Mathématiques — 5ème
Dépendance de deux grandeurs — Maths Cinquième (chapitre 11)
L'expression « en fonction de », formule, tableau de valeurs et graphique, produire un tableau à partir d'une formule, placer des points dans un repère,…
Par ProfBot
Dépendance de deux grandeurs
Chapitre 11 — Proportionnalité, repérage et fonctions · Cinquième
Le périmètre d'un carré dépend de son côté. La température dépend de l'heure. Le prix dépend de la quantité. Dans chacun de ces cas, une grandeur en détermine une autre — et cette dépendance peut se dire de trois façons : par une formule, par un tableau de valeurs, par un graphique. Ce chapitre apprend à passer de l'une à l'autre.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Proportionnalité, fonctions, thème Fonctions :
« Introduire l'expression : "en fonction de" dans des contextes concrets ou mathématiques » ; « Produire un tableau de valeurs » ; « Lire et interpréter un tableau de valeurs » ; « Placer dans un repère orthogonal donné des points correspondant à un tableau de valeurs » ; « Lire et interpréter un graphique cartésien donné par une courbe ou un nuage de points » ; « Traduire la relation de dépendance entre deux grandeurs par un tableau de valeurs à partir d'une formule » ; « Produire une formule simple représentant la dépendance de deux grandeurs » ; « Caractériser graphiquement la proportionnalité ».
⚠️ Le programme précise : « Des exemples de fonctions sont étudiés en troisième, sans étude générale de la notion de fonction. » En cinquième, on ne dit pas « fonction » et on n'écrit pas $f(x)$ : on dit « en fonction de », et l'on travaille sur des formules, des tableaux et des graphiques.
1. « En fonction de »
Vocabulaire. Dire qu'une grandeur $B$ s'exprime en fonction de la grandeur $A$, c'est dire que la valeur de $A$ détermine celle de $B$ : à chaque valeur de $A$ correspond une valeur de $B$, et une seule.
- Le périmètre d'un carré s'exprime en fonction de son côté.
- La distance parcourue s'exprime en fonction de la durée, à vitesse constante.
- Le prix d'un plein d'essence s'exprime en fonction du volume acheté.
L'ordre des deux grandeurs n'est pas symétrique. « Le périmètre en fonction du côté » et « le côté en fonction du périmètre » sont deux dépendances différentes, même si les deux existent ici. La grandeur qui vient après « en fonction de » est celle qu'on choisit ; l'autre en découle. C'est elle qu'on placera en abscisse sur le graphique.
2. Trois façons de dire la même chose
Prenons le périmètre $P$ d'un carré en fonction de son côté $c$.
La formule. $\;P = 4c$. Elle est exacte et vaut pour toutes les valeurs de $c$, y compris celles qu'on n'écrira jamais.
Le tableau de valeurs. On choisit quelques valeurs de $c$ et l'on calcule les $P$ correspondants.
| côté $c$ (cm) | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| périmètre $P$ (cm) | $0$ | $4$ | $8$ | $12$ | $16$ | $20$ |
Le graphique. Chaque colonne du tableau donne un point $(c\,;P)$ à placer dans un repère : $(0\,;0)$, $(1\,;4)$, $(2\,;8)$…
La grandeur choisie va en abscisse, celle qui en dépend va en ordonnée. Ici, le côté en horizontal et le périmètre en vertical. Inverser les deux axes donne un graphique différent, et une lecture différente.
3. De la formule au tableau, du tableau au graphique
Méthode. Pour produire un tableau à partir d'une formule, on substitue (chapitre 6) chaque valeur choisie : $c = 3 \;\longrightarrow\; P = 4\times3 = 12.$
Méthode. Pour placer les points, on lit chaque colonne comme un couple de coordonnées (chapitre 10), abscisse d'abord.
Un tableau ne remplace pas une formule. Il ne donne qu'un échantillon de valeurs, choisi par celui qui le construit. Deux dépendances complètement différentes peuvent coïncider sur les six valeurs d'un tableau et diverger partout ailleurs. La formule, elle, ne laisse aucun trou.
4. Caractériser graphiquement la proportionnalité
Un même objet, deux dépendances, deux allures.
| formule | tableau (pour $c = 0, 1, 2, 3, 4, 5$) | graphique | |
|---|---|---|---|
| périmètre | $P = 4c$ | $0$ · $4$ · $8$ · $12$ · $16$ · $20$ | points alignés, droite passant par l'origine |
| aire | $\mathcal{A} = c^2$ | $0$ · $1$ · $4$ · $9$ · $16$ · $25$ | points non alignés, courbe qui monte de plus en plus vite |
Propriété (chapitre 8, vue graphiquement). Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si les points sont alignés et que la droite passe par l'origine.
Le périmètre est donc proportionnel au côté ; l'aire ne l'est pas. Le tableau le confirmait déjà : $\frac{4}{1} = 4$, $\frac{8}{2} = 4$… pour le périmètre, mais $\frac{1}{1} = 1$ et $\frac{4}{2} = 2$ pour l'aire.
5. Lire et interpréter un graphique
Un graphique se lit dans les deux sens.
On connaît l'abscisse, on cherche l'ordonnée. « Quelle température à $10$ h ? » On monte verticalement depuis $10$ sur l'axe horizontal jusqu'à la courbe, puis on lit horizontalement : $12$ °C.
On connaît l'ordonnée, on cherche l'abscisse. « À quelle heure faisait-il $0$ °C ? » On part de $0$ sur l'axe vertical, on va horizontalement jusqu'à la courbe, on descend : à $7$ h. Il peut y avoir plusieurs réponses — ou aucune.
On décrit l'allure. La courbe monte de $6$ h à $15$ h : la température augmente. Elle redescend ensuite. Le point le plus haut donne le maximum ($18$ °C à $15$ h), le point le plus bas le minimum ($-2$ °C à $6$ h).
Une courbe continue autorise la lecture entre les points relevés ; un nuage de points, non. La température existe à chaque instant, on peut donc relier les relevés et lire à $11$ h $30$. En revanche, sur un graphique donnant le prix en fonction du nombre d'articles achetés, le point « $2{,}5$ articles » n'a aucun sens : les données sont discrètes, et l'on ne relie pas les points.
6. Produire une formule
C'est la démarche inverse : partir d'une situation et écrire la dépendance.
Exemple. Un taxi facture $4$ € de prise en charge, puis $2$ € par kilomètre. $\text{prix} = 4 + 2 \times \text{distance}, \qquad\text{ou}\qquad P = 4 + 2d.$
Exemple. Un réservoir de $60$ L se vide de $5$ L par minute. $\text{volume restant} = 60 - 5 \times \text{durée}, \qquad V = 60 - 5t.$
Deux vérifications suffisent presque toujours. On teste la formule sur la valeur $0$ (le taxi doit coûter $4$ € pour $0$ km, le réservoir contenir $60$ L à $t=0$), puis sur une valeur simple. Si les deux passent, la formule est presque sûrement correcte ; si l'une échoue, elle est certainement fausse.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — En fonction de quoi ?
Dans chaque cas, indiquer quelle grandeur dépend de l'autre. a. La consommation d'essence d'une voiture et la distance parcourue. b. L'aire d'un disque et son rayon. c. Le nombre de bougies sur un gâteau et l'âge de l'enfant.
Correction. a. La consommation dépend de la distance. b. L'aire dépend du rayon. c. Le nombre de bougies dépend de l'âge.
Dans les trois cas, la seconde grandeur citée est celle qu'on choisit : c'est elle qui ira en abscisse.
Exercice 2 — De la formule au tableau
Le périmètre d'un rectangle de largeur $3$ cm s'exprime en fonction de sa longueur $L$ par $P = 2(L+3)$. Compléter le tableau pour $L = 1$ ; $2$ ; $4$ ; $5$ ; $10$.
Correction.
| $L$ (cm) | $1$ | $2$ | $4$ | $5$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P$ (cm) | $8$ | $10$ | $14$ | $16$ | $26$ |
Détail pour $L = 4$ : $P = 2\times(4+3) = 2\times7 = 14$.
Ce tableau est-il de proportionnalité ? Non : $\frac{8}{1} = 8$ mais $\frac{10}{2} = 5$. Le rectangle a une largeur fixe qui joue le rôle d'un « départ ».
Exercice 3 — Du tableau au graphique
On donne le tableau suivant, qui indique le prix payé en fonction du nombre de croissants.
| croissants | $0$ | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| prix (€) | $0$ | $1{,}20$ | $2{,}40$ | $4{,}80$ | $7{,}20$ |
a. Donner les coordonnées des points à placer. b. S'agit-il d'une situation de proportionnalité ? c. Peut-on relier les points ?
Correction. a. $(0\,;0)$, $(1\,;1{,}20)$, $(2\,;2{,}40)$, $(4\,;4{,}80)$, $(6\,;7{,}20)$. b. Oui : tous les quotients valent $1{,}20$, et le point $(0\,;0)$ appartient à la liste. Les points sont alignés sur une droite passant par l'origine. c. Non : on n'achète pas $2{,}5$ croissants. Les données sont discrètes ; on laisse un nuage de points.
Exercice 4 — Lecture de courbe
Une courbe donne la hauteur d'eau d'un bassin (en cm) en fonction du temps (en min). On lit : à $t=0$, $h=10$ ; la hauteur monte jusqu'à $50$ cm à $t=20$ ; elle reste à $50$ jusqu'à $t=30$ ; puis redescend à $0$ à $t=45$. a. Quelle est la hauteur à $t=20$ ? à $t=25$ ? b. Le bassin est-il rempli plus vite qu'il ne se vide ? c. À quel(s) instant(s) la hauteur vaut-elle $10$ cm ?
Correction. a. À $t=20$ : $50$ cm. À $t=25$ : $50$ cm également, la hauteur est constante entre $20$ et $30$. b. Remplissage : $40$ cm en $20$ min. Vidange : $50$ cm en $15$ min. La vidange est plus rapide. c. Deux fois : à $t=0$ (au départ) et une fois pendant la descente.
La question c rappelle qu'une même ordonnée peut correspondre à plusieurs abscisses. L'inverse, en revanche, est impossible : à un instant donné, le bassin a une seule hauteur.
Exercice 5 — Produire une formule
Écrire la formule donnant : a. le prix $P$ en fonction du nombre $n$ de places à $9$ € ; b. le prix $P$ en fonction de $n$, avec $9$ € la place et $3$ € de frais de réservation ; c. l'argent restant $R$ sur une carte de $50$ € après $n$ trajets à $2{,}50$ € ; d. le périmètre $P$ d'un triangle équilatéral en fonction de son côté $c$.
Correction. a. $P = 9n$ · b. $P = 9n + 3$ · c. $R = 50 - 2{,}5n$ · d. $P = 3c$
Lesquelles sont proportionnelles ? a et d seulement — ce sont celles où $n=0$ (ou $c=0$) donne $0$.
Exercice 6 — Comparer deux offres
Deux salles de sport :
- Offre A : $15$ € par séance, sans abonnement.
- Offre B : $60$ € d'abonnement, puis $5$ € par séance.
a. Écrire la formule du prix pour chaque offre en fonction du nombre $n$ de séances. b. Compléter un tableau pour $n = 0$, $3$, $6$, $9$, $12$. c. À partir de combien de séances l'offre B devient-elle avantageuse ?
Correction. a. $P_A = 15n$ et $P_B = 60 + 5n$. b.
| $n$ | $0$ | $3$ | $6$ | $9$ | $12$ |
|---|---|---|---|---|---|
| offre A (€) | $0$ | $45$ | $90$ | $135$ | $180$ |
| offre B (€) | $60$ | $75$ | $90$ | $105$ | $120$ |
c. À $6$ séances, les deux offres coûtent $90$ € : elles sont à égalité. Au-delà, B est moins chère. L'offre B devient avantageuse à partir de $7$ séances.
Seule l'offre A est proportionnelle : sa droite passe par l'origine, celle de B part de $60$. C'est exactement pourquoi les deux droites se croisent — et une fois seulement.
À retenir
« En fonction de » : la grandeur citée après détermine l'autre. C'est elle qui va en abscisse.
Trois représentations : la formule (exacte, complète), le tableau de valeurs (un échantillon), le graphique (une allure). On passe de la formule au tableau par substitution, du tableau au graphique en lisant chaque colonne comme un couple $(x\,;y)$.
Lire un graphique : de l'abscisse vers l'ordonnée, ou l'inverse. Une même ordonnée peut avoir plusieurs antécédents.
Proportionnalité : points alignés et droite passant par l'origine. Le périmètre d'un carré est proportionnel à son côté ; son aire ne l'est pas.
Données discrètes (croissants, séances) : on ne relie pas les points. Données continues (température, hauteur d'eau) : on peut tracer une courbe.
Chapitre suivant : les statistiques.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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