Mathématiques — 5ème

Mettre en équation et résoudre — Maths Cinquième (chapitre 7)

La lettre comme inconnue, équation et solution, tester une valeur, résoudre x + b = c et ax = c par les opérations inverses, mettre un problème en équation…

Par ProfBot

Mettre en équation et résoudre

Chapitre 7 — Nombres et calculs · Cinquième

Au chapitre 6, la lettre était une variable : elle prenait toutes les valeurs, et la formule marchait pour chacune. Ici, elle change de rôle : elle devient une inconnue. Une seule valeur convient, et tout le travail consiste à la retrouver.

Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Nombres et calculs, thème Calcul littéral et algébrique :

« Donner à la lettre le statut d'inconnue » ; « Modéliser des problèmes relevant des opérations à trous par des équations du type $ax = c$ ou $x + b = c$ » ; « Résoudre des équations du type $ax = c$ ou $x + b = c$ par des méthodes arithmétiques s'appuyant sur les opérations inverses ».

Prolongement proposé par le programme : « Lien avec Al Khwarizmi, pour qui la résolution des problèmes fait appel à la "chose" qu'on cherche » ; « spécificité de la résolution des équations du type $x+b=c$ ("Al-jabr") et du type $ax=c$ ("Al-hatt") ».

⚠️ En cinquième, on résout uniquement $x+b=c$ et $ax=c$, et par opérations inverses. Les équations où l'inconnue figure des deux côtés, et la méthode consistant à effectuer la même opération sur les deux membres, sont au programme de quatrième.

1. Variable ou inconnue ?

La même lettre peut jouer deux rôles complètement différents.

Définition. Une équation est une égalité contenant une lettre dont on cherche la valeur. Une solution de l'équation est une valeur de la lettre qui rend l'égalité vraie.

2. Tester une valeur

Avant de chercher, on peut toujours vérifier. Tester une valeur, c'est la substituer et regarder si l'égalité tient.

L'équation $3x + 1 = 16$.

• Pour $x = 4$ : $3\times4+1 = 13$. Or $13 \neq 16$ : $4$ n'est pas solution.
• Pour $x = 5$ : $3\times5+1 = 16$. Égalité vraie : $5$ est solution.

Tester, c'est aussi le seul contrôle vraiment fiable en fin de résolution. Une résolution se relit mal ; une vérification, elle, tranche. Elle coûte une ligne et attrape à peu près toutes les erreurs.

3. Résoudre $x + b = c$ : l'opération inverse

L'équation $x + 5 = 12$ dit : « à quel nombre faut-il ajouter $5$ pour obtenir $12$ ? » C'est une opération à trou, et on la remplit en faisant l'opération inverse : ajouter $5$ se défait en enlevant $5$.

$x + 5 = 12 \quad\Longrightarrow\quad x = 12 - 5 = 7.$

Vérification. $7 + 5 = 12$ ✔ La solution est $7$.

Règle. L'équation $x + b = c$ a pour unique solution $x = c - b$. L'équation $x - b = c$ a pour unique solution $x = c + b$.

$x + 8 = 3 \;\Longrightarrow\; x = 3 - 8 = -5, \qquad x - 6 = 10 \;\Longrightarrow\; x = 10+6 = 16.$

Une solution peut être négative, décimale, ou les deux. $x + 8 = 3$ donne $x = -5$ : c'est une réponse parfaitement valable — et c'est précisément pour cela que les nombres relatifs du chapitre 3 étaient nécessaires.

4. Résoudre $ax = c$ : l'autre opération inverse

L'équation $4x = 28$ dit : « quel nombre, multiplié par $4$, donne $28$ ? » Multiplier par $4$ se défait en divisant par $4$.

$4x = 28 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{28}{4} = 7.$

Vérification. $4\times7 = 28$ ✔

Règle. Pour $a \neq 0$, l'équation $ax = c$ a pour unique solution $x = \dfrac{c}{a}$.

$5x = 12 \;\Longrightarrow\; x = \frac{12}{5} = 2{,}4, \qquad 0{,}5x = 9 \;\Longrightarrow\; x = \frac{9}{0{,}5} = 18.$

La solution n'a aucune raison d'être entière. $5x = 12$ a pour solution $\frac{12}{5}$, qu'on peut écrire $2{,}4$. Si la division ne tombe pas juste, on garde l'écriture fractionnaire : c'est elle qui est exacte (chapitre 4).

Attention à ne pas confondre les deux formes. $x + 4 = 20 \;\Longrightarrow\; x = 20 - 4 = 16 \qquad\text{mais}\qquad 4x = 20 \;\Longrightarrow\; x = 20 \div 4 = 5.$

5. Mettre un problème en équation

Méthode en quatre étapes.

1. Choisir l'inconnue et l'écrire en toutes lettres : « soit $x$ le nombre de… ».

2. Traduire l'énoncé par une équation.

3. Résoudre l'équation.

4. Revenir au problème : répondre par une phrase, et vérifier que la réponse est plausible.

Un exemple complet. Un abonnement coûte $12$ € par mois. Léa a dépensé $84$ € en tout. Combien de mois a-t-elle payés ?

1. Soit $x$ le nombre de mois payés.
2. La dépense totale est $12x$, et elle vaut $84$ : $\;12x = 84$.
3. $x = \dfrac{84}{12} = 7$.
4. Léa a payé $7$ mois. Vérification : $12\times7 = 84$ € ✔ — et $7$ mois est bien un nombre plausible.

L'étape 1 n'est pas une formalité. « Soit $x$ » ne veut rien dire ; « soit $x$ le nombre de mois » fixe l'unité et le sens. C'est aussi ce qui permet, à l'étape 4, de repérer une réponse absurde : un nombre de mois négatif ou décimal signalerait une erreur.

6. Une histoire vieille de douze siècles

Vers $820$, à Bagdad, le savant Al-Khwarizmi écrit un traité consacré à la résolution des problèmes par « la chose » (al-šayʾ) — ce que nous appelons aujourd'hui l'inconnue. Il y distingue deux opérations fondamentales, dont les noms nous sont restés :

• al-jabr, « la restauration » : faire passer une quantité de l'autre côté — exactement ce que l'on fait pour $x + b = c$ ;
• al-hatt, « la réduction » : ramener le coefficient de la chose à $1$ — exactement ce que l'on fait pour $ax = c$.

Le mot algèbre vient directement d'*al-jabr*, et le mot algorithme de la latinisation du nom d'Al-Khwarizmi. Les deux types d'équations au programme de cinquième sont, très précisément, les deux cas qu'il avait isolés.

7. Exercices corrigés

Exercice 1 — Tester

$5$ est-il solution de : a. $x + 7 = 12$ · b. $3x = 18$ · c. $2x + 1 = 11$ · d. $x - 5 = 5$

Correction. a. $5+7 = 12$ ✔ oui b. $3\times5 = 15 \neq 18$ non c. $2\times5+1 = 11$ ✔ oui d. $5-5 = 0 \neq 5$ non

Exercice 2 — Résoudre $x + b = c$

a. $x + 9 = 23$ · b. $x - 4 = 11$ · c. $x + 15 = 8$ · d. $x + 2{,}5 = 7$

Correction. a. $x = 23-9 = 14$ · b. $x = 11+4 = 15$ · c. $x = 8-15 = -7$ · d. $x = 7-2{,}5 = 4{,}5$

Vérifications : $14+9 = 23$ ✔ ; $15-4 = 11$ ✔ ; $-7+15 = 8$ ✔ ; $4{,}5+2{,}5 = 7$ ✔

Exercice 3 — Résoudre $ax = c$

a. $6x = 42$ · b. $9x = 63$ · c. $4x = 10$ · d. $0{,}2x = 3$

Correction. a. $x = \dfrac{42}{6} = 7$ · b. $x = \dfrac{63}{9} = 7$ · c. $x = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ · d. $x = \dfrac{3}{0{,}2} = 15$

Pour d, on se ramène à un diviseur entier comme au chapitre 1 : $\dfrac{3}{0{,}2} = \dfrac{30}{2} = 15$.

Exercice 4 — Ne pas confondre

Résoudre : a. $x + 6 = 24$ · b. $6x = 24$ · c. $x - 6 = 24$ · d. $x + 24 = 6$

Correction. a. $x = 18$ · b. $x = 4$ · c. $x = 30$ · d. $x = -18$

Quatre équations avec les mêmes deux nombres, quatre solutions différentes. Ce qui décide, c'est l'opération qui relie l'inconnue au nombre — et l'inverse de cette opération.

Exercice 5 — Un problème de longueurs

Un rectangle a un périmètre de $34$ cm et une largeur de $6$ cm. a. Quelle est la somme de sa longueur et de sa largeur ? b. En déduire sa longueur, par une équation.

Correction. a. Le périmètre vaut $2(L+\ell)$, donc $L + \ell = \dfrac{34}{2} = 17$ cm. b. Soit $L$ la longueur en cm. L'équation est $L + 6 = 17$, d'où $L = 17 - 6 = \mathbf{11}$ cm.

Vérification : $2\times(11+6) = 2\times17 = 34$ cm ✔

Exercice 6 — Un problème de partage

Trois amis se partagent équitablement une somme. Chacun reçoit $27$ €. a. Poser une équation avec $S$, la somme totale. b. Résoudre et conclure.

Correction. a. Soit $S$ la somme totale en euros. Chacun reçoit $\dfrac{S}{3}$, donc $\dfrac{S}{3} = 27$, ce qui s'écrit aussi $S \div 3 = 27$. b. L'opération inverse de « diviser par $3$ » est « multiplier par $3$ » : $S = 27 \times 3 = \mathbf{81}$ €.

Vérification : $81 \div 3 = 27$ € par personne ✔

Exercice 7 — Un problème de température

À $8$ h, il fait $-3$ °C. À midi, il fait $9$ °C. Poser une équation puis calculer la hausse $h$ de température.

Correction. Soit $h$ la hausse en degrés. On a $-3 + h = 9$, donc $h = 9 - (-3) = 9 + 3 = \mathbf{12}$ degrés.

Vérification : $-3 + 12 = 9$ ✔ Comme au chapitre 3, l'écart se calcule par « arrivée moins départ ».

Exercice 8 — Un problème d'âge

Marie a $35$ ans de moins que son père. Son père a $47$ ans. a. Poser une équation et trouver l'âge de Marie. b. Dans combien d'années Marie aura-t-elle $20$ ans ? c. Un élève répond « $82$ ans » à la question a. Sans refaire le calcul, expliquer pourquoi c'est faux.

Correction. a. Soit $m$ l'âge de Marie en années. Son père a $35$ ans de plus qu'elle : $m + 35 = 47$, donc $m = 47 - 35 = \mathbf{12}$ ans. b. Soit $n$ le nombre d'années à attendre. On a $12 + n = 20$, donc $n = 20 - 12 = \mathbf{8}$ ans. c. Marie a $35$ ans de moins que son père : son âge doit être inférieur à $47$. Or $82 > 47$. L'élève a ajouté au lieu de soustraire.

La question c est l'étape 4 de la méthode, et rien d'autre : on confronte la réponse au bon sens avant de la valider. Ce réflexe attrape la plupart des erreurs de signe et d'opération, sans avoir à relire la résolution.

À retenir

Une inconnue a une valeur précise à trouver ; une variable les prend toutes. Une solution est une valeur qui rend l'égalité vraie.

$x + b = c \;\Longrightarrow\; x = c - b \qquad\qquad x - b = c \;\Longrightarrow\; x = c + b$

$ax = c \;\Longrightarrow\; x = \frac{c}{a} \quad (a \neq 0)$

On défait chaque opération par son inverse : l'addition par la soustraction, la multiplication par la division.

Mettre en équation : 1. choisir l'inconnue en toutes lettres · 2. traduire · 3. résoudre · 4. répondre par une phrase et vérifier.

Toujours vérifier en substituant la solution dans l'équation de départ.

Chapitre suivant : la proportionnalité.

Le programme complet de cinquième

Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.

Nombres et calculs

1. Opérations, priorités et distributivité
2. Multiples, diviseurs et division euclidienne
3. Les nombres relatifs
4. Les fractions
5. Puissances : carrés et cubes
6. Le calcul littéral
7. Mettre en équation et résoudre

Proportionnalité, repérage et fonctions

1. La proportionnalité
2. Proportions et pourcentages
3. Repérage sur une droite et dans le plan
4. Dépendance de deux grandeurs

Organisation et gestion de données

1. Statistiques
2. Probabilités

Espace et géométrie

1. La symétrie centrale
2. Angles et droites parallèles
3. Le triangle
4. Les parallélogrammes
5. Solides, volumes et aire du disque

La pensée informatique

1. Algorithmique et programmation par blocs

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