Mathématiques — 5ème
La proportionnalité — Maths Cinquième (chapitre 8)
Reconnaître une situation de proportionnalité, tableau et coefficient de proportionnalité, retour à l'unité, propriétés de linéarité, lecture graphique,…
Par ProfBot
La proportionnalité
Chapitre 8 — Proportionnalité et fonctions · Cinquième
Trois kilos de tomates coûtent trois fois le prix d'un kilo : c'est de la proportionnalité. Un bébé de trois ans ne pèse pas trois fois le poids d'un bébé d'un an : ce n'en est pas. Toute la difficulté du chapitre tient dans cette distinction — car les méthodes de calcul les plus simples, celles qu'on a envie d'appliquer partout, ne sont valables que dans le premier cas.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Proportionnalité, fonctions, thème Proportionnalité :
automatismes — « Reconnaitre si une situation donnée entre dans le cadre de la proportionnalité ou non » ; « Dans des situations simples, mobiliser une procédure adaptée (propriété de linéarité pour la multiplication ou l'addition, retour à l'unité) ».
Objectifs d'apprentissage — « Identifier des situations de proportionnalité dans des contextes concrets (prix, recettes, distances, échelles) » ; « Utiliser un coefficient de proportionnalité dans des contextes concrets (prix unitaire, vitesse moyenne, échelle, etc.) » ; « Représenter une situation de proportionnalité par un tableau ou un graphique » ; « Reconnaitre une situation de proportionnalité à partir d'un tableau ou d'un graphique » ; « Reconnaitre graphiquement qu'un nuage de points est ou n'est pas associé à une situation de proportionnalité ».
1. Qu'est-ce que la proportionnalité ?
Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on passe des valeurs de l'une à celles de l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Des situations proportionnelles. Le prix payé et la quantité achetée (à prix unitaire fixe) ; la distance parcourue et la durée (à vitesse constante) ; les dimensions sur un plan et les dimensions réelles ; les ingrédients d'une recette et le nombre de convives.
Des situations qui ne le sont pas. L'âge et la taille d'une personne ; l'aire d'un carré et son côté (doubler le côté quadruple l'aire, voir chapitre 5) ; le prix d'un abonnement avec frais fixes ; le périmètre d'un rectangle et sa longueur si la largeur change.
Le test de bon sens : « si je double, est-ce que ça double ? » Deux fois plus de tomates, deux fois plus cher — oui, c'est proportionnel. Deux fois plus âgé, deux fois plus grand — non. Cette question ne remplace pas une vérification chiffrée, mais elle élimine d'emblée les situations où la proportionnalité n'a aucune chance.
2. Le tableau de proportionnalité
Un tableau de proportionnalité range les valeurs correspondantes sur deux lignes.
| masse (kg) | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|
| prix (€) | $2{,}50$ | $5$ | $10$ | $15$ |
Chaque prix s'obtient en multipliant la masse par $2{,}50$ : le coefficient de proportionnalité est $2{,}50$ (c'est le prix d'un kilo).
Pour vérifier qu'un tableau est de proportionnalité, on calcule TOUS les quotients $\dfrac{\text{deuxième ligne}}{\text{première ligne}}$. S'ils sont tous égaux, c'est un tableau de proportionnalité, et leur valeur commune est le coefficient. Un seul quotient différent suffit à conclure que non.
$\frac{2{,}50}{1} = \frac{5}{2} = \frac{10}{4} = \frac{15}{6} = 2{,}50 \quad ✔$
Un contre-exemple.
| durée (h) | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| prix (€) | $8$ | $13$ | $18$ |
$\dfrac{8}{1} = 8$ mais $\dfrac{13}{2} = 6{,}5$ : ce n'est pas de la proportionnalité (il y a $3$ € de frais fixes, puis $5$ € par heure).
3. Quatre façons de compléter un tableau
Une recette pour $4$ personnes demande $200$ g de farine.
a) Le retour à l'unité. On calcule d'abord pour $1$ personne, puis on multiplie. $200 \div 4 = 50 \text{ g par personne}, \qquad\text{donc pour } 6 : \; 50\times6 = 300 \text{ g}.$
b) La linéarité multiplicative. Si l'on multiplie une grandeur par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. $4 \times 2 = 8 \text{ personnes} \;\Longrightarrow\; 200\times2 = 400 \text{ g}.$ $4 \div 2 = 2 \text{ personnes} \;\Longrightarrow\; 200 \div 2 = 100 \text{ g}.$
c) La linéarité additive. Si l'on ajoute deux valeurs d'une grandeur, les valeurs correspondantes s'ajoutent aussi. $2 + 4 = 6 \text{ personnes} \;\Longrightarrow\; 100 + 200 = 300 \text{ g}.$
d) Le coefficient. Ici, $200 \div 4 = 50$ : on multiplie le nombre de personnes par $50$. $6 \times 50 = 300 \text{ g}.$
Les quatre chemins donnent le même résultat, $300$ g. On choisit celui qui donne les calculs les plus simples.
La linéarité additive est celle qu'on oublie, et souvent la plus rapide. Pour passer de $4$ à $6$ personnes, inutile de revenir à l'unité : $6 = 4 + 2$, et l'on connaît déjà $4$ ; il ne reste qu'à trouver $2$ (la moitié de $4$). Deux calculs de tête au lieu d'une division puis d'une multiplication.
4. Le graphique
Propriété. Une situation est de proportionnalité si et seulement si les points du graphique sont alignés et que la droite passe par l'origine du repère.
Les deux conditions comptent. Des points alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine correspondent à une situation avec un « départ » fixe — un abonnement, des frais de dossier — qui n'est pas proportionnelle.
Le point $(0\,;0)$ est le test décisif. Il traduit une évidence : $0$ kilo de tomates coûte $0$ euro. Si $0$ heure de location coûte déjà $3$ €, la situation ne peut pas être proportionnelle, même si tous les autres points sont parfaitement alignés.
5. Prix unitaire, vitesse moyenne, échelle
Le coefficient de proportionnalité porte souvent un nom courant.
Le prix unitaire. $\;$ prix $= $ prix unitaire $\times$ quantité. Trois kilos à $2{,}50$ € le kilo : $3 \times 2{,}50 = 7{,}50$ €.
La vitesse moyenne. $\;$ distance $=$ vitesse $\times$ durée. À $60$ km/h pendant $2{,}5$ h : $60\times2{,}5 = 150$ km.
L'échelle d'un plan. C'est le coefficient qui fait passer de la réalité au dessin : $\text{échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}} \qquad (\text{dans la même unité}).$ Une échelle de $\frac{1}{200}$ signifie que $1$ cm sur le plan représente $200$ cm, soit $2$ m, dans la réalité.
Une échelle n'a pas d'unité, mais elle exige que les deux longueurs soient dans la même. Écrire « $\frac{1 \text{ cm}}{2 \text{ m}}$ » ne donne rien ; il faut d'abord convertir : $2$ m $= 200$ cm, d'où l'échelle $\frac{1}{200}$. Une échelle inférieure à 1 réduit (un plan de maison) ; supérieure à 1, elle agrandit (le dessin d'un insecte).
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Proportionnel ou non ?
Ces situations relèvent-elles de la proportionnalité ? a. Le nombre de croissants achetés et le prix payé. b. L'âge d'un arbre et sa hauteur. c. La durée d'un trajet à vitesse constante et la distance parcourue. d. Le côté d'un carré et son aire. e. Le nombre de photocopies et le prix, avec $5$ € d'abonnement plus $0{,}05$ € la copie.
Correction. a. Oui (à prix unitaire fixe). b. Non : un arbre ne grandit pas régulièrement, et il finit par ne plus grandir. c. Oui : le coefficient est la vitesse. d. Non : doubler le côté multiplie l'aire par $4$ (chapitre 5). e. Non : $0$ copie coûte déjà $5$ €.
Exercice 2 — Tableau de proportionnalité ?
| $A$ | $3$ | $5$ | $8$ |
|---|---|---|---|
| $B$ | $7{,}5$ | $12{,}5$ | $20$ |
| $C$ | $2$ | $4$ | $7$ |
|---|---|---|---|
| $D$ | $6$ | $12$ | $20$ |
Correction. Premier tableau : $\dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5$ ; $\dfrac{12{,}5}{5} = 2{,}5$ ; $\dfrac{20}{8} = 2{,}5$. C'est un tableau de proportionnalité, de coefficient $2{,}5$. Second tableau : $\dfrac{6}{2} = 3$ et $\dfrac{12}{4} = 3$, mais $\dfrac{20}{7} \approx 2{,}86$. Ce n'en est pas un.
Deux quotients égaux ne suffisent jamais : il faut les vérifier tous. Ici, la valeur $20$ aurait dû être $21$.
Exercice 3 — Compléter
$5$ stylos coûtent $6{,}50$ €. a. Combien coûtent $1$ stylo ? $15$ stylos ? $7$ stylos ? b. Combien de stylos peut-on acheter avec $26$ € ?
Correction. a. $1$ stylo : $6{,}50 \div 5 = 1{,}30$ €. $15$ stylos : $6{,}50 \times 3 = 19{,}50$ € (linéarité multiplicative, $15 = 5\times3$). $7$ stylos : $7 \times 1{,}30 = 9{,}10$ €. b. $26 \div 1{,}30 = 20$ stylos.
Contrôle de b : $20 = 5\times4$, et $6{,}50\times4 = 26$ € ✔
Exercice 4 — Une recette
Une recette pour $6$ personnes utilise $450$ g de riz et $3$ œufs. Compléter pour $4$ personnes, puis pour $15$ personnes.
Correction. Pour $1$ personne : $450 \div 6 = 75$ g de riz et $3 \div 6 = 0{,}5$ œuf.
| personnes | $1$ | $4$ | $6$ | $15$ |
|---|---|---|---|---|
| riz (g) | $75$ | $300$ | $450$ | $1\,125$ |
| œufs | $0{,}5$ | $2$ | $3$ | $7{,}5$ |
« $7{,}5$ œufs » est mathématiquement exact et pratiquement absurde : on en cassera $8$. Le modèle proportionnel reste un modèle — c'est l'étape « revenir au problème » du chapitre 7.
Exercice 5 — Vitesse moyenne
Un cycliste parcourt $45$ km en $3$ heures, à allure régulière. a. Quelle est sa vitesse moyenne ? b. Quelle distance parcourt-il en $5$ h ? en $40$ min ?
Correction. a. $45 \div 3 = \mathbf{15}$ km/h. b. En $5$ h : $15\times5 = 75$ km. En $40$ min, soit $\dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$ h : $15 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{10}$ km.
Pour la seconde question, on peut aussi raisonner par linéarité : $40$ min, c'est deux fois $20$ min ; en $20$ min ($\frac{1}{3}$ h) il fait $5$ km, donc $10$ km en $40$ min.
Exercice 6 — Échelle
Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{200}$, un salon est représenté par un rectangle de $3$ cm sur $2{,}5$ cm. a. Quelles sont ses dimensions réelles ? b. Quelle est son aire réelle, en m² ?
Correction. a. $3 \times 200 = 600$ cm $= 6$ m ; $2{,}5\times200 = 500$ cm $= 5$ m. b. $\mathcal{A} = 6\times5 = \mathbf{30}$ m².
Attention : l'échelle s'applique aux longueurs, jamais directement aux aires. L'aire sur le plan vaut $3\times2{,}5 = 7{,}5$ cm², et $30$ m² $= 300\,000$ cm² — soit $40\,000 = 200^2$ fois plus, et non $200$ fois.
Exercice 7 — Lecture graphique
Trois graphiques représentent le prix payé en fonction de la quantité. A : des points alignés passant par l'origine. B : des points alignés partant de $(0\,;4)$. C : des points non alignés. Lesquels correspondent à une situation de proportionnalité ?
Correction. Seul A. Le graphique B est bien une droite, mais elle ne passe pas par l'origine : il y a un coût fixe de $4$ €. Le graphique C n'est même pas une droite.
Exercice 8 — Un problème de mélange
Pour préparer une peinture, on mélange $2$ doses de bleu pour $5$ doses de blanc. a. Combien de doses de blanc pour $8$ doses de bleu ? b. On veut $35$ doses de mélange en tout. Combien de chaque ?
Correction. a. $8 = 2\times4$, donc blanc $= 5\times4 = \mathbf{20}$ doses. b. Une « portion » de mélange fait $2+5 = 7$ doses. Or $35 = 7\times5$ : il faut $5$ portions, soit $2\times5 = \mathbf{10}$ doses de bleu et $5\times5 = \mathbf{25}$ doses de blanc.
Contrôle : $10 + 25 = 35$ ✔ et $\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$ ✔ — les deux conditions sont bien remplies.
À retenir
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre : le coefficient de proportionnalité.
Dans un tableau : on calcule tous les quotients d'une ligne par l'autre. Tous égaux → proportionnalité. Un seul différent suffit à conclure que non.
Quatre procédures : retour à l'unité · linéarité multiplicative · linéarité additive · coefficient. Elles donnent toutes le même résultat ; on prend la plus simple.
Sur un graphique : points alignés et droite passant par l'origine. Les deux conditions sont nécessaires.
Coefficients usuels : prix unitaire, vitesse moyenne, échelle. Une échelle compare deux longueurs dans la même unité, et n'a donc pas d'unité.
Chapitre suivant : proportions et pourcentages.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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