Mathématiques — 5ème
Solides, volumes et aire du disque — Maths Cinquième (chapitre 18)
Perspective cavalière, cube, pavé droit, prisme droit et cylindre de révolution, patrons, aire du disque, volumes du cube, du pavé, du prisme et du…
Par ProfBot
Solides, volumes et aire du disque
Chapitre 18 — Espace et géométrie · Cinquième
Représenter un objet à trois dimensions sur une feuille qui n'en a que deux : c'est impossible sans convention, et c'est pourquoi la perspective cavalière en fixe une. Ce chapitre apprend à dessiner les solides, à les déplier en patrons, puis à calculer leurs volumes — et, au passage, l'aire du disque, dont on aura besoin pour le cylindre.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Espace et géométrie, thème Représentation de l'espace :
automatismes — « Reconnaitre des vues (de dessus, dessous…) d'empilements de cubes » ; « Dénombrer des cubes dans des empilements » ; « Reconnaitre un cube, un pavé représenté en perspective cavalière » ; « Reconnaitre un patron d'un cube ».
Objectifs d'apprentissage — « Construire et mettre en relation différentes représentations en perspectives cavalières des solides suivants : pavé droit, cube, cylindre de révolution, prisme droit » ; « Savoir mettre en relation une représentation en perspective cavalière et un patron » ; « Calculer le volume du cube, du pavé droit, du prisme droit » ; « Connaitre et convertir des unités usuelles (volume et capacité) » ; « Calculer l'aire du disque, le volume du cylindre de révolution ».
⚠️ La pyramide et le cône de révolution ne sont pas au programme de cinquième : ils arrivent en quatrième.
1. La perspective cavalière
Les trois conventions.
1. Les faces de face sont dessinées en vraie grandeur : un carré reste un carré.
2. Les arêtes fuyantes (qui partent vers l'arrière) sont dessinées obliques, toutes parallèles entre elles, et raccourcies dans un rapport constant.
3. Les arêtes cachées sont tracées en pointillés.
Ce qui est conservé, et ce qui ne l'est pas. La perspective cavalière conserve le parallélisme (deux arêtes parallèles restent parallèles sur le dessin) et les milieux. En revanche elle ne conserve ni les longueurs (les fuyantes sont réduites) ni les angles : sur le dessin d'un cube, la plupart des angles droits n'apparaissent pas droits. Il ne faut donc jamais mesurer une longueur ou un angle sur une figure en perspective.
2. Les quatre solides du programme
| solide | description | faces / arêtes / sommets |
|---|---|---|
| cube | six faces carrées identiques | $6$ / $12$ / $8$ |
| pavé droit | six faces rectangulaires | $6$ / $12$ / $8$ |
| prisme droit | deux bases polygonales identiques et parallèles, reliées par des rectangles | dépend de la base |
| cylindre de révolution | deux bases en forme de disque, reliées par une surface courbe | $2$ bases, pas d'arête droite |
Un prisme droit à base triangulaire a $5$ faces ($2$ triangles $+$ $3$ rectangles), $9$ arêtes et $6$ sommets.
Le cube et le pavé droit SONT des prismes droits. Un pavé droit est un prisme droit à base rectangulaire ; un cube est un pavé droit dont toutes les arêtes sont égales. Cela explique que la même formule de volume — aire de la base $\times$ hauteur — marche pour les trois.
3. Les patrons
Définition. Un patron d'un solide est une figure plane qui, après pliage, permet de le reconstituer sans recouvrement ni trou.
Le patron du pavé droit : six rectangles, égaux deux à deux (les faces opposées).
Le patron du cylindre : deux disques (les bases) et un rectangle dont :
- une dimension est la hauteur du cylindre ;
- l'autre est le périmètre du disque de base, soit $2\pi r$ — puisque ce rectangle s'enroule exactement autour du cercle.
Un solide a plusieurs patrons. Le cube en a onze différents, à rotation et symétrie près. Un assemblage de six carrés n'est donc pas forcément un patron de cube : il faut vérifier qu'au pliage, aucune face n'en recouvre une autre. Le test mental le plus rapide consiste à repérer les trois paires de faces opposées.
4. L'aire du disque
Formules du cercle et du disque. Pour un cercle de rayon $r$ (et de diamètre $d = 2r$) :
$\text{périmètre} = 2 \times \pi \times r = \pi \times d, \qquad \mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times r^2.$
Pourquoi $\pi r^2$ ? Découpons le disque en un très grand nombre de secteurs identiques, et rangeons-les alternativement pointe en haut et pointe en bas. On obtient une figure de plus en plus proche d'un parallélogramme dont :
- la base vaut la moitié du périmètre, soit $\pi r$ ;
- la hauteur vaut le rayon $r$.
Son aire vaut donc $\pi r \times r = \pi r^2$.
$\pi$ n'est pas $3{,}14$ : $3{,}14$ est une valeur approchée de $\pi$. Le nombre $\pi$ a une infinité de décimales qui ne se répètent jamais. On garde donc $\pi$ dans les calculs et l'on n'arrondit qu'à la fin, en précisant « valeur approchée ». Une aire de $\pi \times 5^2 = 25\pi$ cm² est exacte ; $78{,}5$ cm² est arrondie.
Attention aux deux confusions classiques.
- Périmètre ($2\pi r$) et aire ($\pi r^2$) : le premier se mesure en cm, la seconde en cm².
- Rayon et diamètre : la formule utilise le rayon. Avec un diamètre de $10$ cm, l'aire vaut $\pi \times 5^2$, pas $\pi \times 10^2$ — soit quatre fois moins.
5. Les volumes
Une seule idée, quatre formules. Le volume d'un solide « droit » — dont les deux bases sont identiques et superposées — vaut
$\mathcal{V} = \mathcal{A}_{\text{base}} \times \text{hauteur}.$
| solide | aire de la base | volume |
|---|---|---|
| cube d'arête $a$ | $a^2$ | $\mathcal{V} = a^3$ |
| pavé droit $L$, $\ell$, $h$ | $L \times \ell$ | $\mathcal{V} = L \times \ell \times h$ |
| prisme droit | aire du polygone de base | $\mathcal{V} = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ |
| cylindre de rayon $r$ | $\pi r^2$ | $\mathcal{V} = \pi r^2 \times h$ |
La « hauteur » est toujours perpendiculaire aux bases. Pour un prisme couché sur une face latérale, la hauteur n'est pas la dimension verticale du dessin : c'est la distance entre les deux bases. Identifier d'abord les bases, la hauteur suit.
6. Volumes et capacités
Unités de volume : chaque unité vaut $1\,000$ fois la suivante — un cube dont l'arête est multipliée par $10$ voit son volume multiplié par $10^3 = 1\,000$ (chapitre 5).
$1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3.$
Unités de capacité : le litre mesure ce qu'un récipient peut contenir.
$1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3, \qquad 1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}.$
La seule chose à retenir est $1$ L $= 1$ dm³. Tout le reste s'en déduit : $1$ mL $= 1$ cm³ (les deux sont mille fois plus petits), $1$ m³ $= 1\,000$ L (les deux sont mille fois plus grands). Et un carreau de $1$ cm de côté valant $1$ mL, une bouteille de $1{,}5$ L occupe $1\,500$ cm³.
Dans le tableau des volumes, chaque unité occupe TROIS colonnes — une de plus que pour les aires, une de plus encore que pour les longueurs.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Compter
Un pavé droit et un prisme droit à base triangulaire. a. Combien de faces, d'arêtes et de sommets pour chacun ? b. Un prisme droit a une base pentagonale. Combien de faces, d'arêtes et de sommets ?
Correction. a. Pavé : $6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets. Prisme à base triangulaire : $5$ faces, $9$ arêtes, $6$ sommets. b. Base à $5$ côtés : $2$ bases $+$ $5$ faces latérales $= \mathbf{7}$ faces ; $5+5+5 = \mathbf{15}$ arêtes ; $5+5 = \mathbf{10}$ sommets.
Règle générale pour un prisme à base à $n$ côtés : $n+2$ faces, $3n$ arêtes, $2n$ sommets. On la vérifie sur le pavé ($n=4$) : $6$, $12$, $8$ ✔
Exercice 2 — Cercle et disque
Un disque a pour rayon $5$ cm. a. Calculer son périmètre, en valeur exacte puis approchée à $0{,}1$ près. b. Calculer son aire, en valeur exacte puis approchée. c. Même question pour un disque de diamètre $5$ cm.
Correction. a. $2\pi \times 5 = 10\pi$ cm $\approx 31{,}4$ cm. b. $\pi \times 5^2 = 25\pi$ cm² $\approx 78{,}5$ cm². c. Le rayon vaut $2{,}5$ cm : périmètre $5\pi \approx 15{,}7$ cm ; aire $\pi\times2{,}5^2 = 6{,}25\pi \approx 19{,}6$ cm².
Le disque de c a un rayon deux fois plus petit : son périmètre est deux fois plus petit, mais son aire quatre fois plus petite ($78{,}5 \div 4 = 19{,}625$). C'est l'effet du carré, comme au chapitre 5.
Exercice 3 — Volumes
a. Volume d'un cube d'arête $7$ cm. b. Volume d'un pavé droit de dimensions $12$ cm, $5$ cm et $4$ cm. c. Volume d'un prisme droit dont la base est un triangle d'aire $18$ cm² et dont la hauteur vaut $10$ cm. d. Volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $8$ cm, en valeur exacte puis approchée.
Correction. a. $7^3 = \mathbf{343}$ cm³. b. $12\times5\times4 = \mathbf{240}$ cm³. c. $18\times10 = \mathbf{180}$ cm³. d. $\pi\times3^2\times8 = 72\pi$ cm³ $\approx \mathbf{226{,}2}$ cm³.
Exercice 4 — Conversions
Convertir : a. $3$ m³ en dm³ · b. $2\,500$ cm³ en L · c. $0{,}75$ L en cm³ · d. $4\,500$ mL en dm³
Correction. a. $3 \times 1\,000 = \mathbf{3\,000}$ dm³ b. $2\,500$ cm³ $= 2\,500$ mL $= \mathbf{2{,}5}$ L c. $0{,}75$ L $= 750$ mL $= \mathbf{750}$ cm³ d. $4\,500$ mL $= 4\,500$ cm³ $= \mathbf{4{,}5}$ dm³
Le passage par mL est le raccourci le plus sûr : $1$ mL $= 1$ cm³ transforme n'importe quelle capacité en volume, et réciproquement.
Exercice 5 — Un aquarium
Un aquarium a la forme d'un pavé droit de $80$ cm de long, $35$ cm de large et $50$ cm de haut. a. Quel est son volume en cm³ ? en dm³ ? b. Combien de litres contient-il quand il est plein ? c. On le remplit aux quatre cinquièmes. Combien de litres cela représente-t-il ?
Correction. a. $80\times35\times50 = \mathbf{140\,000}$ cm³ $= 140\,000 \div 1\,000 = \mathbf{140}$ dm³. b. $140$ dm³ $= \mathbf{140}$ L. c. $\dfrac{4}{5}$ de $140$ : $(140 \div 5)\times4 = 28\times4 = \mathbf{112}$ L.
Exercice 6 — Un patron de cylindre
Un cylindre a un rayon de $4$ cm et une hauteur de $10$ cm. a. Quelles sont les dimensions du rectangle de son patron ? b. Quelle est l'aire de ce rectangle ? c. Quel est le volume du cylindre ?
Correction. a. Hauteur $10$ cm ; longueur $=$ périmètre du disque $= 2\pi\times4 = 8\pi \approx 25{,}1$ cm. b. $8\pi \times 10 = 80\pi$ cm² $\approx 251{,}3$ cm². c. $\pi\times4^2\times10 = 160\pi$ cm³ $\approx 502{,}7$ cm³.
L'aire du rectangle est la surface latérale du cylindre. Notez qu'elle vaut exactement la moitié du volume en valeur numérique ici — pure coïncidence due à $r = 4$, et surtout : on ne compare jamais une aire et un volume, ils n'ont pas la même unité.
Exercice 7 — Empilement de cubes
Un empilement est formé de $3$ couches ; la couche du bas est un carré de $4\times4$ cubes, celle du milieu un carré de $3\times3$, celle du haut un carré de $2\times2$. a. Combien de petits cubes en tout ? b. Si chaque petit cube a $2$ cm d'arête, quel est le volume total ?
Correction. a. $16+9+4 = \mathbf{29}$ cubes. b. Volume d'un petit cube : $2^3 = 8$ cm³. Total : $29\times8 = \mathbf{232}$ cm³.
Exercice 8 — Un problème de comparaison
Une boîte cubique de $10$ cm d'arête et une boîte cylindrique de $6$ cm de rayon et $10$ cm de hauteur. Laquelle contient le plus ?
Correction. Cube : $10^3 = 1\,000$ cm³. Cylindre : $\pi\times6^2\times10 = 360\pi \approx 1\,130{,}97$ cm³. Le cylindre contient davantage, d'environ $131$ cm³.
On ne peut pas trancher « à l'œil » : les deux boîtes ont la même hauteur, et il faut comparer les aires de base, $100$ cm² contre $36\pi \approx 113$ cm².
À retenir
Perspective cavalière : faces de face en vraie grandeur · fuyantes obliques, parallèles et raccourcies · arêtes cachées en pointillés. Ni les longueurs ni les angles ne sont conservés — on ne mesure jamais sur une figure en perspective.
Prisme à base à $n$ côtés : $n+2$ faces, $3n$ arêtes, $2n$ sommets. Le pavé et le cube sont des prismes droits.
Patron du cylindre : deux disques et un rectangle de longueur $2\pi r$.
$\text{périmètre du cercle} = 2\pi r \qquad \mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi r^2$ Attention au rayon (pas le diamètre) et à ne pas confondre périmètre et aire.
$\mathcal{V} = \mathcal{A}_{\text{base}} \times \text{hauteur}$ Cube : $a^3$ · pavé : $L\ell h$ · prisme : $\mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ · cylindre : $\pi r^2 h$.
Unités de volume : $\times 1\,000$ d'une unité à la suivante, trois colonnes dans le tableau. $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 \qquad 1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3 \qquad 1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}$
Chapitre suivant : l'algorithmique et la programmation par blocs.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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