Mathématiques — 5ème
Angles et droites parallèles — Maths Cinquième (chapitre 15)
Vocabulaire des angles, angles adjacents, supplémentaires et opposés par le sommet, angles alternes-internes et correspondants, caractérisation du…
Par ProfBot
Angles et droites parallèles
Chapitre 15 — Espace et géométrie · Cinquième
Comment prouver que deux droites sont parallèles ? Les prolonger et constater qu'elles ne se coupent pas ne prouve rien : elles pourraient se couper plus loin, hors de la feuille. Il faut un critère local, vérifiable sur un dessin de dix centimètres — et ce critère est fourni par les angles.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Espace et géométrie, thème Angles :
automatismes — « Reconnaitre et citer sur une configuration géométrique des angles : angle plein, plat, nul, droit ; angles opposés par le sommet, adjacents, supplémentaires, aigus, obtus » ; « Savoir qu'un angle droit mesure $90°$, qu'un angle plat mesure $180°$ » ; « Reconnaitre une bissectrice » ; « Connaitre les mesures des angles de l'équerre ($30$-$60$-$90$ ou $45$-$45$-$90$) ».
Objectif d'apprentissage — « Caractériser le parallélisme par les angles : angles alternes-internes, angles correspondants ».
Prolongement proposé : « Éléments d'Euclide (Livre I, proposition 27 ou 28) ».
1. Le vocabulaire des angles
| nom | mesure |
|---|---|
| angle nul | $0°$ |
| angle aigu | entre $0°$ et $90°$ |
| angle droit | $90°$ |
| angle obtus | entre $90°$ et $180°$ |
| angle plat | $180°$ |
| angle plein | $360°$ |
Un angle se note avec trois lettres, le sommet AU MILIEU. $\widehat{ABC}$ désigne l'angle de sommet $B$, formé par les demi-droites $[BA)$ et $[BC)$. Écrire $\widehat{BAC}$ désigne un autre angle — celui de sommet $A$. C'est la lettre du milieu qui commande.
La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet qui le partage en deux angles égaux.
2. Angles adjacents, supplémentaires, opposés par le sommet
Définitions.
- Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun, et sont situés de part et d'autre de ce côté.
- Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut $180°$. (Complémentaires : somme $90°$.)
- Deux angles sont opposés par le sommet lorsque leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
Propriété. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Pourquoi ? Sur la figure, $\widehat{1}$ et $\widehat{2}$ sont adjacents et forment un angle plat : $\widehat{1} + \widehat{2} = 180°$. De même $\widehat{2} + \widehat{3} = 180°$. Les deux égalités donnent $\widehat{1} = 180° - \widehat{2} = \widehat{3}$.
C'est une démonstration, pas une constatation. Elle ne mesure aucun angle : elle enchaîne deux égalités valables quelle que soit la figure. C'est exactement l'esprit de la géométrie de cinquième — « à ce stade de l'apprentissage, la mesure ne constitue plus un élément de preuve », dit le programme.
3. Deux droites coupées par une sécante
Lorsqu'une droite $(s)$, appelée sécante, coupe deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$, elle forme huit angles. Certaines paires portent un nom.
Définitions.
- Deux angles sont alternes-internes lorsqu'ils sont situés entre les deux droites (internes) et de part et d'autre de la sécante (alternes).
- Deux angles sont correspondants lorsqu'ils sont situés du même côté de la sécante, l'un entre les deux droites, l'autre à l'extérieur — et du même côté de leur droite respective.
Le repérage se fait en deux questions, toujours les mêmes. De quel côté de la sécante ? et à l'intérieur ou à l'extérieur de la bande ? Deux angles de part et d'autre et tous deux intérieurs : alternes-internes. Du même côté, l'un intérieur l'autre extérieur : correspondants. Un dessin en Z fait apparaître les alternes-internes, un dessin en F les correspondants.
4. La caractérisation du parallélisme
Propriété (sens direct). Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :
- les angles alternes-internes ont la même mesure ;
- les angles correspondants ont la même mesure.
Propriété réciproque. Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure — ou des angles correspondants de même mesure — alors ces deux droites sont parallèles.
Les deux énoncés se ressemblent, mais ils ne servent pas à la même chose.
| ce que je sais | ce que j'en déduis | énoncé utilisé |
|---|---|---|
| les droites sont parallèles | les angles sont égaux | sens direct |
| les angles sont égaux | les droites sont parallèles | réciproque |
Choisir le bon sens est la moitié du travail. Une démonstration commence toujours par la question : « qu'est-ce qui est donné dans l'énoncé ? ». Si c'est le parallélisme, on calcule des angles ; si ce sont des angles, on conclut au parallélisme. Utiliser le mauvais sens revient à supposer ce qu'on cherche à démontrer.
Deux exemples rédigés
Calculer un angle. $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, coupées par la sécante $(s)$. Un des angles mesure $58°$. Que vaut l'angle alterne-interne correspondant ?
Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles et coupées par la sécante $(s)$. Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ont la même mesure. Donc l'angle cherché mesure $58°$.
Prouver un parallélisme. Deux droites sont coupées par une sécante ; deux angles correspondants mesurent chacun $72°$. Ces droites sont-elles parallèles ?
Les deux angles correspondants ont la même mesure, $72°$. Or, si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure, alors elles sont parallèles. Donc ces deux droites sont parallèles.
La rédaction suit toujours trois temps : ce que je sais · la propriété · ce que j'en conclus. Les mots « or » et « donc » ne sont pas décoratifs : ils marquent le passage du cas particulier à la règle générale, puis le retour au cas particulier. C'est le squelette de toute démonstration de géométrie.
5. Euclide, il y a vingt-trois siècles
Cette propriété n'est pas récente : elle figure dans les Éléments d'Euclide, écrits vers $-300$. La proposition 27 du Livre I énonce que si une droite coupant deux droites forme des angles alternes égaux, alors ces droites sont parallèles — c'est exactement notre réciproque. La proposition 28 en donne la variante avec les angles correspondants.
Les Éléments ont été le manuel de géométrie de référence pendant plus de deux mille ans. Ce que vous démontrez en cinquième a la même forme, et la même valeur, que ce qu'on démontrait à Alexandrie.
Cette propriété est l'outil de la démonstration la plus célèbre du programme : celle de la somme des angles d'un triangle, au chapitre 16. C'est la raison pour laquelle les angles sont étudiés avant les triangles.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Nommer
Classer ces angles : $0°$ ; $47°$ ; $90°$ ; $118°$ ; $180°$ ; $360°$ ; $89{,}5°$ ; $90{,}5°$.
Correction. Nul : $0°$ · Aigus : $47°$ ; $89{,}5°$ · Droit : $90°$ · Obtus : $118°$ ; $90{,}5°$ · Plat : $180°$ · Plein : $360°$.
$89{,}5°$ et $90{,}5°$ sont visuellement indiscernables et pourtant de natures différentes : c'est la raison pour laquelle un angle droit se code sur une figure au lieu de se juger à l'œil.
Exercice 2 — Supplémentaires et complémentaires
a. Quel angle est supplémentaire de $63°$ ? b. Quel angle est complémentaire de $63°$ ? c. Un angle est supplémentaire de son opposé par le sommet. Est-ce possible ?
Correction. a. $180 - 63 = 117°$. b. $90 - 63 = 27°$. c. Deux angles opposés par le sommet sont égaux. S'ils sont aussi supplémentaires, chacun vaut $180 \div 2 = 90°$ : c'est possible uniquement si les deux droites sont perpendiculaires.
Exercice 3 — Opposés par le sommet
Deux droites sécantes forment un angle de $126°$. Donner la mesure des trois autres angles.
Correction. L'angle opposé par le sommet mesure aussi $\mathbf{126°}$. Les deux autres lui sont supplémentaires : $180 - 126 = \mathbf{54°}$ chacun. Contrôle : $126+54+126+54 = 360°$ ✔ — les quatre angles forment un angle plein.
Exercice 4 — Reconnaître les paires
Sur la figure du paragraphe 3, les huit angles sont numérotés de $1$ à $8$, les angles $3$, $4$, $5$, $6$ étant les angles intérieurs. a. Citer une paire d'angles alternes-internes. b. Citer une paire d'angles correspondants.
Correction. a. $\widehat{3}$ et $\widehat{6}$ (ou $\widehat{4}$ et $\widehat{5}$) : tous deux intérieurs, de part et d'autre de la sécante. b. $\widehat{2}$ et $\widehat{6}$ (ou $\widehat{1}$ et $\widehat{5}$) : du même côté de la sécante, l'un extérieur, l'autre intérieur.
Exercice 5 — Calculer
$(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, coupées par une sécante. Un angle intérieur mesure $37°$. a. Que vaut son alterne-interne ? b. Que vaut l'angle correspondant à cet alterne-interne ? c. Que vaut l'angle intérieur situé du même côté de la sécante que l'angle de $37°$, sur l'autre droite ?
Correction. a. $\mathbf{37°}$ (droites parallèles, angles alternes-internes). b. $\mathbf{37°}$ également (angles correspondants). c. Cet angle est supplémentaire de l'alterne-interne de $37°$, car ils sont adjacents et forment un angle plat : $180 - 37 = \mathbf{143°}$.
Les huit angles ne prennent donc que deux valeurs : $37°$ et $143°$, dont la somme vaut $180°$. C'est toujours le cas dès que les droites sont parallèles.
Exercice 6 — Démontrer un parallélisme
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont coupées par la sécante $(EF)$. On mesure deux angles alternes-internes : $64°$ et $64°$. Rédiger la démonstration prouvant que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Correction.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont coupées par la sécante $(EF)$, et les angles alternes-internes ainsi formés mesurent tous deux $64°$ : ils sont donc égaux.
Or, si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Donc $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Exercice 7 — Un contre-exemple
Deux droites sont coupées par une sécante. Deux angles alternes-internes mesurent $59°$ et $61°$. Que peut-on conclure ?
Correction. Ils ne sont pas égaux, donc les droites ne sont pas parallèles. Elles se coupent quelque part — sans doute très loin, puisque l'écart n'est que de $2°$.
C'est précisément l'intérêt du critère : sans lui, un écart de $2°$ serait invisible sur un dessin, et les deux droites paraîtraient parallèles sur toute la largeur de la feuille.
Exercice 8 — Une équerre
Un élève place son équerre $45$-$45$-$90$ contre une règle et trace une droite le long de l'un des petits côtés, puis fait glisser l'équerre le long de la règle et trace une seconde droite. Pourquoi les deux droites obtenues sont-elles parallèles ?
Correction. La règle joue le rôle de la sécante. À chaque position, l'équerre forme avec la règle un angle de $45°$ du même côté : les deux angles ainsi formés sont correspondants et égaux. Donc les deux droites sont parallèles.
C'est la justification mathématique d'un geste que tout le monde fait sans y penser — et elle utilise la réciproque, puisque ce sont les angles qui sont donnés.
À retenir
Nommer un angle : $\widehat{ABC}$, sommet au milieu.
Opposés par le sommet → égaux. Cela se démontre par deux angles plats successifs.
Supplémentaires : somme $180°$. Complémentaires : somme $90°$.
Alternes-internes : entre les droites, de part et d'autre de la sécante (figure en Z). Correspondants : du même côté de la sécante, l'un dedans, l'autre dehors (figure en F).
Sens direct : droites parallèles $\Rightarrow$ angles alternes-internes (ou correspondants) égaux.
Réciproque : angles alternes-internes (ou correspondants) égaux $\Rightarrow$ droites parallèles.
Rédiger en trois temps : ce que je sais · Or la propriété · Donc ce que je conclus.
Chapitre suivant : le triangle.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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