Mathématiques — 5ème
Opérations, priorités et distributivité — Maths Cinquième (chapitre 1)
Sommes et produits, termes et facteurs, division par un nombre décimal, priorités opératoires, programmes de calcul et distributivité simple. Programme de…
Par ProfBot
Opérations, priorités et distributivité
Chapitre 1 — Nombres et calculs · Cinquième
$3 + 4 \times 5$ vaut-il $35$ ou $23$ ? Les deux réponses sont défendables tant qu'on n'a pas fixé de règle — et c'est bien pour cela qu'on en a fixé une. Ce premier chapitre met de l'ordre dans les calculs : nommer les opérations, savoir dans quel ordre les effectuer, et découvrir la propriété qui permettra plus tard de développer et de factoriser.
Au programme officiel (programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Nombres et calculs, thème Opérations :
« Additionner, soustraire, multiplier et diviser pour résoudre des problèmes et contrôler la vraisemblance de son résultat » ; « Diviser par un nombre décimal » ; « Enchainer des opérations » ; « Traduire un problème, une succession donnée d'opérations, un programme de calcul, en une seule expression, en faisant appel ou non à des parenthèses » ; « Nommer un calcul, distinguer sommes et produits, termes et facteurs » ; « Connaitre et utiliser les priorités opératoires » ; « Connaitre et utiliser la distributivité simple sur des exemples numériques ».
1. Nommer un calcul
Avant de calculer, il faut savoir de quoi on parle. Chaque opération a un nom, et son résultat aussi.
Vocabulaire.
- $7 + 5$ est une somme. $7$ et $5$ en sont les termes.
- $7 - 5$ est une différence. $7$ et $5$ en sont aussi les termes.
- $7 \times 5$ est un produit. $7$ et $5$ en sont les facteurs.
- $7 \div 5$ est un quotient. $7$ est le dividende, $5$ le diviseur.
Ces mots ne sont pas de la décoration : une consigne comme « factoriser la somme $12 + 18$ » n'a de sens que si l'on sait reconnaître une somme.
La question qui compte : ce calcul, c'est une somme ou un produit ? On regarde la dernière opération à effectuer, celle qui « tient » toute l'expression. Dans $3 \times (4 + 5)$, on additionne d'abord, mais le calcul se termine par une multiplication : c'est un produit. Dans $3 \times 4 + 5$, il se termine par une addition : c'est une somme.
2. Diviser par un nombre décimal
Poser une division dont le diviseur a une virgule est impossible : la potence ne sait pas faire. On se ramène donc à un diviseur entier.
Propriété. Un quotient ne change pas si l'on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre non nul.
$\frac{a}{b} = \frac{a \times 10}{b \times 10} = \frac{a \times 100}{b \times 100}$
Méthode. On décale la virgule du diviseur jusqu'à obtenir un entier, et on décale celle du dividende d'autant de rangs.
$7{,}2 \div 0{,}9 = \frac{7{,}2 \times 10}{0{,}9 \times 10} = \frac{72}{9} = 8.$
$4{,}56 \div 0{,}12 = \frac{456}{12} = 38. \qquad 3 \div 0{,}25 = \frac{300}{25} = 12.$
Diviser peut agrandir. $3 \div 0{,}25 = 12$ : le résultat est plus grand que $3$. C'est normal — la question posée est « combien de fois $0{,}25$ tient-il dans $3$ ? », et un petit nombre tient beaucoup de fois. Diviser ne diminue que si le diviseur est plus grand que $1$.
3. Les priorités opératoires
Règle des priorités. Dans une suite d'opérations :
1. on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures ;
2. puis les multiplications et divisions ;
3. puis les additions et soustractions.
À égalité de priorité, on calcule de gauche à droite.
$3 + 4 \times 5 = 3 + 20 = 23.$
$(3 + 4) \times 5 = 7 \times 5 = 35.$
Deux calculs de gauche à droite. $20 - 8 - 3 = 12 - 3 = 9 \qquad\text{et non}\qquad 20 - (8-3) = 15.$ $36 \div 6 \div 3 = 6 \div 3 = 2 \qquad\text{et non}\qquad 36 \div (6 \div 3) = 18.$
La règle « de gauche à droite » n'est indispensable que pour $-$ et $\div$. Pour l'addition et la multiplication, l'ordre n'a aucune importance : $2+9+8$ vaut $19$ quelle que soit la façon dont on regroupe. Pour la soustraction et la division, il change tout, comme les deux exemples ci-dessus le montrent.
Le trait de fraction est une parenthèse. $\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{alors que}\qquad 12 + \frac{8}{4} = 12 + 2 = 14.$
4. Traduire un programme de calcul
Un programme de calcul est une suite d'instructions. On peut le traduire par une seule expression — c'est souvent là que les parenthèses deviennent nécessaires.
Programme A. Choisir un nombre · lui ajouter $3$ · multiplier le résultat par $5$.
L'addition doit être faite avant la multiplication, alors que la priorité dit l'inverse : il faut donc des parenthèses. $(n + 3) \times 5.$
Programme B. Choisir un nombre · le multiplier par $5$ · ajouter $3$ au résultat.
Ici l'ordre voulu est déjà celui des priorités : aucune parenthèse n'est nécessaire. $n \times 5 + 3.$
Avec $n = 4$ : le programme A donne $(4+3)\times5 = 35$, le programme B donne $4\times5+3 = 23$. Les deux programmes sont bien différents.
On met une parenthèse quand l'ordre voulu contredit l'ordre des priorités — et seulement dans ce cas. Écrire $n \times 5 + 3$ avec des parenthèses inutiles, $(n \times 5) + 3$, n'est pas faux, mais alourdit. Écrire $n + 3 \times 5$ pour le programme A, en revanche, est une erreur : cela calcule $n + 15$.
5. La distributivité simple
Un rectangle de largeur $3$ et de longueur $4 + 6$ a pour aire $3 \times (4+6) = 3 \times 10 = 30$. Mais on peut aussi le découper en deux rectangles, d'aires $3 \times 4 = 12$ et $3 \times 6 = 18$, dont la somme vaut également $30$. La figure démontre l'égalité.
Distributivité de la multiplication. Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$ :
$k \times (a + b) = k \times a + k \times b \qquad\text{et}\qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b.$
Lue de gauche à droite, cette égalité développe : elle transforme un produit en somme. $4 \times (7 + 2) = 4\times7 + 4\times2 = 28 + 8 = 36.$
Lue de droite à gauche, elle factorise : elle transforme une somme en produit. $25 \times 13 + 25 \times 7 = 25 \times (13 + 7) = 25 \times 20 = 500.$
La distributivité est d'abord un outil de calcul mental. $25 \times 13 + 25 \times 7$ demande deux multiplications difficiles… ou une factorisation et un produit immédiat. De même, $7 \times 98 = 7\times(100 - 2) = 700 - 14 = 686$ se fait de tête. Chercher le facteur commun est le réflexe à installer dès maintenant : c'est exactement ce qu'on refera au chapitre 6, avec des lettres à la place des nombres.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Nommer
Pour chacune des expressions, dire si c'est une somme, une différence, un produit ou un quotient, et nommer ses termes ou ses facteurs. a. $6 \times (5 + 2)$ · b. $6 \times 5 + 2$ · c. $\dfrac{15 - 3}{4}$ · d. $(9-2) \times (9+2)$
Correction. a. La dernière opération est la multiplication : c'est un produit, de facteurs $6$ et $(5+2)$. b. La dernière opération est l'addition : c'est une somme, de termes $6\times5$ et $2$. c. C'est un quotient, de dividende $15-3$ et de diviseur $4$. d. C'est un produit, de facteurs $(9-2)$ et $(9+2)$.
Les expressions a et b utilisent les mêmes nombres et les mêmes signes ; seules les parenthèses les distinguent — et elles changent jusqu'à la nature du calcul : $42$ d'un côté, $32$ de l'autre.
Exercice 2 — Divisions décimales
Calculer : a. $6{,}3 \div 0{,}7$ · b. $1{,}44 \div 1{,}2$ · c. $5 \div 0{,}2$ · d. $0{,}96 \div 0{,}04$
Correction. a. $\dfrac{63}{7} = 9$ · b. $\dfrac{14{,}4}{12} = 1{,}2$ · c. $\dfrac{50}{2} = 25$ · d. $\dfrac{96}{4} = 24$
Vérification par la multiplication : $9 \times 0{,}7 = 6{,}3$, $1{,}2\times1{,}2 = 1{,}44$, $25\times0{,}2 = 5$, $24\times0{,}04 = 0{,}96$. Toute division se contrôle ainsi en une ligne.
Exercice 3 — Priorités
Calculer : a. $5 + 3 \times 4$ · b. $(5+3)\times4$ · c. $20 - 6 \div 2$ · d. $2 \times (7 - 3) + 10 \div 5$ · e. $\dfrac{18 + 6}{3}$
Correction. a. $5 + 12 = 17$ b. $8 \times 4 = 32$ c. $20 - 3 = 17$ d. $2 \times 4 + 2 = 8 + 2 = 10$ e. $\dfrac{24}{3} = 8$
En d, la parenthèse passe en premier, puis les deux opérations de deuxième rang ($\times$ et $\div$), et l'addition en dernier.
Exercice 4 — Programmes de calcul
Programme : choisir un nombre, le multiplier par $3$, ajouter $8$ au résultat, puis diviser le tout par $2$. a. Écrire l'expression correspondant au nombre choisi $n$. b. Appliquer le programme à $4$, puis à $10$.
Correction. a. $\dfrac{3 \times n + 8}{2}$ — le trait de fraction joue le rôle de la parenthèse autour de $3n+8$. b. Pour $n = 4$ : $\dfrac{12+8}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$. Pour $n = 10$ : $\dfrac{30+8}{2} = \dfrac{38}{2} = 19$.
Exercice 5 — Distributivité, dans les deux sens
a. Développer $8 \times (10 + 3)$, puis vérifier le résultat. b. Factoriser $17 \times 6 + 17 \times 4$, puis calculer. c. Calculer $12 \times 99$ de tête.
Correction. a. $8\times10 + 8\times3 = 80 + 24 = 104$. Vérification : $8 \times 13 = 104$. b. $17 \times (6+4) = 17 \times 10 = 170$. c. $12 \times 99 = 12 \times (100 - 1) = 1\,200 - 12 = 1\,188$.
Exercice 6 — Un problème de courses
Une famille achète $3$ paquets de pâtes à $1{,}20$ € et $3$ boîtes de sauce à $2{,}30$ €. a. Calculer le total en une seule expression, de deux façons différentes. b. Elle paie avec un billet de $20$ €. Écrire en une seule expression la monnaie rendue.
Correction. a. Article par article : $3 \times 1{,}20 + 3 \times 2{,}30 = 3{,}60 + 6{,}90 = 10{,}50$ €. En regroupant : $3 \times (1{,}20 + 2{,}30) = 3 \times 3{,}50 = 10{,}50$ €. b. $20 - 3 \times (1{,}20 + 2{,}30) = 20 - 10{,}50 = 9{,}50$ €.
Les deux façons de faire en a sont exactement les deux membres de la distributivité — et la seconde se calcule de tête.
Exercice 7 — Vrai ou faux
Ces égalités sont-elles vraies ? Justifier. a. $7 - 4 + 2 = 7 - (4+2)$ · b. $24 \div 4 \div 2 = 24 \div (4 \times 2)$ · c. $5 \times (2+3) = 5\times2 + 3$
Correction. a. Faux : à gauche $3+2 = 5$, à droite $7 - 6 = 1$. b. Vrai : à gauche $6 \div 2 = 3$, à droite $24 \div 8 = 3$. Diviser deux fois de suite revient à diviser par le produit. c. Faux : à gauche $5 \times 5 = 25$, à droite $10 + 3 = 13$. Le facteur $5$ doit être distribué aux deux termes : $5\times2 + 5\times3 = 25$.
L'erreur de c est la plus fréquente de tout le chapitre : distribuer sur un seul terme.
À retenir
Vocabulaire : somme et différence ont des termes, le produit a des facteurs. Pour savoir si une expression est une somme ou un produit, on regarde la dernière opération à effectuer.
Diviser par un décimal : on multiplie dividende et diviseur par $10$, $100$… jusqu'à rendre le diviseur entier — le quotient ne change pas.
$\text{parenthèses} \ \rightarrow \ \times \text{ et } \div \ \rightarrow \ + \text{ et } -$ À égalité, de gauche à droite — ce qui n'a d'importance que pour $-$ et $\div$. Le trait de fraction vaut parenthèse.
Parenthèses dans un programme de calcul : nécessaires seulement quand l'ordre voulu contredit l'ordre des priorités.
$k \times (a+b) = k\times a + k \times b$ De gauche à droite on développe, de droite à gauche on factorise. Le facteur doit être distribué à tous les termes.
Chapitre suivant : les multiples, les diviseurs et la division euclidienne.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
Chapitre 2 · Multiples, diviseurs et division euclidienne →