Mathématiques — 5ème
Probabilités — Maths Cinquième (chapitre 13)
Expérience aléatoire, issue et évènement, échelle des probabilités de 0 à 1, équiprobabilité, écrire une probabilité en fraction, décimal ou pourcentage,…
Par ProfBot
Probabilités
Chapitre 13 — Organisation et gestion de données · Cinquième
Le hasard ne se prévoit pas, mais il se mesure. On ne sait pas si la prochaine pièce lancée tombera sur pile ; on sait en revanche, et de façon parfaitement précise, qu'elle a une chance sur deux d'y tomber. Ce chapitre met des nombres sur cette intuition.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Organisation et gestion de données et probabilités, thème Probabilités :
automatismes — « Positionner sur une échelle de probabilité les évènements du type : évènement impossible ; évènement certain ; obtenir pile en lançant une pièce équilibrée ; obtenir une valeur donnée en lançant un dé équilibré ; obtenir une couleur d'une boule lors du tirage dans une urne ; ne pas obtenir la bonne combinaison au loto ; obtenir 10 fois de suite la valeur 1 en lançant un dé à six faces » ; « Donner la probabilité sous diverses formes (fraction, décimale, pourcentage) » ; « Lier l'expression "une chance sur quatre" et la probabilité $\frac{1}{4}$ ».
Objectifs d'apprentissage — « Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples » ; « Utiliser le vocabulaire des probabilités dans des contextes concrets : expérience aléatoire, issue, évènement » ; « Attribuer des probabilités dans des cas simples (équiprobabilité) » ; « Répéter matériellement une expérience aléatoire simple. Enregistrer les résultats observés dans un tableau d'effectifs et de fréquences ».
⚠️ En cinquième, on ne travaille que sur une seule épreuve. L'évènement contraire, la réunion, l'intersection et les expériences à deux épreuves (lancer deux dés) sont au programme de quatrième.
1. Le vocabulaire
Définitions.
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel se produira.
- Une issue est l'un de ces résultats possibles.
- Un évènement est un ensemble d'issues — souvent décrit par une phrase.
Exemple. Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire. Ses issues sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$. « Obtenir un nombre pair » est un évènement ; il est réalisé par les issues $2$, $4$ et $6$.
Une issue est un résultat, un évènement est une question. « Obtenir $4$ » est à la fois une issue et un évènement (réalisé par une seule issue). « Obtenir un nombre pair » est un évènement qui n'est pas une issue : le dé ne tombe jamais sur « pair », il tombe sur $2$, ou sur $4$, ou sur $6$.
2. L'échelle des probabilités
Définition. La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure sa chance de se réaliser.
- Un évènement impossible a une probabilité de $\mathbf{0}$.
- Un évènement certain a une probabilité de $\mathbf{1}$.
- Plus la probabilité est proche de $1$, plus l'évènement est probable.
Quelques repères.
| évènement | probabilité |
|---|---|
| obtenir $7$ avec un dé à six faces | $0$ (impossible) |
| obtenir $10$ fois de suite $1$ avec un dé | quasiment $0$ |
| obtenir $4$ avec un dé à six faces | $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ |
| obtenir pile avec une pièce équilibrée | $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ |
| ne pas gagner le gros lot au loto | quasiment $1$ |
| obtenir un nombre inférieur à $7$ avec un dé | $1$ (certain) |
Une probabilité n'est jamais négative ni supérieure à $1$. Un résultat qui sort de $[0\,;1]$ signale une erreur de calcul, exactement comme une longueur négative en géométrie. C'est le premier contrôle à faire.
3. L'équiprobabilité
Définition. Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité.
C'est le cas d'un dé équilibré, d'une pièce équilibrée, d'un tirage au hasard dans une urne dont on ne voit pas le contenu.
Règle (cas d'équiprobabilité).
$P(\text{évènement}) = \frac{\text{nombre d'issues qui le réalisent}}{\text{nombre total d'issues}}.$
Exemples avec un dé à six faces. $P(\text{obtenir } 4) = \frac{1}{6}, \qquad P(\text{nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \qquad P(\text{nombre} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$
L'équiprobabilité est une hypothèse, pas une évidence. Le programme est explicite : « c'est une hypothèse qui ne se démontre pas, mais qui peut être jugée pertinente par un argument de symétrie ». Un dé équilibré a six faces identiques, rien ne distingue l'une des autres : la symétrie justifie l'hypothèse. Un dé pipé, une punaise lancée en l'air, un match de football — non.
4. Trois écritures, et « une chance sur… »
Comme les fréquences (chapitre 12) et les proportions (chapitre 9), une probabilité s'écrit de trois façons.
$P = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%.$
L'expression courante « une chance sur quatre » désigne exactement la probabilité $\frac{1}{4}$. De même :
- « une chance sur deux » $= \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$ ;
- « une chance sur six » $= \frac{1}{6} \approx 0{,}17 \approx 17\,\%$ ;
- « trois chances sur dix » $= \frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\,\%$.
La forme fractionnaire est la seule exacte. $\frac{1}{6}$ n'a pas d'écriture décimale exacte (chapitre 4) : $0{,}17$ est un arrondi. Dans un calcul, on garde la fraction ; on ne convertit qu'au moment de commenter le résultat.
5. Répéter l'expérience
Lancer une pièce $10$ fois ne donne presque jamais exactement $5$ piles. Mais si l'on répète $100$ fois, $1\,000$ fois, la fréquence de pile se rapproche de plus en plus de $0{,}5$.
Un exemple de relevé. On lance un dé $60$ fois et l'on enregistre les résultats dans un tableau d'effectifs et de fréquences.
| face | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| effectif | $8$ | $12$ | $9$ | $11$ | $7$ | $13$ | $60$ |
| fréquence | $0{,}13$ | $0{,}20$ | $0{,}15$ | $0{,}18$ | $0{,}12$ | $0{,}22$ | $1$ |
Aucune fréquence ne vaut exactement $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$, mais toutes en sont proches — et elles s'en rapprocheraient encore avec $600$ ou $6\,000$ lancers.
Ne pas confondre fréquence et probabilité. La fréquence est ce qu'on a observé : elle change à chaque série d'essais. La probabilité est ce que prévoit le modèle : elle ne change jamais. Le lien entre les deux est expérimental — plus on répète, plus la fréquence s'approche de la probabilité. C'est ce qui permet, à l'inverse, de construire un modèle quand la symétrie ne dit rien (par exemple pour estimer la probabilité qu'une punaise retombe sur la tête).
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Vocabulaire
On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. a. Combien y a-t-il d'issues ? b. « Tirer un cœur » est-il une issue ou un évènement ? c. « Tirer l'as de pique » est-il une issue ou un évènement ?
Correction. a. $32$ issues, une par carte. b. Un évènement, réalisé par $8$ issues (les $8$ cœurs). c. C'est une issue, et donc aussi un évènement réalisé par cette seule issue.
Exercice 2 — Placer sur l'échelle
Ranger ces évènements du moins probable au plus probable : a. Obtenir un $8$ avec un dé à six faces. b. Obtenir un nombre impair avec un dé à six faces. c. Obtenir un nombre inférieur ou égal à $6$ avec un dé à six faces. d. Obtenir un $2$ avec un dé à six faces.
Correction. $P(a) = 0$ · $P(d) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ · $P(b) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$ · $P(c) = 1$. Ordre : a, d, b, c.
Exercice 3 — Un dé
On lance un dé équilibré à six faces. Calculer la probabilité de : a. obtenir $5$ · b. obtenir un multiple de $3$ · c. obtenir un nombre strictement supérieur à $2$ · d. obtenir $0$
Correction. a. $\dfrac{1}{6}$ b. Multiples de $3$ : $3$ et $6$, donc $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ c. $3$, $4$, $5$, $6$, donc $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ d. $0$ n'est pas une face : probabilité $\mathbf{0}$, évènement impossible.
Exercice 4 — Une urne
Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ boules vertes et $2$ boules bleues, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard.
a. Combien y a-t-il d'issues ? b. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge ; verte ; bleue. Exprimer chaque résultat en fraction, en décimal et en pourcentage. c. Vérifier la somme.
Correction. a. $5+3+2 = 10$ issues. b. Rouge : $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$ · Verte : $\dfrac{3}{10} = 0{,}3 = 30\,\%$ · Bleue : $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%$. c. $50+30+20 = 100\,\%$ ✔
Les boules sont « indiscernables au toucher » : c'est cette précision qui justifie l'équiprobabilité. Sans elle, rien ne garantirait qu'on ne choisit pas la plus grosse.
Exercice 5 — Une chance sur…
Traduire en fraction, puis en pourcentage : a. « une chance sur cinq » · b. « deux chances sur trois » · c. « une chance sur mille »
Correction. a. $\dfrac{1}{5} = 20\,\%$ · b. $\dfrac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%$ · c. $\dfrac{1}{1\,000} = 0{,}1\,\%$
En b, $\frac{2}{3}$ n'a pas d'écriture décimale exacte : $66{,}7\,\%$ est un arrondi, et la fraction reste la valeur juste.
Exercice 6 — Composer une urne
On veut remplir une urne de $12$ boules de sorte que la probabilité de tirer une rouge soit $\dfrac{1}{4}$. a. Combien faut-il de boules rouges ? b. Et si l'on voulait une probabilité de $\dfrac{1}{5}$ avec $12$ boules ?
Correction. a. $\dfrac{1}{4}$ de $12$ vaut $3$ : il faut $3$ boules rouges (et $9$ d'une autre couleur). b. $\dfrac{1}{5}$ de $12$ vaut $2{,}4$ : impossible, car le nombre de boules est un entier. Avec $12$ boules, on ne peut pas obtenir la probabilité $\frac{1}{5}$.
La question b est un cas où le calcul est correct mais la réponse irréalisable — l'étape « revenir au problème » du chapitre 7. Il faudrait un nombre total de boules multiple de $5$ : $10$, $15$ ou $20$ par exemple.
Exercice 7 — Lire un relevé
On lance $200$ fois une punaise. Elle retombe $126$ fois sur la tête et $74$ fois sur le côté. a. Calculer les fréquences observées. b. Peut-on affirmer que $P(\text{tête}) = 0{,}63$ ?
Correction. a. Tête : $\dfrac{126}{200} = 0{,}63 = 63\,\%$ · Côté : $\dfrac{74}{200} = 0{,}37 = 37\,\%$. b. Non, pas exactement. $0{,}63$ est une fréquence observée, pas une probabilité. Elle en donne une estimation : une punaise n'a aucune symétrie qui permettrait de calculer la probabilité, donc l'expérience est le seul moyen de l'approcher — et il faudrait beaucoup plus de $200$ lancers pour être confiant.
Exercice 8 — Un jeu équitable ?
Un jeu consiste à lancer un dé à six faces. On gagne si l'on obtient $5$ ou $6$. a. Quelle est la probabilité de gagner ? b. Le jeu est-il équitable, c'est-à-dire donne-t-il autant de chances de gagner que de perdre ? c. Quelles faces faudrait-il déclarer gagnantes pour qu'il le soit ?
Correction. a. $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$. b. Non : on gagne dans $2$ cas sur $6$ et l'on perd dans $4$. La probabilité de perdre, $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, est le double. c. Il faudrait trois faces gagnantes, par exemple $4$, $5$ et $6$ : alors $P(\text{gagner}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
À retenir
Expérience aléatoire : on connaît tous les résultats possibles, pas lequel sortira. Une issue est un résultat ; un évènement est un ensemble d'issues.
$0 \leqslant P \leqslant 1$ $P = 0$ : impossible. $P = 1$ : certain. Une probabilité hors de cet intervalle est une erreur.
$P(\text{évènement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} \qquad \text{(en cas d'équiprobabilité)}$
L'équiprobabilité est une hypothèse, justifiée par un argument de symétrie — un dé équilibré, une pièce, des boules indiscernables.
Une probabilité s'écrit en fraction (exacte), en décimal ou en pourcentage. « Une chance sur quatre » $= \frac{1}{4}$.
Fréquence ≠ probabilité : la fréquence est observée et change à chaque série ; la probabilité est prévue par le modèle. Plus on répète, plus la première s'approche de la seconde.
Chapitre suivant : la symétrie centrale.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
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