Mathématiques — 6ème
La pensée algébrique — motifs et nombres inconnus — Maths Sixième (chapitre 8)
Raisonner sur un nombre inconnu sans lettres, schémas en barres, égalités à trous, programmes de calcul et opérations inverses, comparer deux situations,…
Par ProfBot
La pensée algébrique : motifs et nombres inconnus
Chapitre 8 — Nombres et calculs · Sixième
Jusqu'ici, on calculait avec des nombres connus. On va maintenant raisonner sur un nombre qu'on ne connaît pas encore — et le trouver. C'est le début de l'algèbre. En sixième, l'inconnue ne s'écrit pas avec une lettre : elle se dessine, se nomme, se représente par une barre ou une case vide. Le raisonnement, lui, est déjà celui du collège.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Nombres, calcul et résolution de problèmes, thème Algèbre :
Résoudre des problèmes mettant en jeu des nombres inconnus — « Utiliser des modèles pré-algébriques pour résoudre des problèmes algébriques » ; « Identifier la structure d'un motif évolutif en repérant une régularité et en identifiant une structure ».
Le programme est explicite sur la place des lettres : « les quantités inconnues sont exprimées à l'aide de mots, de dessins ou éventuellement de lettres. Ce n'est qu'au cycle 4 que les lettres seront introduites de manière formelle. »
1. Raisonner sans connaître le nombre
Au chapitre 4, une égalité à trous comme $4\times\ldots = 7$ se résolvait déjà sans connaître le nombre manquant : on savait seulement qu'il devait, multiplié par $4$, donner $7$. C'est exactement cela, la pensée algébrique — décrire un nombre par ce qu'il fait, et non par ce qu'il vaut.
Un programme de calcul. « Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$, j'ajoute $4$, j'obtiens $19$. Quel était ce nombre ? »
On remonte le programme en faisant, dans l'ordre inverse, l'opération inverse de chacune : $19 \xrightarrow{\ -4\ } 15 \xrightarrow{\ \div 3\ } 5$
Vérification (indispensable) : $5\times3 = 15$, puis $15+4 = 19$ ✔
Deux inversions, pas une. On inverse chaque opération ($+$ devient $-$, $\times$ devient $\div$), et l'ordre dans lequel on les applique. Commencer par diviser $19$ par $3$ donnerait un nombre faux : la dernière opération faite est la première à défaire, comme on retire d'abord son manteau avant son pull.
2. Le schéma en barres
Pour une course cycliste, une prime totale de $320$ € est partagée entre les trois premiers. La prime d'or vaut $70$ € de plus que celle d'argent ; la prime de bronze vaut $80$ € de moins que celle d'argent. Quelle est chaque prime ?
On dessine une barre par prime. La prime d'argent est la référence : c'est l'inconnue. La barre d'or, c'est la même plus un morceau de $70$ € ; celle de bronze, la même moins un morceau de $80$ €.
Sur le dessin, on voit alors comment rendre les trois barres égales : ôter les $70$ € en trop, ajouter les $80$ € manquants. $320 - 70 + 80 = 330 \qquad\text{puis}\qquad 330 \div 3 = 110$
La prime d'argent vaut $110$ €, celle d'or $110+70 = 180$ €, celle de bronze $110-80 = 30$ €.
Vérification : $180+110+30 = 320$ ✔, et les écarts annoncés sont respectés.
Le dessin ne remplace pas le calcul — il le rend visible. Sans le schéma, il faut deviner qu'il faut retrancher $70$ et ajouter $80$ ; avec le schéma, cela se lit. C'est pour cela que le programme parle de « modèles pré-algébriques » : ce sont des outils pour penser, avant d'avoir les outils pour écrire.
3. Comparer deux situations
Deux pastèques et un ananas coûtent $11$ €. Deux pastèques seules coûtent $8$ €. Quel est le prix de chaque fruit ?
Les deux paniers ne diffèrent que d'un ananas. Toute la différence de prix vient donc de lui : $11 - 8 = 3\ €\ \text{ l'ananas.}$ Et puisque deux pastèques coûtent $8$ € : $8\div2 = 4$ € la pastèque.
Vérification : $2\times4+3 = 11$ ✔
Comparer deux situations proches est une méthode à part entière. On ne cherche pas les deux inconnues à la fois : on isole d'abord celle que la comparaison met en évidence. Cette idée servira encore longtemps — c'est celle des systèmes d'équations, au lycée.
4. Les motifs évolutifs
On construit des maisons accolées avec des allumettes. Combien en faut-il pour $4$ maisons ? pour $25$ ?
On organise dans un tableau.
| Nombre de maisons | Nombre d'allumettes | vu autrement |
|---|---|---|
| $1$ | $6$ | $6$ |
| $2$ | $11$ | $6 + 1\times5$ |
| $3$ | $16$ | $6 + 2\times5$ |
| $4$ | $21$ | $6 + 3\times5$ |
| $25$ | $126$ | $6 + 24\times5$ |
La structure, c'est ce que dit la troisième colonne : une première maison à $6$ allumettes, puis $5$ allumettes pour chaque maison ajoutée. La maison ajoutée n'en coûte que $5$ parce qu'elle réutilise le côté vertical de la précédente.
Compter n'est pas comprendre. On peut trouver $21$ en dessinant et en comptant une à une ; on ne peut trouver $126$ qu'en ayant identifié la structure. Le nombre d'allumettes ajoutées est toujours le même — c'est cette régularité qui permet de sauter directement à la $25^\text{e}$ étape.
Attention au décalage de $1$. Pour $25$ maisons, on ajoute $24$ fois $5$ allumettes, pas $25$ fois : la première maison est déjà comptée dans les $6$. Écrire $6+25\times5 = 131$ est l'erreur classique du chapitre.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Programmes de calcul
Retrouver le nombre de départ. a. « Je le multiplie par $4$, j'ajoute $3$, j'obtiens $23$. » b. « J'ajoute $7$, je multiplie par $2$, j'obtiens $30$. » c. « Je le divise par $5$, je retranche $2$, j'obtiens $4$. »
Correction. a. $23-3 = 20$, puis $20\div4 = \mathbf{5}$. Contrôle : $5\times4+3 = 23$ ✔ b. $30\div2 = 15$, puis $15-7 = \mathbf{8}$. Contrôle : $(8+7)\times2 = 30$ ✔ c. $4+2 = 6$, puis $6\times5 = \mathbf{30}$. Contrôle : $30\div5-2 = 4$ ✔
En b, l'ordre compte : le programme ajoute d'abord, donc on divise d'abord pour remonter.
Exercice 2 — Deux nombres
a. La somme de deux nombres est $48$ et l'un est le triple de l'autre. Quels sont-ils ? b. La somme de deux nombres est $100$ et leur différence est $20$. Quels sont-ils ?
Correction. a. Une barre pour le petit, trois barres pour le grand : en tout quatre barres pour $48$. Une barre vaut $48\div4 = 12$. Les nombres sont $\mathbf{12}$ et $\mathbf{36}$. Contrôle : $12+36 = 48$ et $36 = 3\times12$ ✔ b. En ôtant les $20$ d'écart, les deux barres deviennent égales : $100-20 = 80$, donc $80\div2 = 40$. Les nombres sont $\mathbf{40}$ et $\mathbf{60}$. Contrôle : $40+60 = 100$ et $60-40 = 20$ ✔
Exercice 3 — Les trois primes
Une prime totale de $600$ € est partagée entre trois coureurs. Le deuxième reçoit $50$ € de moins que le premier, et le troisième $100$ € de moins que le premier. Combien reçoit chacun ?
Correction. En référence au premier : $600+50+100 = 750$, puis $750\div3 = 250$ €. Premier $\mathbf{250}$ €, deuxième $250-50 = \mathbf{200}$ €, troisième $250-100 = \mathbf{150}$ €. Contrôle : $250+200+150 = 600$ ✔
Ici on ajoute les écarts, alors qu'au cours on en retranchait un : c'est parce que les deux autres primes sont plus petites que la référence. Le schéma évite de se tromper de sens.
Exercice 4 — Le marché
Trois pommes et une poire coûtent $2{,}60$ €. Trois pommes seules coûtent $1{,}80$ €. a. Combien coûte une poire ? b. Combien coûte une pomme ? c. Combien coûtent cinq pommes et deux poires ?
Correction. a. $2{,}60-1{,}80 = \mathbf{0{,}80}$ € la poire. b. $1{,}80\div3 = \mathbf{0{,}60}$ € la pomme. c. $5\times0{,}60+2\times0{,}80 = 3{,}00+1{,}60 = \mathbf{4{,}60}$ €.
Exercice 5 — Le motif des allumettes
On reprend les maisons en allumettes ($6$ ; $11$ ; $16$ ; …). a. Combien d'allumettes pour $10$ maisons ? b. Combien de maisons peut-on faire avec $51$ allumettes ? c. Peut-on utiliser exactement $50$ allumettes ?
Correction. a. $6+9\times5 = 6+45 = \mathbf{51}$ allumettes. b. D'après a, $51$ allumettes font exactement $\mathbf{10}$ maisons. c. Non : après la première maison, on ajoute des paquets de $5$. Les nombres possibles sont $6$, $11$, $16$, $21$… ils se terminent tous par $1$ ou par $6$. $50$ n'en fait pas partie ; avec $50$ allumettes on fait $9$ maisons ($46$ allumettes) et il en reste $4$.
Exercice 6 — Les tables du restaurant
Des tables carrées sont alignées bout à bout ; chacune peut accueillir une personne par côté libre. Une table seule reçoit $4$ personnes, deux tables accolées $6$ personnes, trois tables $8$ personnes. a. Décrire la structure du motif. b. Combien de personnes autour de $10$ tables ? c. Combien de tables pour $30$ personnes ?
Correction. a. Chaque table ajoutée apporte $2$ places (une de chaque côté long) : on part de $4$ et on ajoute $2$ par table supplémentaire. b. $4+9\times2 = \mathbf{22}$ personnes. c. Il faut ajouter $30-4 = 26$ places, soit $26\div2 = 13$ tables supplémentaires : $1+13 = \mathbf{14}$ tables.
Autre façon de voir a : chaque table offre $2$ places (dessus et dessous), plus $1$ à chaque extrémité de la file — soit $2\times$ (nombre de tables) $+\,2$. Pour $10$ tables : $20+2 = 22$ ✔ Deux descriptions différentes de la même structure, et c'est très bien : on les vérifie l'une par l'autre.
Exercice 7 — Une balance
Sur une balance en équilibre : à gauche, $3$ billes identiques et une masse de $20$ g ; à droite, une masse de $50$ g. Quelle est la masse d'une bille ?
Correction. Les $20$ g de gauche font face à $20$ des $50$ g de droite : il reste $50-20 = 30$ g pour les trois billes, donc $30\div3 = \mathbf{10}$ g par bille. Contrôle : $3\times10+20 = 50$ ✔
C'est la même idée que les paniers de fruits : on enlève la même chose des deux côtés pour isoler l'inconnue. En quatrième, cette phrase deviendra une règle sur les équations.
Exercice 8 — Trouver l'erreur
Pour le motif des maisons, Sofia écrit : « $25$ maisons, c'est $25\times6 = 150$ allumettes. » Expliquer son erreur.
Correction. Sofia compte $6$ allumettes pour chaque maison, comme si les maisons étaient séparées. Or elles sont accolées : chaque maison, sauf la première, partage un côté avec la précédente et n'en coûte que $5$. La bonne réponse est $6+24\times5 = 126$, soit $24$ allumettes de moins — exactement les $24$ côtés partagés.
À retenir
Un nombre inconnu se manipule sans être connu. On le représente par une case, une barre, un dessin — pas encore par une lettre : ce sera le travail du cycle 4.
Un programme de calcul se remonte en faisant l'opération inverse de chacune, dans l'ordre inverse. On vérifie toujours en redescendant.
Le schéma en barres traduit les relations « $70$ de plus », « le triple de », « $80$ de moins ». On rend ensuite les barres égales pour pouvoir diviser.
Comparer deux situations proches isole l'une des inconnues : la différence des prix est le prix de ce qui diffère.
Un motif évolutif se décrit par sa structure : un point de départ, puis toujours le même ajout. $\text{allumettes} = 6 + (\text{nombre de maisons} - 1)\times5$ Attention au décalage de $1$ : pour $25$ maisons, on ajoute $24$ fois.
Chapitre suivant : les longueurs et les périmètres.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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