Mathématiques — 5ème
Repérage sur une droite et dans le plan — Maths Cinquième (chapitre 10)
Abscisse d'un point sur une droite graduée, repère orthogonal du plan, lire et placer des coordonnées, axes et origine, points situés sur les axes.…
Par ProfBot
Repérage sur une droite et dans le plan
Chapitre 10 — Repérage · Cinquième
Donner sa position, c'est donner des nombres. Une seule coordonnée suffit sur une droite ; il en faut deux dans un plan. C'est l'idée du repère cartésien — et c'est ce qui permettra, au chapitre suivant, de dessiner la dépendance entre deux grandeurs au lieu de seulement la décrire.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Espace et géométrie, thème Repérage sur une droite et dans le plan :
automatismes — « Placer sur une demi-droite graduée un point dont l'abscisse est un nombre décimal » ; « Repérer un nombre décimal sur une demi-droite graduée ».
Objectifs d'apprentissage — « Sur une droite graduée : lire l'abscisse d'un point donné ; placer un point d'abscisse donnée » ; « Dans le plan muni d'un repère orthogonal : lire les coordonnées d'un point donné ; placer un point de coordonnées données ».
Ce thème appartient au domaine « Espace et géométrie » du programme. Il est traité ici parce que le chapitre 11, consacré aux graphiques, en a besoin.
1. Sur une droite graduée
Une droite graduée est définie par trois éléments, et trois seulement :
- une origine, le point d'abscisse $0$ ;
- un sens, indiqué par une flèche ;
- une unité, la distance entre deux graduations consécutives.
Définition. L'abscisse d'un point est le nombre relatif qui le repère sur la droite graduée. On note $A(-2{,}5)$ : « le point $A$ a pour abscisse $-2{,}5$ ».
La graduation ne vaut pas toujours $1$. Avant toute lecture, on compte combien d'intervalles séparent deux nombres écrits. Si $0$ et $1$ sont séparés par $5$ intervalles, chacun vaut $0{,}2$ — et le troisième cran après $0$ est à $0{,}6$, pas à $3$. C'est l'erreur de lecture la plus fréquente.
Toutes les sortes de nombres rencontrées jusqu'ici ont leur place sur cette droite : entiers, décimaux, relatifs (chapitre 3) et fractions (chapitre 4). $\frac{7}{3}$ se place en partageant chaque unité en trois et en comptant sept tiers.
2. Le repère du plan
Pour repérer un point d'un plan, une seule droite ne suffit plus : il en faut deux, sécantes.
Définition. Un repère orthogonal du plan est constitué de deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en un point $O$ appelé origine.
- la droite horizontale est l'axe des abscisses ;
- la droite verticale est l'axe des ordonnées ;
- l'origine $O$ a pour abscisse $0$ sur les deux axes.
« Orthogonal » veut dire perpendiculaire, rien de plus. Les deux axes n'ont pas forcément la même unité : sur un graphique où l'on met des heures en abscisse et des kilomètres en ordonnée, ce serait même absurde. Quand les unités sont en plus égales, on parle de repère orthonormé — c'est le cas des repères quadrillés du cahier.
3. Lire et écrire des coordonnées
Définition. Les coordonnées d'un point $M$ sont le couple de nombres $(x\,;y)$ où :
- $x$ est l'abscisse — on la lit sur l'axe horizontal ;
- $y$ est l'ordonnée — on la lit sur l'axe vertical.
On écrit $M(x\,;y)$, toujours dans cet ordre.
Méthode de lecture. Depuis le point, on descend (ou on monte) verticalement jusqu'à l'axe des abscisses : on lit $x$. On se déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées : on lit $y$.
Méthode de placement. On part de l'origine, on avance de $x$ horizontalement, puis de $y$ verticalement.
L'ordre n'est pas négociable : abscisse d'abord. $A(3\,;1)$ et $B(1\,;3)$ sont deux points différents. Le moyen mnémotechnique le plus solide est l'ordre alphabétique : abscisse avant ordonnée, comme $x$ avant $y$.
Cas particuliers.
- Un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle : $(4\,;0)$.
- Un point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle : $(0\,;-2)$.
- L'origine a pour coordonnées $(0\,;0)$.
4. Les quatre quadrants
Les deux axes découpent le plan en quatre régions. Le signe des coordonnées y suit une règle simple :
| région | abscisse | ordonnée |
|---|---|---|
| en haut à droite | $+$ | $+$ |
| en haut à gauche | $-$ | $+$ |
| en bas à gauche | $-$ | $-$ |
| en bas à droite | $+$ | $-$ |
Le signe se lit sans calcul : à gauche de l'axe vertical, l'abscisse est négative ; en dessous de l'axe horizontal, l'ordonnée l'est. C'est directement la règle du chapitre 3 appliquée deux fois, une par axe.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Lire des abscisses
Sur une droite graduée d'origine $O$ et d'unité $1$ cm, les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont placés respectivement $3$ cm à droite de $O$, $1{,}5$ cm à gauche, $4{,}5$ cm à gauche et exactement sur $O$. Donner leurs abscisses.
Correction. $A(3)$ ; $B(-1{,}5)$ ; $C(-4{,}5)$ ; $D(0)$.
Exercice 2 — Une graduation piégeuse
Sur une droite graduée, $0$ et $1$ sont séparés par $4$ intervalles égaux. a. Que vaut un intervalle ? b. Quelle est l'abscisse du point situé $3$ intervalles à droite de $0$ ? $6$ intervalles à gauche ?
Correction. a. $1 \div 4 = 0{,}25$. b. $3 \times 0{,}25 = 0{,}75$ · $-6\times0{,}25 = -1{,}5$.
Le second point est au-delà de $-1$ : six quarts font plus d'une unité. Compter les intervalles sans les convertir donnerait « $-6$ », soit quatre fois trop.
Exercice 3 — Lire des coordonnées
Dans un repère, on lit : $A$ est à $2$ à droite et $3$ en haut ; $B$ à $4$ à gauche et $1$ en haut ; $C$ à $3$ à gauche et $2$ en bas ; $D$ à $5$ à droite, sur l'axe horizontal. Donner leurs coordonnées.
Correction. $A(2\,;3)$ ; $B(-4\,;1)$ ; $C(-3\,;-2)$ ; $D(5\,;0)$.
Exercice 4 — Vrai ou faux
a. $(2\,;5)$ et $(5\,;2)$ désignent le même point. b. Tout point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle. c. Le point $(-3\,;4)$ est en bas à gauche. d. L'origine a pour coordonnées $(0\,;0)$.
Correction. a. Faux : le premier est à $2$ à droite et $5$ en haut, le second à $5$ à droite et $2$ en haut. b. Vrai, par définition de cet axe. c. Faux : abscisse négative donc à gauche, mais ordonnée positive donc en haut. d. Vrai.
Exercice 5 — Un rectangle
On donne $A(-2\,;1)$, $B(4\,;1)$ et $C(4\,;-3)$. a. Quelle est la particularité des points $A$ et $B$ ? de $B$ et $C$ ? b. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un rectangle. c. Calculer les dimensions puis l'aire de ce rectangle (unité : le carreau).
Correction. a. $A$ et $B$ ont la même ordonnée $1$ : le segment $[AB]$ est horizontal. $B$ et $C$ ont la même abscisse $4$ : $[BC]$ est vertical. b. $D$ doit être aligné verticalement avec $A$ et horizontalement avec $C$ : $D(-2\,;-3)$. c. Longueur $AB = 4 - (-2) = 6$ ; largeur $BC = 1 - (-3) = 4$. Aire $= 6\times4 = \mathbf{24}$ carreaux.
Les longueurs se calculent par une différence de coordonnées, exactement comme les écarts de température du chapitre 3 — et pour la même raison.
Exercice 6 — Un point mystère
Un point $M$ vérifie : son abscisse est le double de son ordonnée, et son ordonnée vaut $-2$. a. Donner les coordonnées de $M$. b. Dans quelle région du plan se trouve-t-il ?
Correction. a. Ordonnée $-2$, abscisse $2\times(-2) = -4$ : $M(-4\,;-2)$. b. Les deux coordonnées sont négatives : $M$ est en bas à gauche.
Attention au piège : « le double de $-2$ » vaut $-4$, pas $4$. Le double d'un nombre négatif est plus petit que lui.
Exercice 7 — Un parcours
Un robot part de l'origine. Il avance de $3$ vers la droite, puis de $5$ vers le haut, puis de $7$ vers la gauche, puis de $2$ vers le bas. Donner ses coordonnées après chaque déplacement.
Correction. Départ $(0\,;0)$ → $(3\,;0)$ → $(3\,;5)$ → $(-4\,;5)$ → $(-4\,;3)$.
Un déplacement horizontal ne change que l'abscisse, un déplacement vertical que l'ordonnée. Les deux coordonnées sont indépendantes l'une de l'autre — c'est tout l'intérêt du repère.
À retenir
Sur une droite graduée : une origine, un sens, une unité. L'abscisse d'un point est le nombre relatif qui le repère. On vérifie toujours ce que vaut un intervalle avant de lire.
Dans le plan : un repère orthogonal est fait de deux droites graduées perpendiculaires se coupant en $O$. Horizontale = axe des abscisses ; verticale = axe des ordonnées.
$M(x\,;y) \qquad x \text{ d'abord (abscisse), } y \text{ ensuite (ordonnée)}$
$(2\,;5)$ et $(5\,;2)$ sont deux points différents.
Sur les axes : ordonnée nulle sur l'axe horizontal, abscisse nulle sur l'axe vertical, et $O(0\,;0)$.
Signes : à gauche → abscisse négative ; en dessous → ordonnée négative.
Chapitre suivant : la dépendance de deux grandeurs.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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