Mathématiques — 5ème
La symétrie centrale — Maths Cinquième (chapitre 14)
Le demi-tour, symétrique d'un point par rapport à un centre, construction du symétrique d'une figure, propriétés conservées, centre de symétrie d'une…
Par ProfBot
La symétrie centrale
Chapitre 14 — Espace et géométrie · Cinquième
Faire tourner une figure d'un demi-tour autour d'un point : voilà toute la symétrie centrale. L'opération est simple à décrire, et pourtant elle transforme les figures d'une façon très différente de la symétrie axiale déjà connue — au point qu'on ne peut pas les confondre dès qu'on regarde le sens de la figure.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Espace et géométrie, thème Transformations :
automatismes — « Reconnaitre et construire le symétrique d'une figure par symétrie axiale » ; « Construire le symétrique, par rapport à un axe, d'un point, d'une figure, sur feuille blanche ».
Objectifs d'apprentissage — « Définir le demi-tour, ou symétrie centrale » ; « Connaitre les propriétés du demi-tour ».
⚠️ La translation et les vecteurs ne sont pas au programme de cinquième : ils arrivent en quatrième et en troisième.
1. Rappel : la symétrie axiale
Rappel. Le symétrique d'un point $M$ par rapport à une droite $(d)$ est le point $M'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice de $[MM']$ : $(d)$ coupe $[MM']$ en son milieu et perpendiculairement.
C'est la symétrie du pliage : si l'on plie la feuille le long de $(d)$, la figure et son symétrique se superposent exactement.
2. Le demi-tour
![Le symétrique d'un point M par rapport à un centre O : O est le milieu du segment [MM'].](/plateforme/cours/maths-cinquieme/ch14-point.svg)
Définition. Le symétrique d'un point $M$ par rapport à un point $O$ est le point $M'$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[MM']$.
On dit aussi que $M'$ est l'image de $M$ par le demi-tour de centre $O$, ou par la symétrie centrale de centre $O$.
Le point $O$ s'appelle le centre de symétrie. Son symétrique est lui-même : c'est le seul point dans ce cas.
Construction. On trace la demi-droite $[MO)$, on la prolonge au-delà de $O$, et l'on reporte la longueur $OM$ : le point obtenu est $M'$.
La symétrie centrale, c'est la rotation d'un demi-tour. Faites tourner la feuille de $180°$ autour d'une punaise plantée en $O$ : chaque point vient exactement sur son symétrique. C'est le meilleur moyen de vérifier une construction — et c'est aussi ce qui explique que la figure obtenue soit « à l'envers ».
3. Construire le symétrique d'une figure
Méthode. Il suffit de construire le symétrique de chaque point caractéristique — les sommets d'un polygone, le centre d'un cercle — puis de relier.
Pour le triangle $ABC$ et le centre $O$ : on construit $A'$, $B'$, $C'$, et le triangle $A'B'C'$ est le symétrique cherché.
On ne construit jamais point par point une figure entière. Trois sommets suffisent pour un triangle ; pour un cercle, on construit le symétrique du centre, et le rayon ne change pas. Toute la difficulté est de repérer les points qui déterminent la figure.
4. Les propriétés du demi-tour
Propriétés. La symétrie centrale conserve :
- les longueurs — le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ;
- les angles — leurs mesures sont inchangées ;
- les aires et les périmètres ;
- l'alignement — trois points alignés ont des symétriques alignés ;
- les milieux — le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment image ;
- le parallélisme et la perpendicularité.
Autrement dit, une figure et son symétrique sont superposables : ils ont exactement la même forme et la même taille.
Une propriété de plus, qui n'existe pas pour la symétrie axiale. Le symétrique d'une droite par un demi-tour est une droite qui lui est parallèle. C'est faux pour la symétrie axiale, où la droite image est généralement sécante à l'originale. C'est aussi la façon la plus rapide de reconnaître laquelle des deux symétries a été appliquée.
Ce qui change. Le sens de parcours de la figure. En symétrie axiale, le sens s'inverse (comme dans un miroir : la main droite devient une main gauche). En symétrie centrale, le sens est conservé — la figure est simplement retournée à $180°$, comme si on l'avait fait tourner sans la soulever de la feuille.
5. Centre de symétrie d'une figure
Définition. Une figure admet un centre de symétrie $O$ lorsqu'elle est sa propre image par le demi-tour de centre $O$.
Des figures qui en ont un : le cercle (son centre), le parallélogramme (le point d'intersection de ses diagonales), le rectangle, le losange, le carré, le segment (son milieu).
Des figures qui n'en ont pas : le triangle — aucun triangle n'a de centre de symétrie, pas même l'équilatéral —, le trapèze quelconque, le pentagone régulier.
Ne pas confondre axe et centre de symétrie. Le triangle équilatéral a trois axes de symétrie et aucun centre. Le parallélogramme quelconque a un centre et aucun axe. Le carré, lui, a les deux : quatre axes et un centre. Les deux notions sont indépendantes.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Vrai ou faux
a. Le symétrique du centre $O$ par le demi-tour de centre $O$ est $O$ lui-même. b. La symétrie centrale conserve les longueurs. c. Le symétrique d'un cercle de rayon $3$ cm est un cercle de rayon $6$ cm. d. Tout triangle a un centre de symétrie.
Correction. a. Vrai : $O$ est bien le milieu de $[OO]$. b. Vrai. c. Faux : c'est un cercle de même rayon, $3$ cm. Seul le centre change de place. d. Faux : aucun triangle n'a de centre de symétrie.
Exercice 2 — Construction
Sur une feuille, placer trois points $A$, $B$ et $O$ non alignés. a. Construire $A'$ et $B'$, symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$. b. Que peut-on dire des longueurs $AB$ et $A'B'$ ? c. Que peut-on dire des droites $(AB)$ et $(A'B')$ ?
Correction. a. On trace $[AO)$ prolongée, on reporte $OA$ au-delà de $O$ : c'est $A'$. Idem pour $B'$. b. $AB = A'B'$ : la symétrie centrale conserve les longueurs. c. Elles sont parallèles : c'est la propriété caractéristique du demi-tour.
Exercice 3 — Coordonnées
Dans un repère (chapitre 10), on donne $M(3\,;2)$ et le centre $O(0\,;0)$. a. Quelles sont les coordonnées de $M'$, symétrique de $M$ par rapport à $O$ ? b. Même question pour $N(-4\,;1)$. c. Et si le centre était $C(1\,;1)$ au lieu de l'origine, quel serait le symétrique de $M(3\,;2)$ ?
Correction. a. $M'(-3\,;-2)$ : les deux coordonnées changent de signe. b. $N'(4\,;-1)$. c. $C$ doit être le milieu de $[MM']$. En abscisse : $1$ est le milieu de $3$ et de $x'$, donc $x' = 2\times1 - 3 = -1$. En ordonnée : $y' = 2\times1-2 = 0$. Donc $M'(-1\,;0)$.
Règle générale : le symétrique de $(x\,;y)$ par rapport à $(a\,;b)$ est $(2a - x\,;2b - y)$. Pour l'origine, cela se réduit à $(-x\,;-y)$.
Exercice 4 — Reconnaître la transformation
Une figure et son image ont leurs côtés deux à deux parallèles, et la même taille. De quelle transformation s'agit-il ?
Correction. D'une symétrie centrale (ou d'une translation, mais elle n'est pas au programme de cinquième). En symétrie axiale, les côtés images ne sont pas parallèles aux côtés d'origine, sauf ceux qui sont perpendiculaires ou parallèles à l'axe.
Exercice 5 — Axes et centres
Pour chaque figure, indiquer le nombre d'axes de symétrie et l'existence d'un centre de symétrie. a. Carré · b. Rectangle non carré · c. Parallélogramme quelconque · d. Triangle équilatéral · e. Cercle
Correction.
| figure | axes de symétrie | centre de symétrie |
|---|---|---|
| carré | $4$ | oui |
| rectangle non carré | $2$ | oui |
| parallélogramme quelconque | $0$ | oui |
| triangle équilatéral | $3$ | non |
| cercle | une infinité | oui |
Le triangle équilatéral et le parallélogramme forment le couple à retenir : le premier a des axes mais pas de centre, le second un centre mais pas d'axe.
Exercice 6 — Un pavage
Un motif est reproduit par demi-tours successifs autour de points alignés régulièrement espacés. a. Après deux demi-tours de même centre $O$, où se retrouve un point $M$ ? b. Que peut-on en déduire ?
Correction. a. Le premier demi-tour envoie $M$ sur $M'$, avec $O$ milieu de $[MM']$. Le second envoie $M'$ sur le point dont $O$ est le milieu de $[M'\ldots]$ — c'est-à-dire $M$ lui-même. b. Appliquer deux fois la même symétrie centrale ramène chaque point à sa place : on retrouve la figure de départ. C'est logique — deux demi-tours font un tour complet.
Exercice 7 — Aire et périmètre
Un triangle a pour aire $12$ cm² et pour périmètre $18$ cm. On construit son symétrique par rapport à un point $O$ situé à l'extérieur du triangle. a. Quelle est l'aire du triangle image ? son périmètre ? b. Les deux triangles se chevauchent-ils ?
Correction. a. Aire $12$ cm², périmètre $18$ cm : inchangés. La symétrie centrale conserve les deux. b. Cela dépend de la position de $O$. Si $O$ est assez loin du triangle, les deux figures sont disjointes ; si $O$ est proche d'un côté, elles peuvent se chevaucher. La question de la position n'a rien à voir avec celle des mesures.
À retenir
Définition. $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ lorsque $O$ est le milieu de $[MM']$.
C'est le demi-tour : une rotation de $180°$ autour de $O$. Le symétrique de $O$ est $O$.
Construire : on ne traite que les points caractéristiques (sommets, centre d'un cercle), puis on relie.
Conservé : longueurs · angles · aires · périmètres · alignement · milieux · parallélisme et perpendicularité. Une figure et son image sont superposables.
Propriété caractéristique : le symétrique d'une droite par un demi-tour lui est parallèle. C'est ce qui distingue la symétrie centrale de la symétrie axiale.
Centre de symétrie d'une figure : la figure est sa propre image. Le parallélogramme en a un (l'intersection des diagonales), le triangle jamais.
Deux demi-tours de même centre ramènent la figure à sa place.
Chapitre suivant : les angles et les droites parallèles.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
← Chapitre 13 · Probabilités | Chapitre 15 · Angles et droites parallèles →