Mathématiques — 5ème
Statistiques — Maths Cinquième (chapitre 12)
Série statistique, effectifs et effectif total, fréquences en fraction, décimal et pourcentage, diagramme en barres, diagramme circulaire, graphique…
Par ProfBot
Statistiques
Chapitre 12 — Organisation et gestion de données · Cinquième
Recueillir des données ne sert à rien si l'on ne sait pas les résumer et les représenter. Un tableau brut de $25$ réponses ne dit rien ; les mêmes réponses rangées par effectifs, converties en fréquences et dessinées en diagramme se lisent en trois secondes. Ce chapitre apprend ce passage — et aussi à se méfier des graphiques qui mentent tout en étant exacts.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Organisation et gestion de données et probabilités, thème Statistiques :
« Recueillir et organiser des données » ; « Calculer des effectifs et des fréquences (exprimées sous forme décimale, fractionnaire ou de pourcentage) » ; « Lire et interpréter des informations présentées sous forme de tableaux, de diagrammes et de graphiques » ; « Représenter des données sous la forme d'un tableau, d'un diagramme en barres, d'un diagramme circulaire ou d'un graphique cartésien » ; « Choisir une représentation adaptée à ce qu'il convient de mettre en avant » ; « Calculer et interpréter la moyenne simple d'une série de données ».
Le programme précise que ce travail « permet de développer leur esprit critique […] et de les mettre en garde sur des manipulations par des présentations trompeuses ».
Prolongement proposé : « Étude des diagrammes de Florence Nightingale ».
⚠️ En cinquième : la moyenne simple seulement. La moyenne pondérée, la médiane et l'étendue sont au programme de quatrième.
1. Effectifs et effectif total
Vocabulaire. Une série statistique est un ensemble de données recueillies sur une population (les individus observés) à propos d'un caractère (ce que l'on observe).
L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui la présentent. L'effectif total est le nombre d'individus de la population.
Exemple. On demande à $25$ élèves comment ils viennent au collège.
| moyen de transport | bus | à pied | vélo | voiture | total |
|---|---|---|---|---|---|
| effectif | $10$ | $8$ | $5$ | $2$ | $\mathbf{25}$ |
La somme des effectifs doit être égale à l'effectif total. $10+8+5+2 = 25$ ✔ C'est le premier contrôle à faire sur tout tableau statistique : il attrape immédiatement une donnée oubliée ou comptée deux fois.
2. Les fréquences
Définition. La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total :
$f = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}.$
Elle s'exprime en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage (chapitre 9).
| moyen | bus | à pied | vélo | voiture | total |
|---|---|---|---|---|---|
| effectif | $10$ | $8$ | $5$ | $2$ | $25$ |
| fréquence (fraction) | $\dfrac{10}{25}$ | $\dfrac{8}{25}$ | $\dfrac{5}{25}$ | $\dfrac{2}{25}$ | $1$ |
| fréquence (décimal) | $0{,}4$ | $0{,}32$ | $0{,}2$ | $0{,}08$ | $1$ |
| fréquence (%) | $40\,\%$ | $32\,\%$ | $20\,\%$ | $8\,\%$ | $100\,\%$ |
La somme des fréquences vaut toujours $1$, soit $100\,\%$. C'est le second contrôle, et il est indépendant du premier : il vérifie non pas le recueil, mais les divisions. $40+32+20+8 = 100$ ✔
À quoi sert une fréquence, puisqu'on a déjà l'effectif ? À comparer des populations de tailles différentes. Dans une classe de $25$ élèves, $10$ prennent le bus ; dans une autre de $30$, ils sont $11$. Les effectifs disent que la seconde classe en a plus ; les fréquences ($40\,\%$ contre $36{,}7\,\%$) disent l'inverse en proportion. C'est la fréquence qui répond à « lesquels prennent le plus le bus ? ».
3. Représenter les données
Le diagramme en barres. Une barre par valeur ; la hauteur est proportionnelle à l'effectif. Les barres sont séparées et de même largeur.
Le diagramme circulaire. Le disque entier représente l'effectif total, soit $360°$. L'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif : $\text{angle} = \text{fréquence} \times 360°.$
$\text{bus} : 0{,}4\times360 = 144°, \qquad \text{à pied} : 0{,}32\times360 = 115{,}2°,$ $\text{vélo} : 0{,}2\times360 = 72°, \qquad \text{voiture} : 0{,}08\times360 = 28{,}8°.$
La somme des angles doit faire $360°$. $144+115{,}2+72+28{,}8 = 360$ ✔ Troisième contrôle, et le plus utile : un diagramme circulaire dont les angles ne bouclent pas est visiblement faux.
Le graphique cartésien. Utile quand le caractère est un nombre qui évolue (une année, une heure, une température) : on place les points $(x\,;y)$ dans un repère, comme au chapitre 11.
Le tableur-grapheur construit ces trois diagrammes automatiquement. On saisit les valeurs dans deux colonnes, on les sélectionne, et l'on choisit le type de graphique. Le programme officiel demande d'y avoir recours « aussi fréquemment que possible » — mais c'est bien à vous de choisir le type de représentation : le logiciel, lui, accepte sans broncher un diagramme circulaire de données qui ne forment pas un tout.
Choisir la bonne représentation.
- Diagramme en barres : pour comparer des catégories entre elles.
- Diagramme circulaire : pour montrer la part de chacun dans un tout. Il n'a de sens que si les catégories forment une répartition complète.
- Graphique cartésien : pour montrer une évolution.
Représenter en diagramme circulaire des données qui ne se partagent pas un tout (par exemple les températures de quatre villes) n'a aucun sens, même si le dessin est joli.
4. La moyenne simple
Définition. La moyenne d'une série de données est le quotient de la somme des valeurs par leur nombre :
$\text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}.$
Exemple. Cinq notes : $12$ ; $15$ ; $8$ ; $14$ ; $11$. $\frac{12+15+8+14+11}{5} = \frac{60}{5} = 12.$
La moyenne, c'est la valeur qu'aurait chacun si l'on partageait tout équitablement. Si les cinq élèves mettaient leurs points en commun et les redistribuaient à parts égales, chacun aurait $12$. C'est aussi pour cela que la moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur : ici entre $8$ et $15$.
La moyenne n'est pas forcément une valeur de la série, ni un nombre « rond ». Avec les notes $10$ et $15$, la moyenne vaut $12{,}5$, que personne n'a obtenue. Et la moyenne de $1$, $1$ et $2$ vaut $\frac{4}{3} \approx 1{,}33$.
5. Se méfier des graphiques
Un club compte $120$, $124$, $127$ puis $130$ adhérents sur quatre ans. Les deux graphiques ci-dessus représentent exactement les mêmes nombres. Le premier, dont l'axe vertical commence à $118$, donne l'impression d'une explosion ; le second, qui part de $0$, montre une progression modeste — un peu plus de $8\,\%$ en trois ans.
Aucun des deux n'est faux : c'est le choix de l'échelle qui oriente la lecture. Les réflexes à prendre : regarder où commence l'axe vertical, vérifier que les graduations sont régulières, et se demander si les largeurs ou les surfaces sont proportionnelles à ce qu'elles représentent. Un graphique se lit d'abord par ses axes, pas par sa forme.
Florence Nightingale
En 1858, l'infirmière britannique Florence Nightingale publie un diagramme circulaire d'un genre nouveau pour montrer les causes de décès des soldats pendant la guerre de Crimée. Il révélait que les morts par maladies évitables dépassaient de très loin les morts au combat. Ce diagramme a convaincu le gouvernement de réformer l'hygiène des hôpitaux militaires — l'un des premiers cas où une représentation graphique a changé une politique publique.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Effectifs et fréquences
On relève la couleur des yeux de $40$ élèves : marron $22$, bleu $10$, vert $8$. a. Vérifier l'effectif total. b. Calculer les fréquences en fraction simplifiée, en décimal et en pourcentage.
Correction. a. $22+10+8 = 40$ ✔ b.
| couleur | marron | bleu | vert | total |
|---|---|---|---|---|
| effectif | $22$ | $10$ | $8$ | $40$ |
| fraction | $\dfrac{11}{20}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{1}{5}$ | $1$ |
| décimal | $0{,}55$ | $0{,}25$ | $0{,}2$ | $1$ |
| pourcentage | $55\,\%$ | $25\,\%$ | $20\,\%$ | $100\,\%$ |
Contrôle : $55+25+20 = 100$ ✔
Exercice 2 — Angles d'un diagramme circulaire
Reprendre l'exercice 1 et calculer l'angle de chaque secteur.
Correction. $\text{marron} : 0{,}55\times360 = 198°, \quad \text{bleu} : 0{,}25\times360 = 90°, \quad \text{vert} : 0{,}2\times360 = 72°.$ Contrôle : $198+90+72 = 360$ ✔
Le secteur « bleu » fait exactement un quart de disque, ce qui est cohérent avec sa fréquence $\frac{1}{4}$.
Exercice 3 — Effectif manquant
Un sondage porte sur $200$ personnes. On sait que $35\,\%$ préfèrent le thé, $50\,\%$ le café, et le reste ni l'un ni l'autre. a. Quel pourcentage pour « ni l'un ni l'autre » ? b. Combien de personnes dans chaque catégorie ?
Correction. a. $100 - 35 - 50 = 15\,\%$. b. Thé : $\dfrac{35}{100}\times200 = 70$ · Café : $\dfrac{50}{100}\times200 = 100$ · Ni l'un ni l'autre : $\dfrac{15}{100}\times200 = 30$. Contrôle : $70+100+30 = 200$ ✔
Exercice 4 — Moyennes
Calculer la moyenne de : a. $7$ ; $9$ ; $11$ · b. $4$ ; $4$ ; $4$ ; $4$ · c. $2$ ; $18$ · d. $12{,}5$ ; $9$ ; $16{,}5$ ; $10$
Correction. a. $\dfrac{27}{3} = 9$ b. $\dfrac{16}{4} = 4$ c. $\dfrac{20}{2} = 10$ d. $\dfrac{48}{4} = 12$
En b, toutes les valeurs étant égales, la moyenne leur est égale. En c, la moyenne $10$ n'est aucune des deux valeurs, et se trouve exactement à mi-chemin.
Exercice 5 — Une note manquante
Léa a obtenu $13$, $9$ et $15$ à trois devoirs. Elle veut une moyenne de $13$ sur les quatre devoirs. Quelle note doit-elle obtenir au quatrième ?
Correction. Pour une moyenne de $13$ sur $4$ devoirs, la somme des notes doit valoir $13\times4 = 52$. Elle a déjà $13+9+15 = 37$. Il lui faut donc $52 - 37 = \mathbf{15}$.
Vérification : $\dfrac{13+9+15+15}{4} = \dfrac{52}{4} = 13$ ✔ Le passage par la somme est la clé de tous les problèmes de moyenne à trou.
Exercice 6 — Comparer deux classes
Classe A : $30$ élèves, dont $18$ font de l'espagnol. Classe B : $24$ élèves, dont $15$ font de l'espagnol. Dans quelle classe la proportion d'hispanisants est-elle la plus forte ?
Correction. Classe A : $\dfrac{18}{30} = 0{,}6 = 60\,\%$. Classe B : $\dfrac{15}{24} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%$. La classe B, bien qu'elle compte moins d'hispanisants en nombre.
C'est exactement ce à quoi servent les fréquences : $18 > 15$, mais $60\,\% < 62{,}5\,\%$. Comparer des effectifs bruts entre populations de tailles différentes n'a pas de sens.
Exercice 7 — Choisir la représentation
Quelle représentation choisir dans chaque cas ? a. La répartition du budget d'une commune entre cinq postes. b. L'évolution de la population d'une ville de 1950 à 2020. c. Le nombre de médailles remportées par six pays.
Correction. a. Diagramme circulaire : les cinq postes se partagent un tout. b. Graphique cartésien : c'est une évolution dans le temps. c. Diagramme en barres : on compare des catégories sans qu'elles forment un tout.
Exercice 8 — Esprit critique
Un journal titre : « Les inscriptions au club explosent ! » et publie un graphique où la courbe part du bas à gauche et atteint le haut à droite. Les chiffres sont : $120$, $124$, $127$, $130$ adhérents. a. Calculer l'augmentation totale, en nombre puis en pourcentage. b. Le titre est-il justifié ?
Correction. a. $130 - 120 = 10$ adhérents, soit $\dfrac{10}{120}\times100 \approx 8{,}3\,\%$ en trois ans. b. Non : une hausse de $8{,}3\,\%$ en trois ans n'est pas une explosion. L'impression vient uniquement du choix de l'axe vertical, qui ne part pas de zéro.
Le graphique n'est pas mensonger au sens strict — les points sont exacts. C'est la lecture qu'il induit qui est trompeuse, et c'est pour cela qu'il faut toujours regarder les axes avant la forme.
À retenir
Effectif = nombre d'individus d'une valeur ; effectif total = taille de la population. La somme des effectifs vaut l'effectif total.
$f = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ En fraction, en décimal ou en pourcentage. La somme des fréquences vaut $1$, soit $100\,\%$. La fréquence est ce qui permet de comparer des populations de tailles différentes.
$\text{angle du secteur} = \text{fréquence} \times 360°$ La somme des angles vaut $360°$.
$\text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$ Elle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur, et n'appartient pas forcément à la série.
Choisir : barres pour comparer · circulaire pour une part d'un tout · cartésien pour une évolution.
Lire les axes avant la forme : un axe vertical qui ne part pas de zéro exagère toutes les variations.
Chapitre suivant : les probabilités.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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