Mathématiques — 6ème
Les pourcentages — Maths Sixième (chapitre 6)
Le sens d'un pourcentage, l'écriture t/100, passer du pourcentage à la fraction et au nombre décimal, appliquer un pourcentage à une grandeur ou à un…
Par ProfBot
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Les pourcentages
Chapitre 6 — Nombres et calculs · Sixième
« $42\ \%$ de glucides », « $30\ \%$ de réduction », « $80\ \%$ de réussite » : le pourcentage est partout, et pour une raison simple — il ramène toutes les proportions à un même dénominateur, $100$. Comparer devient alors immédiat. C'est une nouvelle écriture des nombres déjà connus, et rien de plus mystérieux qu'une fraction.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Nombres, calcul et résolution de problèmes :
thème Les nombres entiers et décimaux — « Connaître la définition d'un pourcentage » ; « Associer et utiliser différentes écritures d'un nombre décimal : écriture à virgule, fraction, nombre mixte, pourcentage ».
thème Les fractions, sous-partie Pourcentages — « Comprendre le sens d'un pourcentage » ; « Calculer une proportion (rapport entre une partie et le tout) et l'exprimer sous forme de pourcentage dans des cas simples » ; « Appliquer un pourcentage à une grandeur ou à un nombre ».
1. Ce que veut dire « pour cent »
Définition. Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$ :
$t\ \% = \frac{t}{100}.$
Lire « $42\ \%$ », c'est lire « $42$ pour chaque centaine ». Si un aliment contient $42\ \%$ de glucides, alors $100$ g de cet aliment contiennent $42$ g de glucides. Et par le même raisonnement :
- $200$ g en contiennent $2\times42 = 84$ g ;
- $50$ g en contiennent $42\div2 = 21$ g.
Un pourcentage tout seul ne dit pas une quantité. $10\ \%$ d'un fleuve, ce n'est pas $10\ \%$ d'un verre d'eau. Un pourcentage porte toujours sur un tout ; sans ce tout, il n'a pas de valeur. La première question à se poser est donc : $10\ \%$ de quoi ?
2. Trois écritures d'un même nombre
$25\ \% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25$
On passe du pourcentage au nombre décimal en divisant par $100$, et du nombre décimal au pourcentage en multipliant par $100$.
| pourcentage | fraction | fraction simplifiée | écriture décimale |
|---|---|---|---|
| $10\ \%$ | $\dfrac{10}{100}$ | $\dfrac{1}{10}$ | $0{,}1$ |
| $20\ \%$ | $\dfrac{20}{100}$ | $\dfrac{1}{5}$ | $0{,}2$ |
| $25\ \%$ | $\dfrac{25}{100}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $0{,}25$ |
| $50\ \%$ | $\dfrac{50}{100}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0{,}5$ |
| $75\ \%$ | $\dfrac{75}{100}$ | $\dfrac{3}{4}$ | $0{,}75$ |
| $100\ \%$ | $\dfrac{100}{100}$ | $1$ | $1$ |
$100\ \%$, c'est la totalité — pas « beaucoup ». En sixième, on s'en tient d'ailleurs aux pourcentages compris entre $0\ \%$ et $100\ \%$, ceux qui expriment une part d'un tout : une proportion, une probabilité. (Au-delà, la notion garde un sens — $150\ \%$ d'une longueur, c'est une fois et demie cette longueur — mais ce sera pour plus tard.)
3. Appliquer un pourcentage
Prendre $t\ \%$ d'une grandeur, c'est en prendre la fraction $\dfrac{t}{100}$ — donc exactement ce qu'on a appris au chapitre 5.
$30\ \% \text{ de } 400 = \frac{30}{100}\times400 = 0{,}30\times400 = 120$
Trois chemins, un seul résultat :
- par la fraction : $\dfrac{30}{100}\times400$, en simplifiant $400\div100 = 4$, puis $4\times30 = 120$ ;
- par le décimal : $0{,}3\times400 = 120$ ;
- par $1\ \%$ (retour à l'unité) : $1\ \%$ de $400$ vaut $4$, donc $30\ \%$ valent $30\times4 = 120$.
Le chemin par $1\ \%$ est souvent le plus rapide de tête. $1\ \%$ s'obtient en divisant par $100$, ce qui revient à déplacer la virgule de deux rangs (chapitre 2). Pour $15\ \%$ de $60$ : $1\ \%$ de $60$ vaut $0{,}6$, donc $15\ \%$ valent $15\times0{,}6 = 9$.
4. Calculer une proportion
Le problème inverse : on connaît la partie et le tout, on cherche le pourcentage.
Définition. La proportion d'une partie dans un tout est le quotient
$\frac{\text{partie}}{\text{tout}}.$
L'exprimer en pourcentage, c'est écrire ce quotient sous la forme $\dfrac{t}{100}$.
Un sac contient $2$ boules blanches et $8$ boules noires, soit $10$ boules en tout. La proportion de blanches vaut $\frac{2}{10} = \frac{2\times10}{10\times10} = \frac{20}{100} = 20\ \%.$
Dans un collège de $400$ élèves, $120$ sont demi-pensionnaires : $\frac{120}{400} = \frac{120\div4}{400\div4} = \frac{30}{100} = 30\ \%.$
Le dénominateur doit rejoindre $100$ — en amplifiant ou en simplifiant. Sur $10$, on multiplie par $10$ ; sur $25$, par $4$ ; sur $50$, par $2$ ; sur $200$, on divise par $2$ ; sur $400$, par $4$. C'est pour cela que le programme parle de « cas simples » : le tout est un diviseur ou un multiple de $100$.
5. Comparer grâce aux pourcentages
Dans la classe A, $12$ élèves sur $25$ font de la musique. Dans la classe B, $13$ sur $50$. Quelle classe en compte proportionnellement le plus ?
Les fractions $\dfrac{12}{25}$ et $\dfrac{13}{50}$ ne se comparent pas d'un coup d'œil. Sur $100$, si : $\frac{12}{25} = \frac{48}{100} = 48\ \% \qquad\qquad \frac{13}{50} = \frac{26}{100} = 26\ \%$
La classe A, nettement. C'est tout l'intérêt du pourcentage : un dénominateur commun universel.
Attention : un pourcentage plus grand ne veut pas dire un effectif plus grand. Si la classe A compte $25$ élèves et la classe B $50$, alors $48\ \%$ de A font $12$ musiciens et $26\ \%$ de B en font $13$ : c'est la classe B qui en a plus, tout en ayant la proportion la plus faible. Proportion et quantité sont deux questions différentes.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Changer d'écriture
Écrire sous forme de fraction simplifiée puis de nombre décimal : a. $50\ \%$ · b. $25\ \%$ · c. $10\ \%$ · d. $80\ \%$ · e. $5\ \%$
Correction. a. $\dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ b. $\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ c. $\dfrac{10}{100} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$ d. $\dfrac{80}{100} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$ e. $\dfrac{5}{100} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05$
En e, l'erreur classique est d'écrire $0{,}5$. Or $5\ \% = 5\div100$ : la virgule se déplace de deux rangs, pas d'un.
Exercice 2 — Dans l'autre sens
Exprimer en pourcentage : a. $\dfrac{3}{4}$ · b. $\dfrac{7}{10}$ · c. $0{,}6$ · d. $\dfrac{1}{5}$ · e. $1$
Correction. a. $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 75\ \%$ b. $\dfrac{7}{10} = \dfrac{70}{100} = 70\ \%$ c. $0{,}6 = \dfrac{60}{100} = 60\ \%$ d. $\dfrac{1}{5} = \dfrac{20}{100} = 20\ \%$ e. $1 = \dfrac{100}{100} = 100\ \%$
Exercice 3 — Appliquer
Calculer : a. $50\ \%$ de $84$ · b. $25\ \%$ de $60$ · c. $10\ \%$ de $250$ · d. $30\ \%$ de $80$ · e. $15\ \%$ de $200$
Correction. a. La moitié : $42$. b. Le quart : $60\div4 = 15$. c. Le dixième : $25$. d. $1\ \%$ de $80$ vaut $0{,}8$, donc $30\times0{,}8 = 24$. e. $1\ \%$ de $200$ vaut $2$, donc $15\times2 = 30$.
Contrôle : $30\ \%$, c'est moins du tiers ; le tiers de $80$ vaut environ $26{,}7$, et $24$ est bien un peu en dessous.
Exercice 4 — Calculer une proportion
Exprimer en pourcentage : a. $9$ élèves sur $20$ · b. $7$ sur $25$ · c. $60$ sur $200$ · d. $18$ sur $50$
Correction. a. $\dfrac{9}{20} = \dfrac{45}{100} = 45\ \%$ (on multiplie par $5$) b. $\dfrac{7}{25} = \dfrac{28}{100} = 28\ \%$ (par $4$) c. $\dfrac{60}{200} = \dfrac{30}{100} = 30\ \%$ (on divise par $2$) d. $\dfrac{18}{50} = \dfrac{36}{100} = 36\ \%$ (par $2$)
Exercice 5 — L'étiquette
Un paquet de biscuits de $500$ g affiche $12\ \%$ de matières grasses. a. Quelle masse de matières grasses contient le paquet ? b. Et une portion de $125$ g ?
Correction. a. $1\ \%$ de $500$ g vaut $5$ g, donc $12\ \%$ valent $12\times5 = \mathbf{60}$ g. b. $125$ g, c'est le quart du paquet : $60\div4 = \mathbf{15}$ g. (Ou directement : $1\ \%$ de $125$ vaut $1{,}25$, et $12\times1{,}25 = 15$.)
Les deux méthodes de b doivent donner le même nombre — c'est un bon contrôle. Elles reposent sur la même idée : la masse de matières grasses est proportionnelle à la masse de biscuits, ce qui sera l'objet du chapitre 7.
Exercice 6 — Les soldes
Un blouson coûte $40$ €. Il est soldé à $-30\ \%$. a. Quelle est la réduction, en euros ? b. Quel est le prix payé ? c. À quelle fraction du prix initial correspond le prix payé ?
Correction. a. $1\ \%$ de $40$ € vaut $0{,}40$ €, donc $30\ \%$ valent $30\times0{,}40 = \mathbf{12}$ €. b. $40 - 12 = \mathbf{28}$ €. c. On paie $100\ \% - 30\ \% = 70\ \%$ du prix, soit $\dfrac{70}{100} = \dfrac{7}{10}$. Vérification : $\dfrac{7}{10}\times40 = 28$ ✔
La question c donne le raccourci : payer après une remise de $30\ \%$, c'est payer $70\ \%$ — un seul calcul au lieu de deux.
Exercice 7 — Comparer deux classes
En 6e A, $12$ élèves sur $25$ sont inscrits à la chorale. En 6e B, $13$ sur $50$. a. Exprimer chaque proportion en pourcentage. b. Dans quelle classe la chorale attire-t-elle le plus, proportionnellement ? c. Dans quelle classe y a-t-il le plus de choristes ?
Correction. a. $\dfrac{12}{25} = \dfrac{48}{100} = 48\ \%$ · $\dfrac{13}{50} = \dfrac{26}{100} = 26\ \%$ b. En 6e A : $48\ \% > 26\ \%$. c. En 6e B : $13 > 12$ choristes.
Les deux réponses se contredisent en apparence seulement : la 6e B est deux fois plus nombreuse. Une proportion ne se compare qu'à une autre proportion, un effectif qu'à un autre effectif.
Exercice 8 — Retrouver le tout
Dans un club, $20\ \%$ des membres sont des adultes, et il y a $30$ adultes. a. Combien de membres le club compte-t-il ? b. Combien y a-t-il d'enfants ?
Correction. a. $20\ \%$, c'est le cinquième : si le cinquième vaut $30$, le tout vaut $30\times5 = \mathbf{150}$ membres. b. $150 - 30 = \mathbf{120}$ enfants — soit $80\ \%$, et $\dfrac{120}{150} = \dfrac{80}{100}$ ✔
Ici on remonte du pourcentage au tout : on ne multiplie pas, on divise. Multiplier $30$ par $0{,}20$ donnerait $6$, un nombre plus petit que le nombre d'adultes — absurde.
Exercice 9 — Vrai ou faux
a. $50\ \%$ de $80$ est égal à $80\ \%$ de $50$. b. Prendre $10\ \%$ de $100$, puis $10\ \%$ du résultat, revient à prendre $20\ \%$ de $100$. c. Si $30\ \%$ des élèves d'un collège sont demi-pensionnaires, alors $70\ \%$ ne le sont pas.
Correction. a. Vrai : $40$ dans les deux cas. La multiplication ne dépend pas de l'ordre. b. Faux : $10\ \%$ de $100$ font $10$, puis $10\ \%$ de $10$ font $1$. On obtient $1$, et non $20$ : le second pourcentage porte sur un autre tout. c. Vrai : les deux parts réunies forment le tout, soit $100\ \%$, et $100-30 = 70$.
À retenir
$t\ \% = \frac{t}{100}$
Appliquer un pourcentage : $30\ \%$ de $400 = \dfrac{30}{100}\times400 = 0{,}3\times400 = 120$. Le chemin par $1\ \%$ (diviser par $100$) est le plus commode de tête.
Calculer une proportion : $\dfrac{\text{partie}}{\text{tout}}$, ramené sur $100$. $\dfrac{120}{400} = \dfrac{30}{100} = 30\ \%$.
À connaître : $10\ \% = \dfrac{1}{10}$ · $20\ \% = \dfrac{1}{5}$ · $25\ \% = \dfrac{1}{4}$ · $50\ \% = \dfrac{1}{2}$ · $75\ \% = \dfrac{3}{4}$ · $100\ \% = 1$.
Un pourcentage porte toujours sur un tout : sans le tout, il ne veut rien dire — et deux pourcentages ne se comparent que s'ils portent sur des touts comparables.
Chapitre suivant : la proportionnalité.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
← Chapitre 5 · Comparer et calculer avec les fractions | Chapitre 7 · La proportionnalité →