrie, thème Angles :
« Connaître et utiliser les angles ainsi que le lexique et les notations qui s'y rapportent : angle droit, angle plat, angle plein, angle nul, angle aigu, angle obtus, angles opposés par le sommet, angles adjacents, angles supplémentaires » ; « Mesurer un angle » ; « Construire un angle de mesure donnée ».
thème Bissectrice d'un angle saillant — « Connaître la définition de la bissectrice » ; « Utiliser la définition de la bissectrice pour effectuer des constructions et résoudre des problèmes ».
1. Qu'est-ce qu'un angle ?
Deux demi-droites de même origine délimitent un angle. Cette origine est le sommet, les deux demi-droites sont les côtés.
Trois notations pour le même angle, selon ce qui est nommé sur la figure : $\widehat{xOy} \qquad \widehat{AOB} \qquad \widehat{O}$
La lettre du sommet est toujours au milieu. $\widehat{AOB}$ désigne l'angle de sommet $O$ ; $\widehat{OAB}$ désignerait celui de sommet $A$ — un tout autre angle. Le petit chapeau, lui, distingue l'angle $\widehat{O}$ du point $O$.
La longueur des côtés ne change rien. Prolonger les deux demi-droites ne modifie pas l'écartement : l'angle est le même. C'est déroutant au début, parce qu'un dessin plus grand paraît plus grand.
2. Les angles particuliers
L'unité de mesure est le degré, noté $°$.
| angle | mesure |
|---|---|
| nul | $0°$ |
| aigu | entre $0°$ et $90°$ |
| droit | $90°$ |
| obtus | entre $90°$ et $180°$ |
| plat | $180°$ |
| plein | $360°$ |
Ces mesures se retrouvent dans les déplacements : un quart de tour est un angle droit ($90°$), un demi-tour un angle plat ($180°$), un tour complet un angle plein ($360°$).
Un degré, c'est l'angle plat partagé en $180$. Rien de magique dans ce nombre : il vient, lui aussi, des astronomes babyloniens, qui comptaient en base soixante — $360 = 6\times60$. C'est le même héritage que les heures et les minutes du chapitre 11.
3. Mesurer et construire
Mesurer avec le rapporteur.
- On place le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l'angle.
- On fait passer le zéro d'une des deux graduations sur l'un des côtés.
- On lit la mesure là où le second côté croise le rapporteur.
Le rapporteur porte DEUX graduations, en sens contraires. À une position correspondent donc deux nombres, par exemple $55$ et $125$. On choisit celui de la graduation dont le zéro est sur le côté choisi — et on contrôle par le bon sens : un angle visiblement aigu ne peut pas mesurer $125°$.
Construire un angle de $130°$. On trace un côté, on place le centre du rapporteur à son extrémité, le zéro sur ce côté ; on marque un point en face de la graduation $130$ ; on trace la demi-droite. L'angle obtenu doit être obtus — dernier contrôle avant de conclure.
4. Trois relations entre angles
Définition. Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun, et s'ils sont situés de part et d'autre de ce côté (ils ne se chevauchent pas).
Définition. Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut $180°$.
$62°+118° = 180°$
Deux angles adjacents qui forment ensemble un angle plat sont supplémentaires.
Propriété. Deux droites sécantes forment quatre angles ; ceux qui sont opposés par le sommet ont la même mesure.
Adjacents et supplémentaires sont deux choses différentes. Deux angles peuvent être supplémentaires sans se toucher, chacun dans un coin de la feuille : seule la somme compte. Inversement, deux angles adjacents ne font pas forcément $180°$ à eux deux.
5. La bissectrice
Définition. La bissectrice d'un angle est la droite qui le partage en deux angles adjacents égaux.
Si $\widehat{O} = 70°$, sa bissectrice le partage en deux angles de $70\div2 = 35°$.
Construction au rapporteur : on mesure l'angle, on divise par deux, on construit le demi-angle depuis un côté. Construction par pliage : on plie la feuille de sorte que les deux côtés se superposent — le pli est la bissectrice. Cela montre au passage que la bissectrice est l'axe de symétrie de l'angle.
Diviser par deux, pas soustraire. La bissectrice d'un angle de $118°$ donne deux angles de $59°$ — et non de $118-90$, ni de $180-118$. Contrôle immédiat : les deux moitiés, remises bout à bout, doivent redonner l'angle de départ.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Nommer et classer
Classer ces angles : $15°$ ; $90°$ ; $178°$ ; $180°$ ; $0°$ ; $91°$.
Correction. Nul : $0°$ · Aigus : $15°$ · Droit : $90°$ · Obtus : $91°$ et $178°$ · Plat : $180°$.
$91°$ est obtus, de justesse : la frontière est à $90°$ exactement, et un angle de $91°$ est visuellement presque droit. Seule la mesure tranche.
Exercice 2 — Notations
Sur une figure, $O$ est le sommet d'un angle dont les côtés passent par $M$ et $P$. a. Écrire cet angle de deux façons. b. Que désignerait $\widehat{MOP}$ ? Et $\widehat{OMP}$ ?
Correction. a. $\widehat{MOP}$ (ou $\widehat{POM}$), et $\widehat{O}$ s'il n'y a pas d'ambiguïté. b. $\widehat{MOP}$ est l'angle de sommet $O$ ; $\widehat{OMP}$ est celui de sommet $M$ — un autre angle.
Exercice 3 — Supplémentaires
Calculer le supplémentaire de : a. $40°$ · b. $90°$ · c. $117°$ · d. $180°$
Correction. a. $180-40 = \mathbf{140°}$ · b. $180-90 = \mathbf{90°}$ · c. $180-117 = \mathbf{63°}$ · d. $180-180 = \mathbf{0°}$
En b, le supplémentaire d'un angle droit est un angle droit : deux angles droits font bien un angle plat.
Exercice 4 — Deux droites sécantes
Deux droites se coupent en $O$. L'un des quatre angles mesure $35°$. a. Quelle est la mesure de son opposé par le sommet ? b. Et celle des deux autres ? c. Vérifier que la somme des quatre angles vaut $360°$.
Correction. a. $\mathbf{35°}$ : les angles opposés par le sommet sont égaux. b. Chacun des deux autres est supplémentaire de $35°$ : $180-35 = \mathbf{145°}$. c. $35+145+35+145 = \mathbf{360°}$ ✔ — c'est un angle plein autour du point $O$.
Exercice 5 — Bissectrices
Calculer la mesure des deux angles obtenus en traçant la bissectrice d'un angle de : a. $70°$ · b. $90°$ · c. $118°$ · d. $180°$
Correction. a. $\mathbf{35°}$ · b. $\mathbf{45°}$ · c. $\mathbf{59°}$ · d. $\mathbf{90°}$
En d, la bissectrice d'un angle plat est perpendiculaire à ses côtés : elle forme deux angles droits. C'est exactement ce que fait la médiatrice sur un segment (chapitre 12).
Exercice 6 — Retrouver l'angle de départ
La bissectrice d'un angle forme, avec l'un des côtés, un angle de $24°$. Quelle est la mesure de l'angle de départ ?
Correction. $2\times24 = \mathbf{48°}$. Contrôle : $48\div2 = 24$ ✔
Exercice 7 — Autour d'un point
Trois angles de sommet $O$ se suivent et remplissent tout le tour : ils mesurent $120°$, $150°$ et un troisième inconnu. Quelle est sa mesure ?
Correction. Le tour complet vaut $360°$ : $360-120-150 = \mathbf{90°}$. Le troisième est un angle droit.
Exercice 8 — L'horloge
Les aiguilles d'une horloge partent toutes deux du $12$. a. Quel angle balaie la grande aiguille en un tour ? en un quart de tour ? b. Quel angle sépare les deux aiguilles à $3$ h pile ? à $4$ h pile ? à $6$ h pile ? c. Quel angle sépare deux chiffres consécutifs du cadran ?
Correction. a. Un tour : $\mathbf{360°}$. Un quart de tour : $\mathbf{90°}$. b. Le cadran compte $12$ intervalles égaux, soit $360\div12 = 30°$ chacun. À $3$ h : $3\times30 = \mathbf{90°}$ (angle droit). À $4$ h : $\mathbf{120°}$ (obtus). À $6$ h : $\mathbf{180°}$ (angle plat). c. $\mathbf{30°}$.
Exercice 9 — Vrai ou faux
a. Un angle dont les côtés sont plus longs est plus grand. b. Deux angles supplémentaires sont forcément adjacents. c. La bissectrice d'un angle aigu est un angle. d. Deux angles opposés par le sommet sont supplémentaires.
Correction. a. Faux : la longueur des côtés ne joue aucun rôle. b. Faux : ils peuvent être n'importe où, seule leur somme compte. c. Faux : c'est une droite, pas un angle. Elle partage l'angle, elle n'en est pas un. d. Faux en général : ils sont égaux. Ils ne seraient supplémentaires que s'ils mesuraient $90°$ chacun.
À retenir
Un angle est l'écartement de deux demi-droites de même origine. Notations : $\widehat{xOy}$, $\widehat{AOB}$, $\widehat{O}$ — la lettre du sommet au milieu.
Les six angles : nul $0°$ · aigu
lt;90°$ · droit $90°$ · obtus entre $90°$ et $180°$ · plat $180°$ · plein $360°$.Le rapporteur : centre sur le sommet, zéro sur un côté, lecture sur l'autre. Deux graduations : on contrôle avec aigu/obtus.
Adjacents : même sommet, un côté commun, de part et d'autre. Supplémentaires : somme $=180°$. Opposés par le sommet : même mesure.
Bissectrice : la droite qui partage l'angle en deux angles adjacents égaux — donc on divise par deux.
Chapitre suivant : les triangles.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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