Mathématiques — 5ème
Le triangle — Maths Cinquième (chapitre 16)
Somme des angles d'un triangle et sa démonstration, triangles particuliers, construction et inégalité triangulaire, médiatrices et cercle circonscrit,…
Par ProfBot
Le triangle
Chapitre 16 — Espace et géométrie · Cinquième
Le triangle est la figure la plus simple qui enferme une surface — et la plus riche. Trois points, trois segments, et déjà : une somme d'angles invariable, trois droites remarquables qui se coupent chacune en un point, une formule d'aire. Ce chapitre est aussi celui où l'on démontre vraiment, en réutilisant les angles du chapitre 15.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Espace et géométrie, thème Triangles :
automatismes — « Reconnaitre un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle à partir d'un schéma codé » ; « Connaitre la somme des angles d'un triangle, calculer le 3e angle » ; « Connaitre la notion de médiatrice, de cercle circonscrit ».
Objectifs d'apprentissage — « Connaitre la somme des angles d'un triangle et savoir la démontrer » ; « Construire des triangles à partir de données partielles » ; « Connaitre les propriétés des médiatrices et du cercle circonscrit dans le cas de triangles particuliers » ; « Calculer l'aire d'un triangle » ; « Définir et tracer les hauteurs dans un triangle » ; « Savoir que les hauteurs d'un triangle sont concourantes » ; « Définir et tracer les médianes » ; « Démontrer qu'une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales » ; « Utiliser ces propriétés dans le cas de triangles particuliers ».
⚠️ Le théorème de Pythagore et le cosinus ne sont pas au programme de cinquième : ils arrivent en quatrième.
1. La somme des angles d'un triangle
![La démonstration : une parallèle au côté [BC] tracée par A fait apparaître deux angles alternes-internes, et les trois angles forment un angle plat.](/plateforme/cours/maths-cinquieme/ch16-somme-angles.svg)
Propriété. Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$.
La démonstration
Soit un triangle $ABC$. Traçons la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$ passant par $A$.
- $(d)$ et $(BC)$ sont parallèles, coupées par la sécante $(AB)$. Or si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes sont égaux. Donc l'angle marqué en bleu au sommet $A$ est égal à $\widehat{ABC}$.
- De même avec la sécante $(AC)$ : l'angle marqué en vert au sommet $A$ est égal à $\widehat{ACB}$.
- Les trois angles de sommet $A$ — le bleu, $\widehat{BAC}$, et le vert — sont adjacents et forment un angle plat le long de $(d)$. Leur somme vaut donc $180°$.
Donc $\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 180°$. $\;\blacksquare$
Cette démonstration ne mesure aucun angle. Elle vaut pour n'importe quel triangle, y compris ceux qu'on ne dessinera jamais. Elle repose entièrement sur la propriété du chapitre 15 — et c'est pour cela que les angles y étaient étudiés d'abord.
Conséquence immédiate. Connaissant deux angles, on trouve le troisième par soustraction : $\widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B}.$
Un triangle a au plus un angle droit et au plus un angle obtus. Deux angles droits feraient déjà $180°$, et il ne resterait rien pour le troisième — ce qui est impossible, un angle de triangle étant strictement positif.
2. Les triangles particuliers
Définitions et propriétés.
- Isocèle : deux côtés de même longueur. Les angles à la base sont alors égaux.
- Équilatéral : trois côtés de même longueur. Les trois angles valent $60°$ chacun.
- Rectangle : un angle droit. Les deux autres angles sont complémentaires (leur somme vaut $90°$).
Pourquoi $60°$ dans l'équilatéral ? Les trois angles sont égaux et leur somme vaut $180°$ : chacun vaut $180 \div 3 = 60°$.
Pourquoi complémentaires dans le rectangle ? $\widehat{A} + \widehat{B} + 90° = 180°$, donc $\widehat{A}+\widehat{B} = 90°$.
Le codage remplace les mots. Deux côtés portant le même nombre de petits traits sont de même longueur ; deux angles portant le même arc ont la même mesure ; un petit carré marque l'angle droit. Sur une figure codée, on ne mesure pas, on lit le codage — c'est lui qui constitue l'hypothèse.
3. Construire un triangle
Pour qu'un triangle existe, ses trois longueurs ne peuvent pas être quelconques.
Condition d'existence (inégalité triangulaire). Un triangle de côtés $a$, $b$, $c$ existe si et seulement si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.
Un triangle de côtés $3$, $4$ et $9$ cm est impossible : $3+4 = 7 < 9$, les deux petits côtés ne se rejoignent pas. Avec $3$, $4$ et $6$, en revanche, $3+4 = 7 > 6$ : il existe.
Cette condition n'est pas listée telle quelle parmi les objectifs de cinquième ; elle est indispensable à l'objectif « construire des triangles à partir de données partielles », puisqu'elle dit quelles données sont constructibles.
Trois situations de construction.
| ce qu'on donne | outils | méthode |
|---|---|---|
| les trois côtés | règle et compas | on trace un côté, puis deux arcs de cercle qui se coupent |
| deux côtés et l'angle entre eux | règle et rapporteur | on trace l'angle, puis on reporte les deux longueurs |
| un côté et les deux angles adjacents | règle et rapporteur | on trace le côté, puis les deux demi-droites |
Faites toujours un croquis à main levée avant de construire. Il porte les données codées, et il révèle immédiatement si l'énoncé est cohérent — un angle obtus « entre » deux côtés très courts, une somme de longueurs impossible. Cinq secondes de croquis économisent dix minutes de construction fausse.
4. Médiatrices et cercle circonscrit
Rappel. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistants des deux extrémités.
Propriété. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point $O$, qui est équidistant des trois sommets. Le cercle de centre $O$ passant par les trois sommets s'appelle le cercle circonscrit au triangle.
Pourquoi ? $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$, donc $OA = OB$. Il est sur celle de $[BC]$, donc $OB = OC$. Donc $OA = OB = OC$ : les trois sommets sont à la même distance de $O$.
Dans les triangles particuliers.
- Triangle rectangle : le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse. L'hypoténuse est donc un diamètre.
- Triangle isocèle : $O$ est sur l'axe de symétrie du triangle.
- Triangle équilatéral : $O$ est le centre de la figure — il est aussi le point de concours des hauteurs et des médianes.
$O$ n'est pas toujours à l'intérieur du triangle. Si le triangle a un angle obtus, le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur. Si l'angle est droit, il est exactement sur un côté. C'est l'un des rares points remarquables dans ce cas — l'intersection des médianes, elle, est toujours intérieure.
5. Les hauteurs
Définition. La hauteur issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Un triangle a donc trois hauteurs, une par sommet.
Propriété. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours s'appelle l'orthocentre.
Une hauteur peut tomber en dehors du côté. Dans un triangle obtusangle, le pied de la hauteur se trouve sur le prolongement du côté opposé, et l'orthocentre lui-même sort du triangle. C'est parfaitement normal — la hauteur est une droite perpendiculaire au côté, pas un segment enfermé dans la figure.
6. Les médianes, et l'aire
Définition. La médiane issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Propriété. Les trois médianes sont concourantes, en un point toujours situé à l'intérieur du triangle.
L'aire d'un triangle
Formule.
$\mathcal{A} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$
où la hauteur est celle qui est relative à la base choisie.
Les trois couples (base, hauteur) d'un même triangle donnent bien sûr la même aire.
Une médiane partage le triangle en deux aires égales
![Le triangle ABC coupé par la médiane [AM] : les deux moitiés ont la même base et la même hauteur.](/plateforme/cours/maths-cinquieme/ch16-mediane-aires.svg)
Propriété à démontrer. La médiane issue de $A$ partage le triangle $ABC$ en deux triangles de même aire.
Démonstration. Soit $M$ le milieu de $[BC]$, et $h$ la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ — c'est-à-dire la distance de $A$ à la droite $(BC)$.
- Le triangle $ABM$ a pour base $BM$ et pour hauteur relative $h$ : son aire vaut $\dfrac{BM \times h}{2}$.
- Le triangle $ACM$ a pour base $MC$ et pour même hauteur $h$, puisque $A$ n'a pas bougé et que $(BC)$ non plus : son aire vaut $\dfrac{MC \times h}{2}$.
- Or $M$ est le milieu de $[BC]$, donc $BM = MC$.
Donc les deux aires sont égales. $\;\blacksquare$
Le point clé est que la hauteur est la MÊME pour les deux moitiés. C'est ce que dit « $h$ est la distance de $A$ à la droite $(BC)$ » : elle ne dépend pas du morceau de $(BC)$ qu'on regarde. Une fois cela vu, la démonstration tient en une ligne.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Le troisième angle
Calculer l'angle manquant : a. $\widehat{A} = 45°$, $\widehat{B} = 72°$ · b. $\widehat{A} = 90°$, $\widehat{B} = 37°$ · c. triangle isocèle dont l'angle au sommet principal vaut $110°$
Correction. a. $\widehat{C} = 180 - 45 - 72 = \mathbf{63°}$ b. $\widehat{C} = 180 - 90 - 37 = \mathbf{53°}$ (et l'on vérifie : $37+53 = 90$, complémentaires) c. Les deux angles à la base sont égaux : $(180 - 110) \div 2 = 70 \div 2 = \mathbf{35°}$ chacun.
Exercice 2 — Possible ou impossible ?
Ces triangles existent-ils ? a. angles $60°$, $70°$, $50°$ · b. angles $90°$, $95°$, $-5°$ · c. côtés $5$, $7$, $11$ cm · d. côtés $2$, $3$, $8$ cm
Correction. a. $60+70+50 = 180$ ✔ possible. b. Un angle ne peut pas être négatif : impossible. (Et deux angles $\geqslant 90°$ le sont déjà de toute façon.) c. $5+7 = 12 > 11$ ✔ possible. d. $2+3 = 5 < 8$ : impossible.
Exercice 3 — Triangle isocèle
Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et $\widehat{B} = 52°$. a. Que vaut $\widehat{C}$ ? b. Que vaut $\widehat{A}$ ?
Correction. a. $\widehat{C} = \widehat{B} = \mathbf{52°}$ : les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. b. $\widehat{A} = 180 - 52 - 52 = \mathbf{76°}$.
Exercice 4 — Aire
a. Calculer l'aire d'un triangle de base $8$ cm et de hauteur relative $5$ cm. b. Un triangle a une aire de $24$ cm² et une base de $6$ cm. Quelle est la hauteur relative à cette base ? c. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $9$ cm et $12$ cm. Quelle est son aire ?
Correction. a. $\dfrac{8\times5}{2} = \mathbf{20}$ cm². b. $\dfrac{6\times h}{2} = 24$, donc $3h = 24$ et $h = \mathbf{8}$ cm. c. Dans un triangle rectangle, chaque côté de l'angle droit est la hauteur relative à l'autre : $\dfrac{9\times12}{2} = \mathbf{54}$ cm².
La question c est le seul cas où la hauteur se lit directement sur la figure, sans avoir à la tracer.
Exercice 5 — Droites remarquables
Associer chaque définition à son nom. a. Droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. b. Droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. c. Droite perpendiculaire à un côté en son milieu.
Correction. a. une hauteur · b. une médiane · c. une médiatrice
Le piège classique est entre b et c : les deux passent par le milieu d'un côté, mais la médiane part du sommet opposé tandis que la médiatrice est perpendiculaire au côté. Elles ne coïncident que dans un triangle isocèle, pour le côté « base ».
Exercice 6 — Cercle circonscrit
Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $BC = 10$ cm. a. Où se trouve le centre de son cercle circonscrit ? b. Quel est le rayon de ce cercle ? c. Quelle est la distance du centre au sommet $A$ ?
Correction. a. Au milieu de $[BC]$, l'hypoténuse. b. $[BC]$ est un diamètre, donc le rayon vaut $10 \div 2 = \mathbf{5}$ cm. c. $A$ est sur le cercle : la distance vaut aussi $\mathbf{5}$ cm.
Exercice 7 — Médiane et aire
Un triangle $ABC$ a une aire de $36$ cm². $M$ est le milieu de $[BC]$ et $N$ le milieu de $[AC]$. a. Quelle est l'aire du triangle $ABM$ ? b. Quelle est l'aire du triangle $ABN$ ? c. En déduire l'aire du triangle $BMN$… est-ce possible avec ce qu'on sait ?
Correction. a. $[AM]$ est une médiane : elle partage $ABC$ en deux aires égales, donc $\mathcal{A}(ABM) = 36 \div 2 = \mathbf{18}$ cm². b. $[BN]$ est aussi une médiane (issue de $B$, vers le milieu de $[AC]$) : $\mathcal{A}(ABN) = \mathbf{18}$ cm². c. Le triangle $BMN$ n'est délimité par aucune médiane entière : la propriété du cours ne s'applique pas directement, et l'énoncé ne donne pas assez d'informations pour conclure avec les seuls outils de cinquième.
La question c est là pour rappeler qu'une propriété a un domaine d'application. « Une médiane partage en deux aires égales » ne dit rien des morceaux découpés par deux médianes.
Exercice 8 — Deux hauteurs
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ : a. Quelle est la hauteur issue de $B$ ? b. Où se trouve l'orthocentre ?
Correction. a. La hauteur issue de $B$ est perpendiculaire à $(AC)$. Or $(AB)$ est déjà perpendiculaire à $(AC)$, puisque l'angle en $A$ est droit. La hauteur issue de $B$ est donc la droite $(AB)$ elle-même. b. De même, la hauteur issue de $C$ est $(AC)$. Ces deux hauteurs se coupent en $A$ : l'orthocentre d'un triangle rectangle est le sommet de l'angle droit.
À retenir
$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ Démonstration : une parallèle à $(BC)$ par $A$, deux paires d'angles alternes-internes, un angle plat.
Isocèle : angles à la base égaux. Équilatéral : trois angles de $60°$. Rectangle : les deux autres angles sont complémentaires.
Inégalité triangulaire : la plus grande longueur doit être inférieure à la somme des deux autres.
Médiatrices → concourantes en $O$, centre du cercle circonscrit ($OA = OB = OC$). Dans un triangle rectangle, $O$ est le milieu de l'hypoténuse.
Hauteurs : perpendiculaires au côté opposé, issues du sommet → concourantes en l'orthocentre. Il peut être hors du triangle.
Médianes : sommet + milieu du côté opposé → concourantes, toujours à l'intérieur.
$\mathcal{A} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$
Une médiane partage le triangle en deux aires égales : mêmes bases ($BM = MC$) et même hauteur issue de $A$.
Chapitre suivant : les parallélogrammes.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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