Mathématiques — 5ème
Proportions et pourcentages — Maths Cinquième (chapitre 9)
Proportion sous forme de fraction, décimale ou pourcentage, calculer t % d'une quantité, déterminer un pourcentage, pourcentages usuels, augmentation et…
Par ProfBot
Proportions et pourcentages
Chapitre 9 — Proportionnalité et fonctions · Cinquième
Un pourcentage n'est rien d'autre qu'une fraction de dénominateur $100$. Toute sa force vient de là : en ramenant toutes les proportions au même dénominateur, il les rend immédiatement comparables. Dire « $12$ élèves sur $24$ » et « $150$ élèves sur $500$ » ne permet pas de comparer d'un coup d'œil ; dire « $50\,\%$ » et « $30\,\%$ », si.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Proportionnalité, fonctions, thème Proportionnalité :
automatismes — « Prendre $1\,\%$, $10\,\%$ ou $50\,\%$ d'un nombre, en lien avec la proportionnalité » ; « Écrire un même nombre sous de multiples formes, par exemple dire que $1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1+\frac{1}{5} = 120\,\% = \frac{120}{100}$ » ; « lors de l'élection des délégués de la classe, $4$ élèves se présentent… calculer le pourcentage de voix de chaque candidat ».
Objectifs d'apprentissage — « Utiliser des proportions, des pourcentages » ; « Calculer, appliquer des proportions, des pourcentages ».
⚠️ Les hausses et les baisses sont ici calculées en deux temps (on calcule la variation, puis on l'ajoute ou on la retranche). Le coefficient multiplicateur — « rendre compte d'une augmentation ou d'une diminution exprimée en pourcentages au moyen d'un coefficient multiplicateur » — est explicitement au programme de quatrième.
1. Une proportion, trois écritures
Définition. Dire qu'une partie représente $t\,\%$ d'un tout, c'est dire qu'elle en représente la fraction $\dfrac{t}{100}$.
$t\,\% = \frac{t}{100}.$
$25\,\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25, \qquad 120\,\% = \frac{120}{100} = \frac{6}{5} = 1{,}2.$
Une même proportion s'écrit donc de trois façons interchangeables : fraction, nombre décimal, pourcentage. Chacune a son usage — la fraction est exacte, le décimal se calcule, le pourcentage se compare.
Un pourcentage peut dépasser $100$. $120\,\%$ signifie « $1{,}2$ fois le tout », c'est-à-dire plus que le tout : c'est parfaitement correct dès qu'on parle d'évolution ou de comparaison à une référence. En revanche, une part d'un ensemble ne peut pas dépasser $100\,\%$ — s'il en sort davantage, c'est qu'il y a une erreur.
Les pourcentages à connaître
| pourcentage | fraction | pour calculer, on… |
|---|---|---|
| $50\,\%$ | $\dfrac{1}{2}$ | divise par $2$ |
| $25\,\%$ | $\dfrac{1}{4}$ | divise par $4$ |
| $20\,\%$ | $\dfrac{1}{5}$ | divise par $5$ |
| $10\,\%$ | $\dfrac{1}{10}$ | divise par $10$ |
| $1\,\%$ | $\dfrac{1}{100}$ | divise par $100$ |
2. Calculer $t\,\%$ d'une quantité
Règle. Prendre $t\,\%$ d'un nombre $N$, c'est calculer
$\frac{t}{100} \times N = \frac{t \times N}{100}.$
Exemple. $15\,\%$ de $240$ : $\frac{15}{100}\times240 = \frac{15 \times 240}{100} = \frac{3\,600}{100} = 36.$
Trois chemins, un seul résultat.
- Par la fraction : $\dfrac{15\times240}{100} = 36$.
- Par le décimal : $0{,}15 \times 240 = 36$.
- Par décomposition (calcul mental) : $10\,\%$ de $240$ font $24$ ; $5\,\%$ en font la moitié, soit $12$ ; total $24+12 = 36$.
La décomposition est le meilleur outil de calcul mental des pourcentages. $10\,\%$ s'obtient en divisant par $10$, et tout le reste s'en déduit : $5\,\%$ est la moitié de $10\,\%$, $20\,\%$ en est le double, $1\,\%$ le dixième. Avec ces quatre briques, on calcule de tête $37\,\%$ ou $8\,\%$ de n'importe quoi.
3. Déterminer un pourcentage
C'est la question inverse : une partie et un tout étant connus, quel pourcentage la partie représente-t-elle ?
Règle. La partie $p$ d'un tout $N$ représente
$\frac{p}{N} \times 100 \; \%.$
L'exemple du programme. Quatre candidats se présentent aux élections de délégués. Chaque élève a voté pour un seul candidat.
| Alexis | Chloé | Salma | Djibril | Total | |
|---|---|---|---|---|---|
| voix | $6$ | $12$ | $3$ | $3$ | $24$ |
| pourcentage | $25\,\%$ | $50\,\%$ | $12{,}5\,\%$ | $12{,}5\,\%$ | $100\,\%$ |
$\frac{6}{24}\times100 = 25, \qquad \frac{12}{24}\times100 = 50, \qquad \frac{3}{24}\times100 = 12{,}5.$
La somme des pourcentages doit faire exactement $100$. $25+50+12{,}5+12{,}5 = 100$ ✔ C'est le contrôle à faire systématiquement quand on répartit un tout : il attrape immédiatement une erreur de calcul ou un candidat oublié.
4. Augmenter ou diminuer d'un pourcentage
On procède en deux temps : on calcule d'abord la hausse ou la baisse, puis on l'ajoute ou on la retranche.
Une augmentation de $15\,\%$ sur $80$ €. $\text{hausse} = \frac{15}{100}\times80 = 12 \text{ €}, \qquad \text{nouveau prix} = 80 + 12 = 92 \text{ €}.$
Une remise de $30\,\%$ sur $80$ €. $\text{remise} = \frac{30}{100}\times80 = 24 \text{ €}, \qquad \text{prix payé} = 80 - 24 = 56 \text{ €}.$
Un pourcentage ne se compare qu'à ce sur quoi il porte. Une remise de $30\,\%$ sur $80$ € ne fait pas la même somme qu'une remise de $30\,\%$ sur $200$ € : $24$ € contre $60$ €. C'est pour cela qu'on ne peut ni additionner ni comparer deux pourcentages qui portent sur des totaux différents.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Trois écritures
Compléter :
| pourcentage | fraction simplifiée | décimal |
|---|---|---|
| $50\,\%$ | ? | ? |
| ? | $\dfrac{3}{4}$ | ? |
| ? | ? | $0{,}08$ |
| $120\,\%$ | ? | ? |
Correction.
| pourcentage | fraction simplifiée | décimal |
|---|---|---|
| $50\,\%$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0{,}5$ |
| $75\,\%$ | $\dfrac{3}{4}$ | $0{,}75$ |
| $8\,\%$ | $\dfrac{2}{25}$ | $0{,}08$ |
| $120\,\%$ | $\dfrac{6}{5}$ | $1{,}2$ |
Exercice 2 — Calcul mental
Calculer de tête : a. $10\,\%$ de $70$ · b. $50\,\%$ de $86$ · c. $25\,\%$ de $48$ · d. $1\,\%$ de $2\,500$ · e. $20\,\%$ de $45$
Correction. a. $7$ · b. $43$ · c. $12$ · d. $25$ · e. $9$
Exercice 3 — Appliquer un pourcentage
Calculer : a. $15\,\%$ de $200$ · b. $8\,\%$ de $350$ · c. $32\,\%$ de $75$ · d. $110\,\%$ de $60$
Correction. a. $\dfrac{15\times200}{100} = 30$ b. $\dfrac{8\times350}{100} = 28$ c. $\dfrac{32\times75}{100} = 24$ d. $\dfrac{110\times60}{100} = 66$
Pour d, le résultat dépasse $60$ : c'est normal, $110\,\%$ signifie « plus que le tout ».
Exercice 4 — Déterminer un pourcentage
a. Dans une classe de $25$ élèves, $15$ sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage ? b. Un article passe de $50$ € à $60$ €. De quel pourcentage a-t-il augmenté ? c. Sur $80$ questions, un élève en réussit $52$. Quel pourcentage ?
Correction. a. $\dfrac{15}{25}\times100 = 60\,\%$. b. La hausse vaut $60-50 = 10$ €, soit $\dfrac{10}{50}\times100 = 20\,\%$. c. $\dfrac{52}{80}\times100 = 65\,\%$.
En b, le pourcentage se calcule par rapport au prix de départ, jamais au prix d'arrivée : $\frac{10}{60}$ donnerait $16{,}7\,\%$, ce qui répondrait à une autre question (« la baisse de 60 à 50 »).
Exercice 5 — Soldes
Un manteau coûte $120$ €. a. Calculer son prix après une remise de $30\,\%$. b. Puis, sur ce nouveau prix, une seconde remise de $10\,\%$ est appliquée. Calculer le prix final. c. La remise totale est-elle de $40\,\%$ ?
Correction. a. Remise : $\dfrac{30}{100}\times120 = 36$ €. Prix : $120-36 = 84$ €. b. Seconde remise : $\dfrac{10}{100}\times84 = 8{,}40$ €. Prix final : $84 - 8{,}40 = \mathbf{75{,}60}$ €. c. Non. La réduction totale vaut $120 - 75{,}60 = 44{,}40$ €, soit $\dfrac{44{,}40}{120}\times100 = 37\,\%$ — et non $40\,\%$.
La seconde remise porte sur $84$ € et non sur $120$ € : c'est exactement pourquoi deux pourcentages successifs ne s'additionnent pas.
Exercice 6 — L'élection
Dans une autre classe de $30$ élèves, les voix se répartissent ainsi : Nina $9$, Tom $6$, Inès $12$, Malo $3$. a. Calculer le pourcentage de chaque candidat. b. Vérifier la somme. c. Un candidat est élu s'il obtient plus de $40\,\%$ des voix. Y a-t-il un élu ?
Correction. a. Nina : $\dfrac{9}{30}\times100 = 30\,\%$ · Tom : $\dfrac{6}{30}\times100 = 20\,\%$ · Inès : $\dfrac{12}{30}\times100 = 40\,\%$ · Malo : $\dfrac{3}{30}\times100 = 10\,\%$. b. $30+20+40+10 = 100$ ✔ c. Non : Inès obtient exactement $40\,\%$, ce qui n'est pas plus de $40\,\%$.
La question c se joue sur un mot : « plus de $40$ » exclut $40$. C'est le même piège que « strictement positif » du chapitre 3.
Exercice 7 — Un problème de population
Un village comptait $1\,500$ habitants. Sa population a augmenté de $12\,\%$. a. Combien d'habitants a-t-il gagné ? b. Combien en compte-t-il maintenant ? c. L'année suivante, la population baisse de $12\,\%$. Retrouve-t-on $1\,500$ habitants ?
Correction. a. $\dfrac{12}{100}\times1\,500 = 180$ habitants. b. $1\,500+180 = \mathbf{1\,680}$ habitants. c. Non. La baisse vaut $\dfrac{12}{100}\times1\,680 = 201{,}6$, donc environ $202$ habitants, et la population tombe à $1\,478$ — moins qu'au départ.
La hausse portait sur $1\,500$, la baisse porte sur $1\,680$ : elles ne représentent pas le même nombre d'habitants. Une hausse puis une baisse du même pourcentage ne ramènent jamais au point de départ.
Exercice 8 — Comparer deux offres
Un jeu coûte $60$ € dans le magasin A, avec $25\,\%$ de remise. Il coûte $50$ € dans le magasin B, avec $10\,\%$ de remise. Où est-il le moins cher ?
Correction. Magasin A : remise $\dfrac{25}{100}\times60 = 15$ €, prix $60-15 = 45$ €. Magasin B : remise $\dfrac{10}{100}\times50 = 5$ €, prix $50-5 = 45$ €. Le prix est le même : $45$ € dans les deux magasins.
Le magasin A affiche la plus grosse remise en pourcentage et le prix de départ le plus élevé : les deux effets se compensent exactement. Comparer les pourcentages seuls aurait donné une réponse fausse.
À retenir
$t\,\% = \frac{t}{100}$ Une proportion s'écrit indifféremment en fraction, en décimal ou en pourcentage.
Appliquer : $t\,\%$ de $N$ vaut $\dfrac{t \times N}{100}$. Déterminer : la partie $p$ d'un tout $N$ représente $\dfrac{p}{N}\times100\;\%$.
De tête : $10\,\%$ → diviser par $10$ ; $50\,\%$ → par $2$ ; $25\,\%$ → par $4$ ; $1\,\%$ → par $100$. Tout le reste se décompose.
Répartition : la somme des pourcentages doit faire exactement $100$.
Évolution en deux temps : on calcule la hausse (ou la baisse), puis on l'ajoute (ou on la retranche). Deux pourcentages successifs ne s'additionnent pas, car ils ne portent pas sur la même base.
Chapitre suivant : la dépendance de deux grandeurs.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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