Mathématiques — 5ème

Multiples, diviseurs et division euclidienne — Maths Cinquième (chapitre 2)

Division euclidienne, quotient et reste, multiples et diviseurs, critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10, recherche de tous les diviseurs, nombres…

Par ProfBot

Multiples, diviseurs et division euclidienne

Chapitre 2 — Nombres et calculs · Cinquième

Peut-on ranger $126$ élèves en rangées de $9$ sans qu'il en reste ? Peut-on partager $91$ bonbons entre $7$ enfants ? Ces questions ne demandent pas de calculer une division : elles demandent de savoir si la division tombe juste. C'est tout l'objet de ce chapitre — et c'est le point de départ de l'arithmétique, qui occupera encore les mathématiciens de tous les siècles suivants.

Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Nombres et calculs, thème Opérations :

automatismes — « Déterminer le quotient et le reste dans une division euclidienne, par exemple, savoir que $17 = 3 \times 5 + 2$ » ; « Mobiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 vus en CM1 et CM2 » ; « Utiliser les tables de multiplication pour factoriser des nombres entiers ».

Objectifs d'apprentissage — « Utiliser les notions de multiples et diviseurs » ; « Connaitre les critères de divisibilité par 3 et par 9 ».

Prolongement proposé par le programme : « Notion de nombre premier et développements sur ce thème (existence d'un nombre infini de nombres premiers, crible d'Ératosthène, etc.) ».

1. La division euclidienne

Partager $17$ jetons en paquets de $3$ : on forme $5$ paquets, et il reste $2$ jetons. Impossible de faire un sixième paquet, il n'y a plus assez de jetons.

Définition. Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier $a$ (le dividende) par un entier $b$ non nul (le diviseur), c'est trouver les deux entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que

$a = b \times q + r \qquad\text{avec}\qquad 0 \leqslant r < b.$

$17 = 3 \times 5 + 2, \qquad 0 \leqslant 2 < 3.$

La condition $r < b$ n'est pas un détail : c'est elle qui rend la réponse unique. On pourrait aussi écrire $17 = 3\times4+5$ ou $17 = 3\times3+8$ — mais dans ces écritures le reste dépasse le diviseur, ce qui veut dire qu'il restait de quoi faire un paquet de plus. Un seul couple $(q\,;r)$ convient, et c'est celui où l'on a formé le plus de paquets possible.

Autres exemples. $91 = 7 \times 13 + 0, \qquad 100 = 7 \times 14 + 2, \qquad 45 = 6 \times 7 + 3.$

2. Multiples et diviseurs

Définition. Soit $a$ et $b$ deux entiers, $b$ non nul. Lorsque le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul, c'est-à-dire lorsque $a = b \times q$, on dit que :

- $a$ est un multiple de $b$ ;

- $b$ est un diviseur de $a$ ;

- $a$ est divisible par $b$.

Ces trois phrases décrivent la même situation, vue de trois côtés. De $91 = 7 \times 13$ on tire d'un coup : $91$ est un multiple de $7$, $7$ est un diviseur de $91$, et $91$ est divisible par $7$ (mais aussi par $13$).

Multiple ou diviseur ? Le multiple est le grand, le diviseur est le petit. Un multiple de $7$ est un nombre de la table de $7$ : $0$, $7$, $14$, $21$, … Il y en a une infinité, et ils sont tous $\geqslant 7$ (sauf $0$). Un diviseur de $91$, lui, ne peut pas dépasser $91$ : il y en a un nombre fini.

À retenir aussi. $1$ est diviseur de tout entier, et tout entier est diviseur de lui-même. $0$ est multiple de tous les nombres — mais on ne divise jamais par $0$.

3. Les critères de divisibilité

Ces critères permettent de répondre sans poser la division.

Critères de divisibilité. Un nombre entier est divisible :

- par 2 si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ (c'est un nombre pair) ;

- par 5 si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;

- par 10 si son chiffre des unités est $0$ ;

- par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;

- par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Exemples.

• $4\,278$ : le chiffre des unités est $8$, donc divisible par $2$. Somme des chiffres : $4+2+7+8 = 21$, divisible par $3$ : donc divisible par 3. Mais $21$ n'est pas divisible par $9$ : pas divisible par 9.
• $1\,530$ : divisible par $2$, par $5$ et par $10$ (unités $0$). Somme des chiffres : $1+5+3+0 = 9$, donc divisible par $3$ et par $9$.

Ces critères servent tous les jours au chapitre 4 : simplifier $\frac{24}{36}$, c'est chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur — et les critères le trouvent en une seconde, sans essai.

Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3, jamais l'inverse. $21$ est divisible par $3$ mais pas par $9$ ; $4\,278$ non plus. La raison est simple : $9 = 3\times3$, donc tout multiple de $9$ est un multiple de $3$.

Pour comprendre le critère de 3 et de 9

Prenons $4\,278$ et décomposons-le : $4\,278 = 4\times1000 + 2\times100 + 7\times10 + 8.$ Or $1000 = 999+1$, $100 = 99+1$ et $10 = 9+1$. En remplaçant : $4\,278 = \underbrace{4\times999 + 2\times99 + 7\times9}_{\text{multiple de 9, donc de 3}} \; + \; \underbrace{4+2+7+8}_{= \, 21}.$ Le premier paquet est toujours divisible par $9$ ; tout dépend donc uniquement du second, qui est la somme des chiffres. Le critère n'a rien de magique : il vient de ce que $9$, $99$, $999$… sont des multiples de $9$.

4. Trouver TOUS les diviseurs d'un nombre

Méthode. On essaie les diviseurs dans l'ordre, $1$, $2$, $3$, $4$… et chaque fois qu'on en trouve un, on trouve son partenaire : le quotient. On s'arrête quand les deux se rejoignent.

Pour $36$ :

Les diviseurs de $36$ sont donc : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $9$, $12$, $18$, $36$. Ils sont neuf.

On ne teste jamais au-delà du moment où les deux membres de la paire se croisent. Pour $36$, dès $6\times6$, tout diviseur plus grand a déjà été rencontré comme partenaire d'un plus petit. Ce raccourci divise le travail par deux ou davantage — pour $100$, il évite de tester $89$ nombres inutiles.

5. Les nombres premiers

Définition. Un entier est premier lorsqu'il a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

$2, \; 3, \; 5, \; 7, \; 11, \; 13, \; 17, \; 19, \; 23, \; 29, \; 31, \; 37, \; 41, \; 43, \; 47, \; \ldots$

$1$ n'est pas premier. Il n'a qu'un seul diviseur, lui-même — pas deux. Et $2$ est premier, alors qu'il est pair : c'est même le seul nombre premier pair, puisque tout autre nombre pair est divisible par $2$ en plus de $1$ et de lui-même.

Le crible d'Ératosthène

Ératosthène, savant grec du IIIᵉ siècle avant notre ère, a imaginé une méthode qui trouve tous les nombres premiers d'une grille sans jamais faire une seule division :

1. on barre $1$, qui n'est pas premier ;
2. on entoure $2$, puis on barre tous ses multiples : $4$, $6$, $8$… ;
3. on entoure le premier nombre non barré suivant, $3$, et on barre tous ses multiples ;
4. on recommence avec $5$, puis $7$… ;
5. tout ce qui reste est premier.

Sur la grille de $1$ à $100$, il reste 25 nombres premiers. Et l'on peut s'arrêter après $7$ : tout nombre non premier inférieur à $100$ a forcément un facteur inférieur ou égal à $10$, donc a déjà été barré par $2$, $3$, $5$ ou $7$.

Les nombres premiers ne s'arrêtent jamais. Euclide l'a démontré il y a plus de deux mille ans : quelle que soit la liste de nombres premiers qu'on écrive, il en existe toujours un de plus. C'est l'un des plus anciens théorèmes des mathématiques encore enseignés aujourd'hui.

6. Exercices corrigés

Exercice 1 — Divisions euclidiennes

Écrire l'égalité $a = b \times q + r$ pour : a. $a = 47$, $b = 5$ · b. $a = 123$, $b = 4$ · c. $a = 96$, $b = 8$

Correction. a. $47 = 5 \times 9 + 2$, avec $0 \leqslant 2 < 5$. b. $123 = 4 \times 30 + 3$, avec $0 \leqslant 3 < 4$. c. $96 = 8 \times 12 + 0$ : le reste est nul, $96$ est un multiple de 8.

Exercice 2 — Vrai ou faux

a. $7$ est un diviseur de $56$. · b. $56$ est un multiple de $8$. · c. $6$ est un diviseur de $92$. · d. $0$ est un multiple de $13$.

Correction. a. Vrai : $56 = 7 \times 8$. b. Vrai : $56 = 8 \times 7$ — c'est la même égalité lue autrement. c. Faux : $92 = 6 \times 15 + 2$, le reste n'est pas nul. d. Vrai : $0 = 13 \times 0$. Zéro est multiple de tout entier.

Exercice 3 — Critères

Parmi $126$ ; $255$ ; $4\,000$ ; $1\,233$, lesquels sont divisibles par $2$ ? par $3$ ? par $5$ ? par $9$ ? par $10$ ?

Correction.

Remarquez $126$ et $1\,233$ : même somme des chiffres, $9$, donc tous deux divisibles par $3$ et par $9$ — alors que l'un est pair et l'autre non. Les critères sont indépendants les uns des autres.

Exercice 4 — Tous les diviseurs

Donner la liste de tous les diviseurs de a. $24$ · b. $50$ · c. $49$.

Correction. a. $1\times24$, $2\times12$, $3\times8$, $4\times6$ — ensuite $5$ ne convient pas et $6$ a déjà été vu. Diviseurs : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ (huit diviseurs). b. $1\times50$, $2\times25$, $5\times10$ — puis $6$ et $7$ ne conviennent pas, et à $8$ on dépasse. Diviseurs : $1, 2, 5, 10, 25, 50$ (six diviseurs). c. $1\times49$, $7\times7$. Diviseurs : $1, 7, 49$ (trois diviseurs).

Un nombre a un nombre impair de diviseurs exactement quand c'est un carré : la paire centrale se replie sur elle-même ($7\times7$ pour $49$, $6\times6$ pour $36$).

Exercice 5 — Premiers ou non

$51$ ; $53$ ; $57$ ; $91$ sont-ils premiers ?

Correction.

• $51 = 3 \times 17$ : non premier (somme des chiffres $5+1 = 6$, divisible par $3$).
• $53$ : non divisible par $2$, $3$, $5$, ni $7$ — et $7\times7 = 49 < 53 < 64 = 8\times8$, donc inutile d'aller plus loin. Premier.
• $57 = 3 \times 19$ : non premier ($5+7 = 12$).
• $91 = 7 \times 13$ : non premier. C'est le piège classique — $91$ est impair, ne finit ni par $0$ ni par $5$, et $9+1 = 10$ n'est pas multiple de $3$… mais $7$ le divise.

Exercice 6 — Un problème de rangées

Un professeur veut ranger ses $126$ élèves en rangées toutes identiques, avec plus de $5$ élèves et moins de $20$ élèves par rangée. Quelles tailles de rangée sont possibles ?

Correction. Il faut que la taille de rangée soit un diviseur de $126$. Cherchons-les par paires : $1\times126$, $2\times63$, $3\times42$, $6\times21$, $7\times18$, $9\times14$ — puis $10$, $11$, $12$, $13$ ne conviennent pas et $14$ a déjà été vu. Diviseurs de $126$ : $1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126$. Entre $5$ et $20$ exclus : $6$, $7$, $9$, $14$ et $18$.

Contrôle : $126 = 6\times21 = 7\times18 = 9\times14 = 14\times9 = 18\times7$. Les cinq répartitions tombent bien juste.

Exercice 7 — Un chiffre manquant

Trouver tous les chiffres $c$ tels que $\overline{47c}$ (le nombre de trois chiffres $4$, $7$, puis $c$) soit divisible par $3$.

Correction. La somme des chiffres vaut $4+7+c = 11+c$. Il faut que $11+c$ soit un multiple de $3$, avec $c$ entre $0$ et $9$ :

• $c = 1$ donne $12$ ✔ · $c = 4$ donne $15$ ✔ · $c = 7$ donne $18$ ✔.

Les nombres possibles sont $471$, $474$ et $477$.

Vérification : $471 = 3\times157$, $474 = 3\times158$, $477 = 3\times159$. Les trois solutions se suivent de $3$ en $3$ — ce n'est pas un hasard : ajouter $3$ au chiffre des unités ajoute $3$ au nombre.

À retenir

$a = b \times q + r \qquad \text{avec} \qquad 0 \leqslant r < b$ C'est la condition $r < b$ qui rend le quotient et le reste uniques.

Reste nul : $a$ est un multiple de $b$, $b$ est un diviseur de $a$, $a$ est divisible par $b$ — trois façons de dire la même chose.

Critères : par $2$ (unités paires), par $5$ ($0$ ou $5$), par $10$ ($0$), par $3$ et par $9$ (somme des chiffres).

Tous les diviseurs : on avance $1, 2, 3\ldots$ et on note les paires, jusqu'à ce qu'elles se croisent.

Nombre premier : exactement deux diviseurs. $1$ n'est pas premier ; $2$ est le seul premier pair ; il y en a $25$ entre $1$ et $100$, et une infinité en tout.

Chapitre suivant : les nombres relatifs.

Le programme complet de cinquième

Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.

Nombres et calculs

1. Opérations, priorités et distributivité
2. Multiples, diviseurs et division euclidienne
3. Les nombres relatifs
4. Les fractions
5. Puissances : carrés et cubes
6. Le calcul littéral
7. Mettre en équation et résoudre

Proportionnalité, repérage et fonctions

1. La proportionnalité
2. Proportions et pourcentages
3. Repérage sur une droite et dans le plan
4. Dépendance de deux grandeurs

Organisation et gestion de données

1. Statistiques
2. Probabilités

Espace et géométrie

1. La symétrie centrale
2. Angles et droites parallèles
3. Le triangle
4. Les parallélogrammes
5. Solides, volumes et aire du disque

La pensée informatique

1. Algorithmique et programmation par blocs

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