Mathématiques — 5ème
Puissances — carrés et cubes — Maths Cinquième (chapitre 5)
Notation puissance, carré et cube d'un nombre, carrés des entiers de 0 à 12, cube de 10, écrire un nombre sous forme de puissance, priorités opératoires…
Par ProfBot
Puissances : carrés et cubes
Chapitre 5 — Nombres et calculs · Cinquième
L'aire d'un carré de côté $5$ vaut $5\times5$. Le volume d'un cube d'arête $5$ vaut $5\times5\times5$. Ces deux calculs reviennent si souvent qu'on leur a donné une écriture abrégée — et un nom emprunté à la géométrie : le carré et le cube d'un nombre.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Nombres et calculs, thème Puissances :
« Découvrir la notion de puissance d'un nombre et sa notation dans le cas du carré et du cube » ; « Connaitre les carrés des entiers de 0 à 12 » ; « Connaitre le cube de 10 » ; « Savoir écrire un nombre sous la forme d'une puissance $2$ ou $3$ » ; « Calculer la valeur numérique d'expressions contenant des puissances simples, additions, soustractions et produits » ; « Calculer la valeur d'une expression littérale contenant une puissance simple ».
⚠️ En cinquième, seuls les exposants $2$ et $3$ sont au programme. Les puissances d'exposant quelconque, les règles de calcul $a^m \times a^n$ et la notation scientifique arrivent en quatrième.
1. Le carré et le cube
Définitions. Pour tout nombre $a$ :
$a^2 = a \times a \qquad\text{et}\qquad a^3 = a \times a \times a.$
On lit « $a$ au carré » et « $a$ au cube ».
Le petit chiffre écrit en haut à droite s'appelle l'exposant.
$5^2 = 5\times5 = 25, \qquad 3^3 = 3\times3\times3 = 27, \qquad 10^3 = 1\,000.$
Ces noms viennent de la géométrie : $5^2$ est l'aire d'un carré de côté $5$, et $3^3$ le volume d'un cube d'arête $3$. C'est aussi la raison pour laquelle les aires se mesurent en cm$^2$ et les volumes en cm$^3$.
$a^2$ n'est pas $a \times 2$. L'exposant compte combien de fois le nombre est écrit dans le produit, il ne multiplie pas. $7^2 = 49$ alors que $7\times2 = 14$ ; $2^3 = 8$ alors que $2\times3 = 6$. Le seul cas où les deux coïncident est $a = 2$ pour le carré : $2^2 = 2\times2 = 4$.
Les carrés à connaître par cœur
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
| $n$ | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
Ces treize résultats se sachent, ils ne se recalculent pas. Ils servent partout : simplification de fractions, aires, et surtout — dès la quatrième — les racines carrées et le théorème de Pythagore. Le seul cube exigé en cinquième est $10^3 = 1\,000$, mais $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$ et $5^3 = 125$ se retiennent tout seuls à l'usage.
2. Écrire un nombre sous forme de puissance
Reconnaître qu'un nombre est un carré ou un cube, c'est retrouver le nombre qui, multiplié par lui-même deux ou trois fois, le redonne.
$81 = 9^2, \qquad 144 = 12^2, \qquad 27 = 3^3, \qquad 1\,000 = 10^3.$
Un même nombre peut être les deux à la fois. $64 = 8 \times 8 = 8^2 \qquad\text{et}\qquad 64 = 4\times4\times4 = 4^3.$
Un carré parfait a un nombre impair de diviseurs (voir chapitre 2) : c'est un moyen rapide de le reconnaître. $36$ en a neuf, $64$ en a sept — tandis que $30$, qui n'est pas un carré, en a huit.
3. Puissances et priorités opératoires
Règle complétée. Dans une suite d'opérations :
$\text{parenthèses} \ \rightarrow \ \text{puissances} \ \rightarrow \ \times \text{ et } \div \ \rightarrow \ + \text{ et } -$
La puissance passe donc avant la multiplication, mais après les parenthèses.
$3 + 2^2 = 3 + 4 = 7 \qquad\text{mais}\qquad (3+2)^2 = 5^2 = 25.$ $2 \times 3^2 = 2\times9 = 18 \qquad\text{mais}\qquad (2\times3)^2 = 6^2 = 36.$
Un exposant ne concerne que le nombre qu'il touche. Dans $2\times3^2$, l'exposant porte sur le $3$, pas sur le produit. Pour élever tout le produit, il faut une parenthèse. C'est exactement la même logique que pour les priorités du chapitre 1 : sans parenthèse, l'opération la plus prioritaire s'exécute la première, et ici c'est la puissance.
4. Puissances dans une expression littérale
Pour calculer une expression littérale, on remplace la lettre par sa valeur, puis on applique les priorités.
Exemple. Calculer $3a^2$ et $(3a)^2$ pour $a = 4$. $3a^2 = 3 \times 4^2 = 3\times16 = 48, \qquad (3a)^2 = (3\times4)^2 = 12^2 = 144.$
Exemple. Calculer $L^2 + 2L$ pour $L = 6$ : $\;6^2 + 2\times6 = 36 + 12 = 48$.
Formules d'aire et de volume. Elles s'écrivent naturellement avec des puissances :
- aire d'un carré de côté $c$ : $\;\mathcal{A} = c^2$ ;
- volume d'un cube d'arête $a$ : $\;\mathcal{V} = a^3$.
Écrire l'étape de substitution avant de calculer. Passer directement de « $3a^2$ avec $a=4$ » au résultat, c'est se donner toutes les chances d'écrire $12^2$. La ligne $3 \times 4^2$ rend visible que la puissance vient d'abord.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculs immédiats
Calculer : a. $6^2$ · b. $11^2$ · c. $2^3$ · d. $5^3$ · e. $10^2$ · f. $10^3$ · g. $1^3$ · h. $0^2$
Correction. a. $36$ · b. $121$ · c. $8$ · d. $125$ · e. $100$ · f. $1\,000$ · g. $1$ · h. $0$
Exercice 2 — Piège classique
Calculer et comparer : a. $4^2$ et $4\times2$ · b. $3^3$ et $3\times3$ · c. $2^2$ et $2\times2$
Correction. a. $4^2 = 16$ et $4\times2 = 8$ : différents. b. $3^3 = 27$ et $3\times3 = 9$ : différents. c. $2^2 = 4$ et $2\times2 = 4$ : égaux, et c'est le seul cas de ce genre pour le carré.
Exercice 3 — Sous forme de puissance
Écrire sous la forme $a^2$ ou $a^3$ : a. $49$ · b. $100$ · c. $125$ · d. $144$ · e. $1\,000$ · f. $64$ (deux réponses)
Correction. a. $7^2$ · b. $10^2$ · c. $5^3$ · d. $12^2$ · e. $10^3$ · f. $8^2$ et $4^3$
Exercice 4 — Priorités
Calculer : a. $5 + 3^2$ · b. $(5+3)^2$ · c. $4 \times 2^3$ · d. $(4\times2)^2$ · e. $10^2 - 6^2$ · f. $2\times5^2 + 3$
Correction. a. $5 + 9 = 14$ b. $8^2 = 64$ c. $4\times8 = 32$ d. $8^2 = 64$ e. $100 - 36 = 64$ f. $2\times25 + 3 = 50+3 = 53$
Les questions b, d et e donnent toutes $64$ par trois chemins entièrement différents.
Exercice 5 — Vrai ou faux
a. $(2+3)^2 = 2^2 + 3^2$ · b. $10^2 \times 10 = 10^3$ · c. $7^2 = 7\times7$
Correction. a. Faux : à gauche $5^2 = 25$, à droite $4 + 9 = 13$. Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés. b. Vrai : $100\times10 = 1\,000 = 10^3$. c. Vrai : c'est la définition même du carré.
L'erreur de a est l'une des plus tenaces des mathématiques du collège et du lycée. Un seul contre-exemple suffit à la réfuter définitivement — et l'on en tient un.
Exercice 6 — Expressions littérales
Calculer pour $x = 3$ : a. $x^2$ · b. $2x^2$ · c. $(2x)^2$ · d. $x^3 - x^2$ · e. $x^2 + 5x - 4$
Correction. a. $9$ b. $2\times3^2 = 2\times9 = 18$ c. $(2\times3)^2 = 6^2 = 36$ d. $27 - 9 = 18$ e. $9 + 15 - 4 = 20$
Exercice 7 — Un carré et un cube
a. Un carré a pour côté $12$ cm. Quelle est son aire ? b. Un cube a pour arête $6$ cm. Quel est son volume ? c. Un autre carré a pour aire $81$ cm$^2$. Quel est son côté ?
Correction. a. $\mathcal{A} = 12^2 = 144$ cm$^2$. b. $\mathcal{V} = 6^3 = 216$ cm$^3$. c. On cherche le nombre dont le carré vaut $81$ : c'est $9$. Le côté mesure $9$ cm.
La question c est une question à l'envers : on connaît le carré, on cherche le nombre. C'est exactement ce que formalisera la racine carrée, au programme de quatrième.
Exercice 8 — Un problème d'agrandissement
Un carré de côté $4$ cm voit son côté doublé. a. Quelle était son aire ? Quelle est sa nouvelle aire ? b. Par combien l'aire a-t-elle été multipliée ? c. Même question pour un cube d'arête $4$ cm dont l'arête est doublée.
Correction. a. Aire de départ : $4^2 = 16$ cm$^2$. Nouveau côté $8$ cm, nouvelle aire : $8^2 = 64$ cm$^2$. b. $64 \div 16 = 4$ : l'aire a été multipliée par $\mathbf{4}$, pas par $2$. c. Volume de départ : $4^3 = 64$ cm$^3$ ; nouveau volume : $8^3 = 512$ cm$^3$ ; $512 \div 64 = \mathbf{8}$.
Doubler un côté multiplie l'aire par $2^2 = 4$ et le volume par $2^3 = 8$. Ce n'est pas une coïncidence : c'est l'exposant lui-même qui apparaît.
À retenir
$a^2 = a\times a \qquad a^3 = a\times a\times a$ L'exposant compte les facteurs. $a^2 \neq a\times2$.
Les carrés de $0$ à $12$ par cœur : $0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$, $121$, $144$. Et $10^3 = 1\,000$.
$\text{parenthèses} \rightarrow \text{puissances} \rightarrow \times, \div \rightarrow +, -$ $3 + 2^2 = 7 \quad\text{mais}\quad (3+2)^2 = 25 \qquad\qquad 2\times3^2 = 18 \quad\text{mais}\quad (2\times3)^2 = 36$
$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2 \qquad\text{car}\qquad (2+3)^2 = 25 \neq 13 = 2^2+3^2$
Expression littérale : on substitue d'abord, on calcule ensuite — la puissance avant la multiplication.
Chapitre suivant : le calcul littéral.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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