Mathématiques — 6ème
Longueurs et périmètres — Maths Sixième (chapitre 9)
Les unités de longueur du kilomètre au millimètre, conversions, report d'une longueur au compas, périmètre du carré et du rectangle, périmètre du disque…
Par ProfBot
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Longueurs et périmètres
Chapitre 9 — Grandeurs et mesures · Sixième
Mesurer une longueur, c'est la comparer à une unité. Le système décimal rend ces comparaisons faciles : du kilomètre au millimètre, chaque unité vaut dix fois la suivante — exactement comme les rangs de la numération. Reste alors à faire le tour des figures : c'est le périmètre, et le disque y réserve une surprise appelée $\pi$.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Grandeurs et mesures, thème Les longueurs :
automatismes — préfixes « du kilo- au milli- », relations entre le mètre, ses multiples et sous-multiples, conversions, « utiliser le compas comme outil de report de longueurs », « le périmètre d'une figure plane est la longueur de son contour », calculer le périmètre d'un carré et d'un rectangle.
objectifs — « Savoir que le périmètre du disque est proportionnel à son diamètre » ; « Connaître la formule du périmètre d'un disque » ; « Calculer le périmètre d'un disque » ; « Calculer des périmètres de figures composées » ; « Résoudre des problèmes impliquant des longueurs ».
Le programme ajoute que ces formules « constituent une première sensibilisation au calcul littéral : l'élève substitue une valeur numérique à une lettre ».
1. Les unités de longueur
L'unité de référence est le mètre. Les préfixes disent par combien on multiplie :
| préfixe | kilo- | hecto- | déca- | — | déci- | centi- | milli- |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| unité | km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
| en mètres | $1\,000$ | $100$ | $10$ | $1$ | $0{,}1$ | $0{,}01$ | $0{,}001$ |
C'est la numération décimale, appliquée aux longueurs. Passer d'une unité à sa voisine de droite, c'est multiplier par $10$ ; à sa voisine de gauche, diviser par $10$. Convertir, c'est donc déplacer la virgule — jamais changer les chiffres.
$3{,}5\ \text{km} = 3\,500\ \text{m} \qquad 47\ \text{mm} = 4{,}7\ \text{cm} = 0{,}047\ \text{m} \qquad 2{,}4\ \text{m} = 240\ \text{cm}$
Le piège des sous-multiples. De $\text{m}$ à $\text{mm}$ il y a trois rangs, pas deux : $1$ m $=$ $1\,000$ mm. On compte les rangs sur l'escalier plutôt que de se fier à sa mémoire.
Reporter une longueur au compas. Pour reporter un segment sans le mesurer, on écarte le compas de la longueur voulue et on trace un arc : la longueur est transportée exactement, sans passer par un nombre. C'est plus précis qu'une règle graduée, et c'est la technique de base de toutes les constructions du chapitre 12.
2. Le périmètre
Définition. Le périmètre d'une figure plane est la longueur de son contour.
Pour une figure à côtés droits, on additionne simplement les longueurs des côtés. Deux cas reviennent si souvent qu'on retient une formule :
$\text{carré : } P = 4\times c \qquad\qquad \text{rectangle : } P = 2\times(L+\ell)$
Utiliser une formule, c'est remplacer les lettres par des nombres. Pour un rectangle de $8{,}2$ cm sur $3{,}5$ cm : $P = 2\times(8{,}2+3{,}5) = 2\times11{,}7 = 23{,}4\ \text{cm}$
Un périmètre est une LONGUEUR : il s'exprime en cm, en m, en km — jamais en cm². Et toutes les longueurs additionnées doivent être dans la même unité : additionner $2$ m et $30$ cm sans convertir donnerait n'importe quoi.
3. Le périmètre du disque
Enroulons une ficelle autour d'une boîte ronde, puis déroulons-la : elle mesure toujours un peu plus de trois diamètres. Et ce « un peu plus » est le même pour tous les disques, du couvercle de casserole à la piste d'un stade.
Propriété. Le périmètre d'un disque est proportionnel à son diamètre. Le coefficient est un nombre appelé pi, noté $\pi$.
$P = \pi\times D = 2\times\pi\times R$
où $D$ est le diamètre et $R$ le rayon.
$\pi \approx 3{,}14 \quad\text{(valeur arrondie au centième)}$
$\pi$ n'est pas $3{,}14$. $3{,}14$ n'en est qu'un arrondi : $\pi$ n'est pas un nombre décimal, et il ne peut pas non plus s'écrire sous forme de fraction. Son écriture décimale ne s'arrête jamais — on écrit donc $P \approx 15{,}7$ cm, avec le signe « environ », et non $=$.
Exemples.
- Disque de diamètre $5$ cm : $P = \pi\times5 \approx 15{,}7$ cm.
- Disque de rayon $3$ cm : $P = 2\times\pi\times3 = \pi\times6 \approx 18{,}8$ cm.
Rayon ou diamètre ? Le diamètre vaut deux rayons. Utiliser le rayon dans la formule $\pi\times D$ donne un résultat deux fois trop petit : c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre. On note toujours ce qu'on connaît avant de choisir sa formule.
4. Les figures composées
Pour une figure composée, une seule règle : on suit le contour et on additionne ce qu'on parcourt.
La figure ci-dessus est un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm, prolongé par un demi-disque de diamètre $4$ cm. En faisant le tour : $P = 6+4+6+\frac{\pi\times4}{2} \approx 16+6{,}28 = 22{,}28\ \text{cm}$
Le trait qui sépare les deux morceaux n'appartient pas au contour. Il aide à comprendre la figure, mais on ne le parcourt pas : le compter reviendrait à ajouter $4$ cm imaginaires. On parcourt la figure du doigt avant de compter — c'est le seul contrôle fiable.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Conversions
Convertir : a. $2{,}7$ km en m · b. $85$ mm en cm · c. $0{,}45$ m en mm · d. $12\,500$ m en km · e. $3$ m $+$ $40$ cm en cm
Correction. a. $2\,700$ m · b. $8{,}5$ cm · c. $450$ mm · d. $12{,}5$ km · e. $300+40 = 340$ cm
En e, il faut convertir avant d'additionner. « $3$ m $+$ $40$ cm $=$ $43$ » est faux : $43$ de quoi ?
Exercice 2 — Périmètres de polygones
Calculer le périmètre : a. d'un carré de côté $7{,}5$ cm ; b. d'un rectangle de $8{,}2$ cm sur $3{,}5$ cm ; c. d'un triangle de côtés $4$ cm, $5{,}5$ cm et $6{,}2$ cm.
Correction. a. $4\times7{,}5 = \mathbf{30}$ cm b. $2\times(8{,}2+3{,}5) = 2\times11{,}7 = \mathbf{23{,}4}$ cm c. $4+5{,}5+6{,}2 = \mathbf{15{,}7}$ cm
Exercice 3 — Périmètres de disques
Calculer, arrondi au dixième : a. le périmètre d'un disque de diamètre $8$ cm ; b. le périmètre d'un disque de rayon $8$ cm ; c. le périmètre d'un cercle de rayon $2{,}5$ m.
Correction. a. $\pi\times8 \approx \mathbf{25{,}1}$ cm b. $2\times\pi\times8 = \pi\times16 \approx \mathbf{50{,}3}$ cm c. $2\times\pi\times2{,}5 = \pi\times5 \approx \mathbf{15{,}7}$ m
Les questions a et b donnent volontairement le même nombre $8$ : le résultat de b est le double de celui de a, puisqu'un rayon de $8$ cm correspond à un diamètre de $16$ cm.
Exercice 4 — Retrouver le diamètre
Le tour d'un tronc d'arbre mesure $1{,}57$ m. Quel est, environ, son diamètre ?
Correction. Le périmètre vaut $\pi\times D$, donc $D = 1{,}57 \div \pi \approx \mathbf{0{,}5}$ m, soit environ $50$ cm. Contrôle : $\pi\times0{,}5 \approx 1{,}57$ ✔
Le périmètre étant proportionnel au diamètre, on remonte par une division — comme dans tout problème de proportionnalité (chapitre 7).
Exercice 5 — Le champ
Un champ rectangulaire mesure $45$ m de long et $28$ m de large. On veut l'entourer d'un grillage vendu $12$ € le mètre. a. Quelle longueur de grillage faut-il ? b. Combien coûtera-t-il ?
Correction. a. $P = 2\times(45+28) = 2\times73 = \mathbf{146}$ m. b. $146\times12 = \mathbf{1\,752}$ €.
Le prix est proportionnel à la longueur : $100$ m coûteraient $1\,200$ €, et $146$ m un peu plus — l'ordre de grandeur est bon.
Exercice 6 — La roue de vélo
Une roue de vélo a un diamètre de $70$ cm. a. Quelle distance parcourt le vélo en un tour de roue ? b. Combien de tours pour parcourir $1$ km ?
Correction. a. $\pi\times70 \approx 219{,}9$ cm, soit environ $\mathbf{2{,}20}$ m. b. $1$ km $=$ $1\,000$ m, donc $1\,000\div2{,}199 \approx \mathbf{455}$ tours.
On convertit avant de diviser : $1\,000 \div 2{,}20$ n'a de sens que si les deux longueurs sont en mètres.
Exercice 7 — Figure composée
Une figure est formée d'un carré de côté $6$ cm surmonté d'un demi-disque de diamètre $6$ cm. Calculer son périmètre, arrondi au dixième.
Correction. On parcourt trois côtés du carré, puis le demi-cercle : $P = 6+6+6+\frac{\pi\times6}{2} \approx 18+9{,}42 = \mathbf{27{,}4}\ \text{cm}$
Le quatrième côté du carré est remplacé par le demi-cercle : il ne fait plus partie du contour.
Exercice 8 — La piste
Une piste est formée de deux lignes droites de $85$ m reliées par deux demi-cercles de rayon $36$ m. Pour être homologuée, un tour doit mesurer au moins $400$ m. Cette piste peut-elle l'être ?
Correction. Les deux demi-cercles réunis forment un cercle complet de rayon $36$ m : $P = 2\times85 + 2\times\pi\times36 \approx 170+226{,}2 = \mathbf{396{,}2}\ \text{m}$ $396{,}2 < 400$ : la piste ne peut pas être homologuée.
Astuce de raisonnement : deux demi-cercles de même rayon font un cercle entier. Inutile de calculer chaque moitié séparément.
Exercice 9 — Vrai ou faux
a. Deux figures de même périmètre ont la même forme. b. Si l'on double le diamètre d'un disque, son périmètre double. c. Un périmètre peut s'exprimer en $\text{cm}^2$. d. $\pi = 3{,}14$.
Correction. a. Faux : un carré de côté $3$ cm et un rectangle de $4$ cm sur $2$ cm ont tous deux un périmètre de $12$ cm, et ne se ressemblent pas. b. Vrai : le périmètre est proportionnel au diamètre. c. Faux : un périmètre est une longueur, donc en cm, m, km. d. Faux : $3{,}14$ est un arrondi de $\pi$, pas $\pi$.
À retenir
Les unités : entre deux unités voisines, un facteur $10$. $1$ km $=1\,000$ m · $1$ m $=100$ cm $=1\,000$ mm.
Le périmètre est la longueur du contour, exprimée en unité de longueur. $\text{carré : } P = 4\times c \qquad \text{rectangle : } P = 2\times(L+\ell)$
Le disque : son périmètre est proportionnel à son diamètre, le coefficient est $\pi$. $P = \pi\times D = 2\times\pi\times R \qquad \pi\approx3{,}14$ $\pi$ n'est ni décimal ni une fraction : on écrit $\approx$, pas $=$.
Figures composées : on suit le contour du doigt et on additionne ce qu'on parcourt — les traits de construction intérieurs n'en font pas partie.
Avant tout calcul, on met toutes les longueurs dans la même unité.
Chapitre suivant : les aires et les volumes.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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