Mathématiques — 5ème

Le calcul littéral — Maths Cinquième (chapitre 6)

Produire une formule, conventions d'écriture, substitution, somme ou produit, réduire une expression de la forme ax + b, développer et factoriser avec la…

Par ProfBot

Le calcul littéral

Chapitre 6 — Nombres et calculs · Cinquième

Une lettre dans un calcul, ce n'est pas une complication : c'est un raccourci. Elle permet d'écrire d'un seul coup ce qui serait vrai pour tous les nombres à la fois — et surtout, elle permet de le démontrer. Vérifier une propriété sur dix exemples ne prouve rien ; une seule ligne de calcul littéral la prouve pour l'infinité des nombres.

Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Nombres et calculs, thème Calcul littéral et algébrique :

automatismes — « Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive » ; « Trouver le nombre d'éléments pour une étape donnée » ; « Identifier la structure d'un motif évolutif ».

Objectifs d'apprentissage — « Produire des formules (double, triple, carré, successeur, prédécesseur, aire, périmètre, etc.) » ; « Calculer la valeur d'une expression littérale par substitution » ; « Tester si une égalité entre expressions algébriques comportant une variable est vraie ou fausse » ; « Déterminer si une expression littérale est une somme ou un produit » ; « Exploiter les relations $k(a+b) = ka+kb$ ou $k(a-b) = ka-kb$ pour factoriser ou développer » ; « Réduire une expression littérale de la forme $ax+b$ » ; « Démontrer une propriété générale par le calcul littéral » ; « Utiliser un contre-exemple pour démontrer qu'une assertion est fausse ».

⚠️ En cinquième, la distributivité est simple : $k(a+b)$. La double distributivité $(a+b)(c+d)$ et les identités remarquables sont au programme de quatrième et de troisième.

1. Pourquoi une lettre ?

On aligne des carrés en allumettes. Pour $1$ carré il en faut $4$ ; pour $2$ carrés, $7$ ; pour $3$ carrés, $10$. Combien pour $100$ carrés ?

Compter à la main est impossible. Mais on peut décrire la construction : une allumette verticale au départ, puis $3$ allumettes pour chaque carré ajouté. Pour $n$ carrés : $\text{nombre d'allumettes} = 3 \times n + 1.$

Pour $100$ carrés : $3\times100+1 = 301$. La lettre $n$ a répondu à toutes les questions du même type d'un seul coup.

Une lettre représente un nombre inconnu ou variable, pas un objet. Dans « $n$ carrés », $n$ n'est pas un carré : c'est le nombre de carrés. Cette confusion est fréquente et rend les formules incompréhensibles ; le remède est de toujours écrire en toutes lettres ce que la lettre désigne (« $n$ est le nombre de carrés »).

2. Les conventions d'écriture

Règles.

- Le signe $\times$ disparaît devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times a$ s'écrit $3a$, et $5\times(x+2)$ s'écrit $5(x+2)$.

- On écrit le nombre avant la lettre : $a\times7$ s'écrit $7a$, jamais $a7$.

- $1 \times a$ s'écrit $a$, et $(-1)\times a$ s'écrit $-a$.

- $a \times a$ s'écrit $a^2$, et $a\times a\times a$ s'écrit $a^3$.

Le signe $\times$ ne disparaît JAMAIS entre deux nombres. $3\times5$ ne peut pas s'écrire $35$. C'est justement pour cela que la convention n'est possible qu'avec des lettres : il n'y a aucune ambiguïté à lire $3a$.

3. Produire une formule

Traduire une situation par une formule, c'est le cœur du chapitre.

4. Calculer par substitution

Substituer, c'est remplacer chaque lettre par sa valeur, puis calculer en respectant les priorités.

Exemple. Calculer $A = 5x + 3$ pour $x = 4$, puis pour $x = 0{,}2$. $A = 5\times4+3 = 20+3 = 23, \qquad A = 5\times0{,}2+3 = 1+3 = 4.$

On remet le signe $\times$ au moment de substituer. Écrire « $5x$ avec $x=4$ » puis $54$ est une erreur de recopie qui coûte tout l'exercice. La ligne $5\times4$ ne coûte rien et supprime le risque.

Tester une égalité

Une égalité entre deux expressions est-elle vraie ? Pour montrer qu'elle est fausse, un seul contre-exemple suffit. Pour montrer qu'elle est vraie, aucun nombre d'exemples ne suffit : il faut une démonstration.

L'égalité $3(x+2) = 3x+6$ est-elle vraie ? Pour $x = 5$ : à gauche $3\times7 = 21$, à droite $15+6 = 21$. Pour $x = 0$ : $6$ et $6$. Cela ne prouve rien encore — mais la distributivité, elle, le prouve (paragraphe 6).

L'égalité $(x+2)^2 = x^2+4$ est-elle vraie ? Pour $x=1$ : à gauche $3^2 = 9$, à droite $1+4 = 5$. $9 \neq 5$ : l'égalité est fausse, définitivement.

5. Somme ou produit ?

Comme pour les calculs numériques du chapitre 1, on regarde la dernière opération à effectuer.

• $5x + 3$ est une somme de deux termes : $5x$ et $3$.
• $5(x+3)$ est un produit de deux facteurs : $5$ et $(x+3)$.
• $2x^2$ est un produit : $2$ et $x^2$.
• $x^2 + 2x$ est une somme : $x^2$ et $2x$.

La question n'est pas décorative : elle décide de ce qu'on a le droit de faire. On ne peut factoriser que dans une somme, et développer que dans un produit. Se tromper de nature, c'est appliquer la mauvaise transformation.

6. Réduire une expression

Règle. On ne peut additionner que des termes semblables : les $x$ avec les $x$, les nombres avec les nombres.

$5x + 3 + 2x - 1 = (5x+2x) + (3-1) = 7x + 2.$

$8y - 3y + 4 = 5y + 4, \qquad 2{,}5a + 1{,}5a - 0{,}8 = 4a - 0{,}8.$

$7x+2$ ne se réduit pas davantage : ce n'est pas $9x$. Un $x$ et une unité ne sont pas de même nature — exactement comme un quart et un sixième au chapitre 4. Tant qu'on ne connaît pas la valeur de $x$, la somme $7x+2$ est déjà sa forme la plus simple.

Développer et factoriser

Distributivité simple. Pour tous nombres $k$, $a$, $b$ :

$k(a+b) = ka + kb, \qquad k(a-b) = ka - kb.$

Développer (produit → somme) : $3(x+2) = 3x + 6, \qquad 5(2y - 3) = 10y - 15, \qquad x(x+4) = x^2 + 4x.$

Factoriser (somme → produit) : on cherche le facteur commun. $6x + 9 = 3 \times 2x + 3\times3 = 3(2x+3), \qquad 7a - 7b = 7(a-b), \qquad x^2 + 5x = x(x+5).$

Le facteur commun doit être commun à TOUS les termes. Dans $6x+9$, on peut sortir $3$ car $6 = 3\times2$ et $9 = 3\times3$. On ne pourrait pas sortir $6$ : $9$ n'est pas un multiple de $6$.

7. Démontrer avec des lettres

C'est l'usage le plus puissant du calcul littéral.

Un programme de calcul. Choisir un nombre · lui ajouter $3$ · multiplier le résultat par $2$ · enlever le double du nombre de départ.

Essayons : avec $4$, on obtient $(4+3)\times2 - 8 = 14-8 = 6$. Avec $10$ : $(10+3)\times2-20 = 26-20 = 6$. Avec $0{,}5$ : $(0{,}5+3)\times2-1 = 7-1 = 6$.

Conjecture : le résultat vaut toujours $6$. Trois essais ne le prouvent pas. La démonstration, elle, tient en trois lignes : $(n+3)\times2 - 2n = 2n + 6 - 2n = 6.$

Les $2n$ s'éliminent : le résultat ne dépend pas du nombre choisi. C'est démontré pour tous les nombres à la fois, y compris ceux qu'on n'essaiera jamais.

Pour formuler la conjecture, un tableur ou un programme fait le travail à votre place. Dans un tableur, on écrit les nombres choisis dans une colonne et la formule =(A2+3)*2-2*A2 dans la suivante : en tirant vers le bas, on obtient cinquante résultats d'un coup — et l'on voit immédiatement la colonne de $6$. Un programme par blocs (chapitre 19) fait la même chose. Mais cinquante essais ne prouvent toujours rien : ils suggèrent la conjecture, la démonstration l'établit.

Le contre-exemple

Pour démontrer qu'une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit.

« Pour tout entier $n$, le nombre $2n+1$ est premier. » Testons : $n=1$ donne $3$ ✔, $n=2$ donne $5$ ✔, $n=3$ donne $7$ ✔, mais $n=4$ donne $9 = 3\times3$, qui n'est pas premier. L'affirmation est fausse, et la discussion est close.

Ce déséquilibre est fondamental en mathématiques. Un contre-exemple suffit à démolir une affirmation ; aucun nombre d'exemples ne suffit à l'établir. C'est pour cela que le calcul littéral existe.

8. Exercices corrigés

Exercice 1 — Écriture simplifiée

Écrire plus simplement : a. $4\times x$ · b. $y\times3$ · c. $1\times a$ · d. $b\times b$ · e. $2\times(x+5)$ · f. $x\times y\times 6$

Correction. a. $4x$ · b. $3y$ · c. $a$ · d. $b^2$ · e. $2(x+5)$ · f. $6xy$

Exercice 2 — Traduire

Écrire une expression pour : a. le double de $x$ augmenté de $7$ b. le double de « $x$ augmenté de $7$ » c. le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $3$ d. le prix de $n$ places de cinéma à $8{,}50$ €, avec $2$ € de frais de réservation

Correction. a. $2x + 7$ b. $2(x+7)$ c. $2(L+3)$ d. $8{,}5n + 2$

Les expressions a et b se disent presque pareil et ne valent presque jamais la même chose : pour $x=1$, $9$ contre $16$. La position des guillemets, à l'oral, correspond exactement à la parenthèse à l'écrit.

Exercice 3 — Substitution

Calculer $B = 3x + 5$ et $C = 2x^2$ pour a. $x = 2$ · b. $x = 0$ · c. $x = 10$ · d. $x = 0{,}5$

Correction.

Exercice 4 — Somme ou produit ?

a. $7x - 2$ · b. $7(x-2)$ · c. $3x^2$ · d. $x^2 - 3x$

Correction. a. Somme (une différence) de termes $7x$ et $2$. b. Produit de facteurs $7$ et $(x-2)$. c. Produit de facteurs $3$ et $x^2$. d. Somme (une différence) de termes $x^2$ et $3x$.

Exercice 5 — Réduire

a. $4x + 7x$ · b. $9a - 2a + 5$ · c. $3x + 8 - x - 3$ · d. $2{,}5y + 1{,}5 + 0{,}5y$ · e. $6x + 4$

Correction. a. $11x$ b. $7a + 5$ c. $2x + 5$ d. $3y + 1{,}5$ e. Déjà réduite : $6x$ et $4$ ne sont pas semblables.

Contrôle rapide pour c avec $x = 1$ : l'expression de départ vaut $3+8-1-3 = 7$, et $2\times1+5 = 7$. Une valeur test ne prouve pas la réduction, mais elle attrape presque toutes les erreurs de signe.

Exercice 6 — Développer

a. $4(x+3)$ · b. $6(2y-5)$ · c. $x(x+7)$ · d. $2(3a+4) + 5$

Correction. a. $4x + 12$ b. $12y - 30$ c. $x^2 + 7x$ d. $6a + 8 + 5 = 6a + 13$

Exercice 7 — Factoriser

a. $5x + 15$ · b. $8a - 12$ · c. $x^2 + 3x$ · d. $14y + 21$

Correction. a. $5(x+3)$ b. $4(2a-3)$ c. $x(x+3)$ d. $7(2y+3)$

En b, on sort le plus grand facteur commun, $4$ : sortir $2$ donnerait $2(4a-6)$, exact mais incomplètement factorisé.

Exercice 8 — Un programme de calcul

Choisir un nombre · le multiplier par $5$ · ajouter $10$ · soustraire cinq fois le nombre de départ. a. Tester avec $3$, puis avec $7$. b. Conjecturer le résultat, puis le démontrer.

Correction. a. Avec $3$ : $15 + 10 - 15 = 10$. Avec $7$ : $35+10-35 = 10$. b. Conjecture : le résultat vaut toujours $10$. Démonstration : $5n + 10 - 5n = 10.$ Les termes en $n$ s'éliminent : le résultat est $10$ quel que soit le nombre choisi.

Exercice 9 — Vrai ou faux

Ces égalités sont-elles vraies pour tout nombre $x$ ? a. $2(x+5) = 2x+10$ · b. $2(x+5) = 2x+5$ · c. $x + x = x^2$ · d. $3x - x = 3$

Correction. a. Vraie : c'est exactement la distributivité, $2\times x + 2\times5$. b. Fausse : pour $x=0$, à gauche $10$, à droite $5$. Le facteur $2$ n'a pas été distribué au second terme. c. Fausse : pour $x=3$, à gauche $6$, à droite $9$. ($x+x = 2x$, pas $x^2$.) d. Fausse : pour $x=1$, à gauche $2$, à droite $3$. ($3x - x = 2x$.)

Les erreurs c et d viennent toutes deux d'un $x$ « oublié » : $x$ vaut $1x$, jamais $1$ tout court.

Exercice 10 — Une suite de motifs

On construit des rangées de points : $5$ points à l'étape $1$, $8$ à l'étape $2$, $11$ à l'étape $3$. a. Combien à l'étape $4$ ? à l'étape $10$ ? b. Donner une formule pour l'étape $n$, puis vérifier sur les trois premières.

Correction. a. On ajoute $3$ à chaque étape : étape $4$ → $14$ ; étape $10$ → $5 + 3\times9 = 32$. b. À l'étape $n$, on a ajouté $3$ un nombre $(n-1)$ de fois : $5 + 3(n-1) = 5 + 3n - 3 = 3n+2$. Vérification : $n=1 \to 5$ ✔, $n=2 \to 8$ ✔, $n=3 \to 11$ ✔, et $n=10 \to 32$ ✔.

Les deux écritures $5+3(n-1)$ et $3n+2$ sont égales — la première dit comment on a construit, la seconde est la forme réduite.

À retenir

Conventions : $3\times a = 3a$ ; $1\times a = a$ ; $a\times a = a^2$ ; le nombre s'écrit avant la lettre. Le $\times$ ne disparaît jamais entre deux nombres.

Substituer : on remplace la lettre par sa valeur en remettant le signe $\times$, puis on applique les priorités.

Somme ou produit : on regarde la dernière opération. On factorise une somme, on développe un produit.

Réduire : seuls les termes semblables s'additionnent. $5x+2x = 7x$, mais $7x+2$ ne se réduit pas.

$k(a+b) = ka+kb \qquad k(a-b) = ka-kb$ De gauche à droite on développe, de droite à gauche on factorise.

Démontrer : une lettre prouve la propriété pour tous les nombres à la fois. Réfuter : un seul contre-exemple suffit.

Chapitre suivant : mettre en équation et résoudre.

Le programme complet de cinquième

Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.

Nombres et calculs

1. Opérations, priorités et distributivité
2. Multiples, diviseurs et division euclidienne
3. Les nombres relatifs
4. Les fractions
5. Puissances : carrés et cubes
6. Le calcul littéral
7. Mettre en équation et résoudre

Proportionnalité, repérage et fonctions

1. La proportionnalité
2. Proportions et pourcentages
3. Repérage sur une droite et dans le plan
4. Dépendance de deux grandeurs

Organisation et gestion de données

1. Statistiques
2. Probabilités

Espace et géométrie

1. La symétrie centrale
2. Angles et droites parallèles
3. Le triangle
4. Les parallélogrammes
5. Solides, volumes et aire du disque

La pensée informatique

1. Algorithmique et programmation par blocs

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