Mathématiques — 6ème
Solides et vision dans l'espace — Maths Sixième (chapitre 16)
Reconnaître cube, pavé droit, prisme droit, cylindre, pyramide, cône et boule, faces arêtes et sommets, perspective cavalière, patrons du cube et du pavé,…
Par ProfBot
Solides et vision dans l'espace
Chapitre 16 — Espace et géométrie · Sixième
Une feuille est plate ; les objets ne le sont pas. Tout le chapitre consiste à faire le va-et-vient entre les deux : représenter un solide à plat — en perspective, en patron, en vues — et, à l'inverse, reconstituer le solide à partir de ces dessins.
Au programme officiel (programme du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025, applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026), partie Espace et géométrie, thème La vision dans l'espace :
automatismes — « L'élève identifie dans un ensemble de solides lesquels sont des pyramides, des boules, des cubes, des cylindres, des pavés, des cônes ou des prismes droits ».
objectif — « Voir dans l'espace des assemblages de cubes » : interpréter leurs représentations planes (dessin à main levée, perspective cavalière, patron), en tracer les différentes vues, et résoudre des problèmes de dénombrement.
1. Reconnaître les solides
Un solide occupe un volume. Ceux dont toutes les faces sont planes s'appellent des polyèdres ; ils ont des faces, des arêtes (les segments où deux faces se rejoignent) et des sommets.
| solide | faces | arêtes | sommets |
|---|---|---|---|
| cube | $6$ carrés | $12$ | $8$ |
| pavé droit | $6$ rectangles | $12$ | $8$ |
| prisme droit à base triangulaire | $5$ | $9$ | $6$ |
| pyramide à base carrée | $5$ | $8$ | $5$ |
Le cylindre, le cône et la boule ne sont pas des polyèdres : ils ont des surfaces courbes. La boule n'a ni face plane, ni arête, ni sommet.
Un cube est un pavé droit particulier — celui dont les trois dimensions sont égales. De même qu'un carré est un rectangle particulier : les cas particuliers héritent de toutes les propriétés du cas général.
2. La perspective cavalière
Pour dessiner un solide sur une feuille, on utilise la perspective cavalière. Trois règles :
- la face avant est dessinée en vraie grandeur ;
- les fuyantes (les arêtes qui s'éloignent) sont obliques et raccourcies ;
- les arêtes cachées se tracent en pointillés.
Deux arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
Le dessin ne dit pas la vérité sur les longueurs. Sur un cube en perspective cavalière, les arêtes fuyantes paraissent plus courtes que les autres, et les faces latérales paraissent aplaties : ce sont pourtant six carrés identiques. On lit les dimensions dans l'énoncé, pas à la règle sur la figure.
3. Les patrons
Définition. Un patron d'un solide est une figure plane qui, découpée et pliée le long des traits, redonne exactement le solide — sans trou ni superposition.
Le patron du cube est fait de $6$ carrés égaux. Celui du pavé droit est fait de $6$ rectangles, formant trois paires de rectangles identiques (les faces opposées).
Six carrés ne font pas toujours un patron de cube. Il faut qu'ils se replient sans que deux d'entre eux se superposent : la disposition compte autant que le nombre. Il existe exactement onze dispositions différentes qui fonctionnent — le meilleur moyen de trancher reste de plier mentalement, ou de découper.
4. Les vues
Un solide peut aussi se décrire par ses vues : ce que l'on voit en le regardant bien en face, bien de dessus, bien de côté.
Chaque vue est une projection : elle écrase la profondeur. Plusieurs assemblages différents peuvent donner la même vue de face — c'est pourquoi il en faut plusieurs pour décrire un solide sans ambiguïté.
Une vue ne dit pas combien de cubes sont alignés derrière. Une vue de face montre une colonne de deux carreaux, qu'il y ait derrière un cube ou dix. C'est exactement pour cela que les plans d'architecte comportent toujours plusieurs vues.
5. Dénombrer des cubes
Pour compter les cubes d'un assemblage, on procède par couches — ou par colonnes, en s'aidant de la vue de dessus.
L'empilement ci-dessus a $9$ cubes dans sa couche du bas, $4$ dans la deuxième et $1$ dans la troisième : $9+4+1 = 14 \text{ cubes.}$
Les cubes cachés existent quand même. Sur un dessin, on ne voit ni le fond ni le dessous. Compter « ce qu'on voit » donne toujours un résultat trop petit : c'est le raisonnement par couches ou par colonnes qui garantit de tous les compter.
Rappel du chapitre 10 : chaque petit cube d'arête $1$ cm a un volume de $1\ \text{cm}^3$ ; l'assemblage a donc un volume de $14\ \text{cm}^3$.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Reconnaître
Quel est le solide ? a. Toutes ses faces sont des carrés. b. Il n'a ni sommet ni arête. c. Il a deux faces circulaires parallèles et une surface courbe. d. Il a une base carrée et quatre faces triangulaires.
Correction. a. Un cube · b. Une boule · c. Un cylindre · d. Une pyramide à base carrée.
Exercice 2 — Compter
Donner le nombre de faces, d'arêtes et de sommets : a. d'un pavé droit ; b. d'un prisme droit à base triangulaire ; c. d'une pyramide à base carrée.
Correction. a. $6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets. b. $5$ faces, $9$ arêtes, $6$ sommets. c. $5$ faces, $8$ arêtes, $5$ sommets.
Curiosité vérifiable sur les trois : faces $+$ sommets $-$ arêtes $= 2$ à chaque fois. $6+8-12 = 2$ ; $5+6-9 = 2$ ; $5+5-8 = 2$.
Exercice 3 — Le pavé
Un pavé droit mesure $5$ cm de long, $3$ cm de large et $2$ cm de haut. a. Combien a-t-il de faces rectangulaires ? Lesquelles sont identiques ? b. Quelle est l'aire de la plus grande face ? c. Quelle est la longueur totale de ses arêtes ?
Correction. a. $6$ faces, formant trois paires identiques : deux de $5\times3$, deux de $5\times2$, deux de $3\times2$. b. La plus grande : $5\times3 = \mathbf{15\ \text{cm}^2}$. c. Il y a $4$ arêtes de chaque dimension : $4\times(5+3+2) = 4\times10 = \mathbf{40}$ cm.
Exercice 4 — Dénombrer
Un empilement repose sur une base de $3$ colonnes sur $3$. Les hauteurs des colonnes sont : $\begin{matrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{matrix}$ a. Combien de cubes en tout ? b. Vérifier en comptant par couches. c. Quel est le volume, si chaque cube a $1$ cm d'arête ?
Correction. a. Par colonnes : $3+2+1+2+2+1+1+1+1 = \mathbf{14}$ cubes. b. Par couches : $9$ (toutes les colonnes ont au moins $1$), puis $4$ (celles d'au moins $2$), puis $1$ : $9+4+1 = 14$ ✔ c. $\mathbf{14\ \text{cm}^3}$.
Exercice 5 — Les vues
Un assemblage est fait de $6$ cubes : trois alignés au sol, un quatrième derrière le premier, et deux posés au-dessus des deux premiers. a. Combien de carreaux comporte la vue de face ? b. Et la vue de dessus ? c. Peut-on retrouver le nombre de cubes à partir de la seule vue de face ?
Correction. a. $5$ carreaux : trois en bas, deux au-dessus. b. $4$ carreaux : trois alignés, plus celui de derrière. c. Non : la vue de face ne montre pas la profondeur. Elle serait identique avec un cube de plus caché derrière.
Exercice 6 — Patron ou non ?
Peut-on plier ces figures pour obtenir un cube ? a. Six carrés alignés en une seule bande. b. Une croix : quatre carrés en colonne, un de chaque côté du deuxième. c. Cinq carrés seulement.
Correction. a. Non : en pliant la bande, on tourne toujours dans le même sens et deux carrés finissent superposés — il manque le fond et le dessus. b. Oui : c'est le patron « en croix », le plus classique. c. Non : un cube a $6$ faces, il faut $6$ carrés.
Exercice 7 — Vrai ou faux
a. Un cube est un pavé droit. b. Sur un dessin en perspective cavalière, toutes les arêtes d'un cube ont la même longueur. c. Une pyramide a autant de faces que de sommets. d. Deux assemblages différents peuvent avoir la même vue de dessus.
Correction. a. Vrai : c'est le pavé dont les trois dimensions sont égales. b. Faux sur le dessin (les fuyantes sont raccourcies), vrai dans la réalité. c. Vrai pour la pyramide à base carrée : $5$ et $5$. d. Vrai : la vue de dessus ne dit rien des hauteurs.
À retenir
Les sept solides : cube, pavé droit, prisme droit, cylindre, pyramide, cône, boule. Les trois derniers ont des surfaces courbes.
Un polyèdre a des faces, des arêtes et des sommets. Cube et pavé droit : $6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets.
Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur · fuyantes obliques et réduites · arêtes cachées en pointillés. Le dessin déforme les longueurs.
Patron : la figure à plat qui se replie sur le solide. $6$ carrés pour le cube, $3$ paires de rectangles pour le pavé — mais toutes les dispositions ne conviennent pas.
Vues de face, de dessus, de côté : chacune écrase une dimension, il en faut plusieurs.
Dénombrer : par couches ou par colonnes, en comptant aussi les cubes cachés.
Chapitre suivant : organisation et gestion de données.
Le programme complet de sixième
Programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025, BO n°16 du 17 avril 2025), applicable en sixième depuis la rentrée 2025-2026.
Nombres, calcul et résolution de problèmes
- Les nombres entiers et décimaux
- Additionner, soustraire et multiplier des décimaux
- Diviser : division euclidienne et division décimale
- Les fractions : le sens quotient
- Comparer et calculer avec les fractions
- Les pourcentages
Proportionnalité et pensée algébrique
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
- Distances, cercles et médiatrice
- Les angles
- Les triangles
- La symétrie axiale
- Solides et vision dans l'espace
Organisation et gestion de données
Initiation à la pensée informatique
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