Mathématiques — 6ème
La proportionnalité — Maths Sixième (chapitre 7)
Définition de la proportionnalité entre deux grandeurs, reconnaître le modèle, tableau de proportionnalité et notation par flèches, linéarité multiplicative…
Par ProfBot
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La proportionnalité
Chapitre 7 — Proportionnalité · Sixième
« Prix au kilo », « pages par minute », « litres aux cent kilomètres » : ces expressions du quotidien disent toutes la même chose — deux grandeurs varient ensemble, dans le même rapport. C'est le modèle de la proportionnalité, l'outil de calcul le plus utilisé de toute la vie courante.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie La proportionnalité :
« Connaître la définition de la proportionnalité entre deux grandeurs et la mettre en lien avec des expressions de la vie courante » ; « Identifier si une situation relève du "modèle" de la proportionnalité » ; « Résoudre un problème de proportionnalité en choisissant une procédure adaptée : propriété de linéarité pour la multiplication ou l'addition, retour à l'unité » ; « Représenter une situation de proportionnalité à l'aide d'un tableau ou de notations symboliques » ; « S'initier à la résolution de problèmes d'échelles ».
Le programme précise deux limites : la proportionnalité est étudiée « exclusivement dans le cadre des grandeurs, et ne concerne pas les suites de nombres », et « la technique du "produit en croix" n'est pas enseignée ».
1. Deux grandeurs proportionnelles
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles si, en multipliant les mesures de l'une par un même nombre non nul, on obtient les mesures de l'autre.
Des pommes de terre sont vendues au poids : $2{,}5$ kg coûtent $5$ €. Alors $10$ kg, c'est quatre fois plus de pommes de terre, donc quatre fois plus cher : $20$ €.
Le langage courant le dit déjà. « Le prix au kilo » suppose qu'un kilo coûte toujours la même chose : le prix est proportionnel à la masse. De même :
- « $30$ pages par minute » : le nombre de pages imprimées est proportionnel à la durée ;
- « $70$ battements par minute » : le nombre de battements est proportionnel à la durée.
On parle de proportionnalité entre deux GRANDEURS — une masse et un prix, une durée et un nombre de pages. Dire « ces nombres sont proportionnels » sans dire de quelles grandeurs il s'agit n'a pas de sens en sixième : c'est la situation, pas la liste de nombres, qui est proportionnelle ou non.
2. Est-ce que le modèle s'applique ?
Avant tout calcul, une seule question : la situation relève-t-elle du modèle ? Si elle n'en relève pas, aucun raisonnement de proportionnalité n'est valable.
| situation | proportionnel ? | pourquoi |
|---|---|---|
| Prix payé selon le volume d'essence | oui | chaque litre coûte le même prix |
| Prix d'un lot promotionnel de $4$ paquets | non | la promotion casse justement le prix au paquet |
| Taille d'un enfant selon son âge | non | on ne mesure pas $2$ m à $20$ ans |
| Nombre de voitures au péage selon la durée | non | le trafic de $7$ h n'est pas celui de midi |
| Hauteur montée selon le nombre de marches | oui (ou presque) | les marches ont toutes la même hauteur |
Le mot « modèle » est important. Aucun escalier n'a des marches rigoureusement identiques au millimètre près, et pourtant on calcule comme si. Le modèle est une simplification utile de la réalité, choisie en connaissance de cause — pas une vérité absolue.
3. Représenter la situation
Le tableau de proportionnalité. Chaque ligne porte le nom de la grandeur et son unité : sans cela, le tableau ne veut rien dire.
| Masse de pommes de terre (en kg) | $2{,}5$ | $5$ | $10$ | $12{,}5$ |
|---|---|---|---|---|
| Prix (en €) | $5$ | $10$ | $20$ | $25$ |
Les flèches. On peut aussi écrire, plus simplement : $2{,}5 \text{ kg} \rightarrow 5\ € \qquad 10 \text{ kg} \rightarrow \ ?\ € \qquad ?\ \text{kg} \rightarrow 15\ €$
Cette écriture se lit à voix haute : « le prix de $2{,}5$ kg de pommes de terre est $5$ € ».
Une seule paire de données suffit. Dès qu'on connaît un couple (une masse et son prix), tous les autres s'en déduisent. C'est ce qui rend le modèle si économique — et c'est aussi pourquoi on peut le vérifier : si deux couples donnés ne sont pas cohérents entre eux, la situation n'est pas proportionnelle.
4. Trois façons de calculer
a. La linéarité pour la multiplication
$4$ fois plus de pommes de terre coûtent $4$ fois plus cher. $2{,}5 \text{ kg} \rightarrow 5\ € \qquad\text{donc}\qquad 10 \text{ kg} \rightarrow 4\times5 = 20\ €$
b. La linéarité pour l'addition
Le prix de $12{,}5$ kg est le prix de $10$ kg plus celui de $2{,}5$ kg : $12{,}5 = 10+2{,}5 \qquad\text{donc}\qquad 20+5 = 25\ €$
c. Le retour à l'unité
On calcule d'abord le prix d'un kilo, puis on multiplie : $5\ € \div 2{,}5 = 2\ €\text{ par kg} \qquad\text{donc}\qquad 12{,}5\times2 = 25\ €$
On choisit la procédure d'après les nombres, pas par habitude. Pour passer de $10$ kg à $12{,}5$ kg, l'addition est immédiate. Pour passer de $10$ à $15$ objets, l'addition l'est aussi ($10+5$, et $5$ est la moitié de $10$). Le retour à l'unité marche toujours, mais il donne parfois un prix unitaire compliqué : c'est alors la moins bonne route.
Un exemple complet. $5$ kg de pommes coûtent $10{,}50$ € ; combien coûtent $3{,}5$ kg ?
- retour à l'unité : $10{,}50 \div 5 = 2{,}10$ € le kilo, puis $3{,}5\times2{,}10 = 7{,}35$ € ;
- ou par $500$ g : $500$ g coûtent $1{,}05$ €, et $3{,}5$ kg font sept fois $500$ g, donc $7\times1{,}05 = 7{,}35$ €.
Deux chemins, le même résultat — un excellent contrôle.
Le « produit en croix » n'est pas au programme de sixième, et ce n'est pas un oubli : le but de l'année est de raisonner sur les grandeurs (« deux fois plus », « la moitié », « par kilo »), pas d'appliquer une recette. La technique viendra au collège, quand le sens sera solide.
5. Les échelles
Sur un plan ou une carte, les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs dessinées. L'échelle graphique est un petit segment légendé qui donne la correspondance.
Ici, $1$ cm sur le plan représente $10$ m dans la réalité. Donc :
- $3{,}5$ cm mesurés sur le plan $\rightarrow 3{,}5\times10 = 35$ m ;
- $12$ cm $\rightarrow 120$ m ;
- et dans l'autre sens, une allée de $45$ m se dessine en $45\div10 = 4{,}5$ cm.
La proportionnalité fonctionne dans les deux sens. Du plan vers la réalité on multiplie, de la réalité vers le plan on divise. Une bonne façon de ne pas se tromper : la longueur réelle est forcément la plus grande des deux.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Proportionnel ou non ?
Dire si la situation relève du modèle de la proportionnalité, et justifier. a. Le prix payé à la boulangerie selon le nombre de croissants achetés (au prix unitaire). b. L'âge d'une personne et sa pointure. c. La distance parcourue par un train à vitesse constante et la durée du trajet. d. Le prix d'un abonnement mensuel de bus et le nombre de trajets effectués.
Correction. a. Oui : chaque croissant coûte le même prix. b. Non : aucune relation de ce type entre l'âge et la pointure. c. Oui : à vitesse constante, rouler deux fois plus longtemps fait parcourir deux fois plus de distance. d. Non : le prix est le même quel que soit le nombre de trajets. Faire deux fois plus de trajets ne double pas le prix.
Le cas d est le plus instructif : le prix ne dépend pas du tout du nombre de trajets. Deux grandeurs sans lien ne sont pas proportionnelles, mais deux grandeurs liées ne le sont pas non plus forcément.
Exercice 2 — Compléter un tableau
Un robinet remplit une baignoire à débit constant.
| Durée (en min) | $3$ | $6$ | $9$ | $15$ |
|---|---|---|---|---|
| Volume (en L) | $24$ | ? | ? | ? |
Correction. $6 = 2\times3$ donc $2\times24 = 48$ L. $9 = 3\times3$ donc $3\times24 = 72$ L. $15 = 9+6$ donc $72+48 = \mathbf{120}$ L. Contrôle par l'unité : $24\div3 = 8$ L par minute, et $15\times8 = 120$ L ✔
Exercice 3 — Le prix des pommes de terre
$2{,}5$ kg de pommes de terre coûtent $5$ €. a. Quel prix Lilou paie-t-elle pour deux sacs de $5$ kg ? b. Quelle masse Paul obtient-il pour $15$ € ? c. Combien coûtent $12{,}5$ kg ?
Correction. a. Deux sacs de $5$ kg font $10$ kg, soit $4$ fois $2{,}5$ kg : $4\times5 = \mathbf{20}$ €. b. $15 = 3\times5$, donc $3\times2{,}5 = \mathbf{7{,}5}$ kg. c. $12{,}5 = 10+2{,}5$, donc $20+5 = \mathbf{25}$ €.
En b on raisonne à partir du prix, en a à partir de la masse : le tableau se lit dans les deux sens.
Exercice 4 — De tête
a. $10$ objets identiques coûtent $22$ €. Combien coûtent $15$ objets ? b. $4$ cahiers coûtent $6$ €. Combien coûtent $10$ cahiers ?
Correction. a. $5$ objets coûtent la moitié de $22$ €, soit $11$ €. Donc $15$ objets : $22+11 = \mathbf{33}$ €. b. $2$ cahiers coûtent $3$ €, donc $10$ cahiers en coûtent $5$ fois plus : $5\times3 = \mathbf{15}$ €.
Dans les deux cas, passer par la moitié évite une division qui ne tombe pas juste : $22\div10 = 2{,}20$ € l'unité fonctionne aussi, mais $15\times2{,}20$ se calcule moins vite de tête.
Exercice 5 — Pommes au poids
$5$ kg de pommes coûtent $10{,}50$ €. a. Quel est le prix d'un kilo ? b. Quel est le prix de $3{,}5$ kg ? c. Retrouver b par un autre chemin.
Correction. a. $10{,}50\div5 = \mathbf{2{,}10}$ € le kilo. b. $3{,}5\times2{,}10 = \mathbf{7{,}35}$ €. c. $500$ g coûtent $10{,}50\div10 = 1{,}05$ €, et $3{,}5$ kg valent $7$ fois $500$ g : $7\times1{,}05 = 7{,}35$ € ✔
Exercice 6 — Recette
Une recette de crêpes pour $4$ personnes demande $250$ g de farine, $3$ œufs et $50$ cL de lait. a. Quelles quantités faut-il pour $8$ personnes ? b. Et pour $6$ personnes ? c. Et pour $1$ personne ?
Correction. a. Le double : $500$ g, $6$ œufs, $100$ cL. b. $6 = 4+2$, et pour $2$ personnes il faut la moitié ($125$ g, $1{,}5$ œuf, $25$ cL) : donc $375$ g, $4{,}5$ œufs et $75$ cL. c. Le quart : $62{,}5$ g, $0{,}75$ œuf, $12{,}5$ cL.
Le modèle donne « $4{,}5$ œufs » : mathématiquement juste, matériellement impossible. En cuisine on arrondira à $4$ ou $5$ — le modèle ne dispense pas de regarder la réalité.
Exercice 7 — Sur le plan
Sur un plan, $1$ cm représente $10$ m. a. Un chemin mesure $7{,}5$ cm sur le plan. Quelle est sa longueur réelle ? b. Un terrain mesure $85$ m de long. Quelle longueur sur le plan ? c. Deux arbres sont distants de $6$ m dans la réalité. Les verra-t-on distincts sur le plan ?
Correction. a. $7{,}5\times10 = \mathbf{75}$ m. b. $85\div10 = \mathbf{8{,}5}$ cm. c. $6\div10 = 0{,}6$ cm, soit $6$ mm : oui, c'est mesurable à la règle, mais tout juste.
Exercice 8 — Une erreur à repérer
Théo affirme : « $3$ kg de cerises coûtent $18$ €, donc $1$ kg coûte $6$ € et $10$ kg coûtent $60$ €. Et comme $10$ kg coûtent $60$ €, alors $11$ kg coûtent $66$ €. » Une de ces trois affirmations est fausse — laquelle ?
Correction. Aucune n'est fausse ! $18\div3 = 6$ ; $10\times6 = 60$ ; $11\times6 = 66$. Le raisonnement de Théo est juste de bout en bout.
Un énoncé peut annoncer une erreur qui n'existe pas : vérifier vaut mieux que croire. Ce qui pourrait clocher, en revanche, c'est la situation elle-même — un maraîcher fera souvent un prix pour $10$ kg, et la proportionnalité cesserait alors de s'appliquer.
Exercice 9 — Deux tableaux
Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ?
| Nombre de places | $2$ | $5$ | $8$ |
|---|---|---|---|
| Prix (en €) | $17$ | $42{,}50$ | $68$ |
| Durée (en h) | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| Température (en °C) | $12$ | $14$ | $16$ |
Correction. Premier tableau : oui. $17\div2 = 8{,}50$ € la place ; $5\times8{,}50 = 42{,}50$ ✔ et $8\times8{,}50 = 68$ ✔ Second tableau : non. La température augmente de $2$ °C par heure, mais $2\times12 = 24 \neq 14$ : doubler la durée ne double pas la température.
Le second tableau progresse pourtant très régulièrement. Régulier ne veut pas dire proportionnel : dans un tableau de proportionnalité, à une durée nulle correspondrait une température nulle, ce qui n'est manifestement pas le cas ici.
À retenir
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles si, en multipliant les mesures de l'une par un même nombre non nul, on obtient les mesures de l'autre.
Avant de calculer, on vérifie que la situation relève du modèle. Un abonnement, une promotion, une taille selon l'âge n'en relèvent pas.
Représenter : un tableau dont chaque ligne porte le nom de la grandeur et son unité, ou des flèches $2{,}5 \text{ kg} \rightarrow 5$ €.
Trois procédures, à choisir selon les nombres :
- linéarité multiplicative : $4$ fois plus $\rightarrow$ $4$ fois plus ;
- linéarité additive : $12{,}5 = 10+2{,}5$ $\rightarrow$ $20+5 = 25$ ;
- retour à l'unité : le prix d'un kilo, puis on multiplie.
Échelle graphique : « $1$ cm sur le plan $=$ $10$ m dans la réalité ». Du plan vers la réalité on multiplie, de la réalité vers le plan on divise.
Une seule paire de données suffit à tout reconstruire.
Chapitre suivant : la pensée algébrique.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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