Mathématiques — 5ème
Les parallélogrammes — Maths Cinquième (chapitre 17)
Définition du parallélogramme, propriétés des côtés opposés, des angles et des diagonales, propriétés caractéristiques, constructions, rectangle, losange et…
Par ProfBot
Les parallélogrammes
Chapitre 17 — Espace et géométrie · Cinquième
Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles : la définition tient en une ligne, et pourtant elle entraîne toute une cascade de conséquences — côtés égaux, angles égaux, diagonales qui se coupent en leur milieu, centre de symétrie. Mieux : chacune de ces conséquences suffit à son tour à caractériser le parallélogramme, ce qui en fait autant d'outils de démonstration.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Espace et géométrie, thème Parallélogrammes :
automatismes — « Reconnaitre en justifiant un quadrilatère, un parallélogramme, un rectangle, un losange, un carré, un trapèze, un pentagone, un hexagone dans des figures complexes » ; « Exploiter le codage d'une figure ».
Objectifs d'apprentissage — « Définir le parallélogramme » ; « Construire des parallélogrammes » ; « Connaitre les propriétés caractéristiques des côtés opposés et des diagonales » ; « Utiliser une propriété caractéristique sur les diagonales ou les côtés pour les construire ou donner la nature du quadrilatère » ; « Définir les parallélogrammes particuliers (rectangle, losange, carré) » ; « Connaitre les propriétés caractéristiques » ; « Savoir calculer l'aire d'un parallélogramme et de figures complexes » ; « Résoudre des problèmes faisant appel à des conversions d'unités de longueur et d'unités d'aires ».
1. Définition et propriétés
Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
De cette seule définition découlent quatre propriétés :
Propriétés. Dans un parallélogramme $ABCD$ :
1. les côtés opposés ont la même longueur : $AB = DC$ et $BC = AD$ ;
2. les angles opposés ont la même mesure : $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$ ;
3. les diagonales se coupent en leur milieu ;
4. il possède un centre de symétrie : le point d'intersection des diagonales (chapitre 14).
La propriété 4 explique toutes les autres. Le demi-tour de centre $O$ échange $A$ et $C$, ainsi que $B$ et $D$ ; il transforme donc le côté $[AB]$ en $[CD]$. Or la symétrie centrale conserve les longueurs et les angles, et envoie une droite sur une droite parallèle — d'où les côtés égaux, les angles égaux et le parallélisme, d'un seul coup.
Une conséquence utile. Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires : $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$. En effet, $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles, coupées par la sécante $(AB)$ : $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont deux angles intérieurs du même côté (chapitre 15).
2. Les propriétés caractéristiques
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on n'est pas obligé de revenir à la définition : plusieurs propriétés suffisent, et ce sont les réciproques des précédentes.
Propriétés caractéristiques. Un quadrilatère non croisé est un parallélogramme si et seulement si :
- ses côtés opposés sont parallèles (la définition) ; ou
- ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur ; ou
- ses diagonales se coupent en leur milieu ; ou
- deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur.
« Non croisé » n'est pas un détail. Le quadrilatère $ABCD$ doit se parcourir sans que ses côtés se traversent. Un quadrilatère croisé peut avoir deux côtés opposés de même longueur sans être un parallélogramme : c'est le piège classique des exercices de démonstration.
La caractérisation par les diagonales est de loin la plus utile. Elle ne demande qu'un seul point — le milieu commun — et se vérifie immédiatement dans un repère (chapitre 10) : deux segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu quand $\frac{x_A+x_C}{2} = \frac{x_B+x_D}{2}$ et de même pour les ordonnées.
3. Construire un parallélogramme
| ce qu'on donne | méthode |
|---|---|
| trois sommets $A$, $B$, $C$ | on trace la parallèle à $(AB)$ passant par $C$ et la parallèle à $(BC)$ passant par $A$ : elles se coupent en $D$ |
| trois sommets $A$, $B$, $C$ (au compas) | on reporte $AB$ à partir de $C$ et $BC$ à partir de $A$ ; les deux arcs se coupent en $D$ |
| trois sommets $A$, $B$, $C$ (par les diagonales) | on place $O$, milieu de $[AC]$, puis $D$ symétrique de $B$ par rapport à $O$ |
La troisième méthode est la plus rapide et la plus sûre. Elle n'utilise que la règle : on trace $[AC]$, on marque son milieu $O$, on prolonge $BO)$ et on reporte $OB$ au-delà de $O$. C'est exactement la construction du symétrique du [chapitre 14.
4. Les parallélogrammes particuliers
Définitions.
- Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit (il les a alors tous les quatre).
- Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur (il a alors ses quatre côtés égaux).
- Un carré est un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange.
Propriétés caractéristiques par les diagonales. Un quadrilatère est :
- un parallélogramme si ses diagonales ont le même milieu ;
- un rectangle si, en plus, ses diagonales ont la même longueur ;
- un losange si, en plus, ses diagonales sont perpendiculaires ;
- un carré si ses diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires.
Trois conditions, trois figures — et il faut les trois pour le carré. Même milieu → parallélogramme. Même milieu et même longueur → rectangle. Même milieu et perpendiculaires → losange. Les trois ensemble → carré. C'est le tableau le plus rentable de tout le chapitre, car il ramène la reconnaissance d'une figure à deux mesures sur les diagonales.
Tous les rectangles ne sont pas des carrés, mais tous les carrés sont des rectangles — et aussi des losanges, et aussi des parallélogrammes. Une figure particulière garde toutes les propriétés de sa famille.
5. L'aire d'un parallélogramme
Formule.
$\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur}$
où la hauteur est la distance entre la base et le côté opposé, mesurée perpendiculairement.
Pourquoi ? On découpe le triangle qui dépasse à gauche et on le recolle à droite : on obtient un rectangle de même base et de même hauteur, donc de même aire.
La hauteur n'est PAS le côté oblique. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Dans un parallélogramme de côtés $6$ cm et $5$ cm, l'aire n'est pas $30$ cm² : elle vaut $6 \times h$, où $h$ est la distance entre les deux côtés de longueur $6$, toujours inférieure à $5$. L'aire d'un parallélogramme est donc toujours inférieure au produit de deux côtés consécutifs — sauf s'il est un rectangle, où les deux coïncident.
Rappel des autres formules.
| figure | aire |
|---|---|
| rectangle de dimensions $L$ et $\ell$ | $L \times \ell$ |
| carré de côté $c$ | $c^2$ |
| parallélogramme | base $\times$ hauteur |
| triangle | $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$ |
Figures complexes. On les découpe en figures usuelles dont on additionne les aires, ou l'on part d'une figure englobante à laquelle on retranche les morceaux manquants. Les deux méthodes doivent donner le même résultat — c'est le meilleur contrôle.
6. Convertir des longueurs et des aires
Longueurs : chaque unité vaut $10$ fois la suivante.
$1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m}, \qquad 1 \text{ m} = 100 \text{ cm} = 1\,000 \text{ mm}.$
Aires : chaque unité vaut $100$ fois la suivante — parce qu'un carré dont le côté est multiplié par $10$ voit son aire multipliée par $10^2 = 100$ (chapitre 5).
$1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2 = 1\,000\,000 \text{ mm}^2.$
Dans le tableau des aires, chaque unité occupe DEUX colonnes. C'est toute la difficulté : passer de m² à cm² fait sauter quatre rangs de chiffres, pas deux. Le réflexe sûr est de vérifier sur un cas simple — $1$ m$^2$, c'est un carré de $100$ cm de côté, donc $100\times100 = 10\,000$ cm².
Unités agraires. $1$ are (a) $= 100$ m² ; $1$ hectare (ha) $= 100$ a $= 10\,000$ m². Un hectare est un carré de $100$ m de côté.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Lire un codage
Un quadrilatère $ABCD$ porte le codage suivant : $[AB]$ et $[DC]$ ont chacun un trait, $[AD]$ et $[BC]$ ont chacun deux traits. Est-ce un parallélogramme ? Justifier.
Correction. Le codage indique $AB = DC$ et $AD = BC$ : les côtés opposés sont deux à deux de même longueur. Or si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés deux à deux de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Donc $ABCD$ est un parallélogramme.
Exercice 2 — Angles
$ABCD$ est un parallélogramme avec $\widehat{A} = 63°$. Donner les mesures des trois autres angles.
Correction. $\widehat{C} = \widehat{A} = \mathbf{63°}$ (angles opposés). $\widehat{B} = 180 - 63 = \mathbf{117°}$ (angles consécutifs supplémentaires), et $\widehat{D} = \widehat{B} = \mathbf{117°}$. Contrôle : $63+117+63+117 = 360°$ — la somme des angles d'un quadrilatère.
Exercice 3 — Coordonnées
Dans un repère, on donne $A(1\,;1)$, $B(5\,;2)$ et $C(6\,;5)$. a. Calculer les coordonnées du milieu $O$ de $[AC]$. b. En déduire les coordonnées de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme. c. Vérifier que $[BD]$ a bien pour milieu $O$.
Correction. a. $O\left(\dfrac{1+6}{2}\,;\dfrac{1+5}{2}\right) = O(3{,}5\,;3)$. b. $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$ (chapitre 14) : $x_D = 2\times3{,}5 - 5 = 2$ et $y_D = 2\times3 - 2 = 4$. Donc $D(2\,;4)$. c. Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{5+2}{2}\,;\dfrac{2+4}{2}\right) = (3{,}5\,;3)$ ✔ — c'est bien $O$.
Exercice 4 — Nature du quadrilatère
Dans chaque cas, donner la nature la plus précise du quadrilatère $ABCD$ dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ : a. ont le même milieu ; b. ont le même milieu et la même longueur ; c. ont le même milieu et sont perpendiculaires ; d. ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires.
Correction. a. un parallélogramme · b. un rectangle · c. un losange · d. un carré
Exercice 5 — Aires
a. Aire d'un parallélogramme de base $9$ cm et de hauteur $4$ cm. b. Un parallélogramme a une aire de $54$ cm² et une base de $12$ cm. Quelle est sa hauteur ? c. Un parallélogramme a pour côtés $6$ cm et $5$ cm. Peut-on affirmer que son aire vaut $30$ cm² ?
Correction. a. $9\times4 = \mathbf{36}$ cm². b. $12 \times h = 54$, donc $h = 54 \div 12 = \mathbf{4{,}5}$ cm. c. Non. L'aire vaut $6 \times h$ où $h$ est la hauteur, toujours inférieure ou égale à $5$. L'aire vaut $30$ cm² uniquement si le parallélogramme est un rectangle.
Exercice 6 — Une figure complexe
Un terrain rectangulaire de $20$ m sur $13$ m est amputé, dans un coin, d'un carré de $4$ m de côté. a. Calculer l'aire du terrain restant. b. Vérifier le résultat par une seconde méthode.
Correction. a. Par soustraction : $20\times13 - 4^2 = 260 - 16 = \mathbf{244}$ m². b. Par découpage : la partie restante se coupe en un rectangle $20 \times 9$ et un rectangle $16 \times 4$ : $20\times9 + 16\times4 = 180 + 64 = 244 \text{ m}^2 \; ✔$
Les deux méthodes donnent le même résultat : c'est le contrôle. Si elles divergent, l'erreur est dans le découpage — presque toujours une dimension mal reportée.
Exercice 7 — Conversions
Convertir : a. $3$ m² en cm² · b. $45\,000$ cm² en m² · c. $2{,}5$ ha en m² · d. $0{,}08$ km² en m²
Correction. a. $3 \times 10\,000 = \mathbf{30\,000}$ cm² b. $45\,000 \div 10\,000 = \mathbf{4{,}5}$ m² c. $2{,}5 \times 10\,000 = \mathbf{25\,000}$ m² d. $0{,}08 \times 1\,000\,000 = \mathbf{80\,000}$ m²
Contrôle de a : $3$ m², c'est trois carrés de $100$ cm de côté, soit $3\times100\times100 = 30\,000$ cm². Revenir au carré de côté connu lève tous les doutes.
Exercice 8 — Un losange
Un losange $ABCD$ a des diagonales de $12$ cm et $16$ cm. a. Quelle est la longueur de la moitié de chaque diagonale ? b. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. Quelle est l'aire de chacun des quatre triangles formés ? c. En déduire l'aire du losange, puis une formule générale.
Correction. a. $12 \div 2 = 6$ cm et $16 \div 2 = 8$ cm. b. Chaque triangle est rectangle, de côtés de l'angle droit $6$ et $8$ : son aire vaut $\dfrac{6\times8}{2} = 24$ cm². c. Aire du losange : $4\times24 = \mathbf{96}$ cm². Formule générale : $\mathcal{A} = \dfrac{d \times d'}{2}$, ici $\dfrac{12\times16}{2} = 96$ cm² ✔
Cette formule ne figure pas au programme, mais elle se retrouve en quatre lignes, et c'est bien mieux que de l'apprendre par cœur.
À retenir
Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Propriétés : côtés opposés égaux · angles opposés égaux · angles consécutifs supplémentaires · diagonales de même milieu · centre de symétrie.
Pour démontrer qu'un quadrilatère non croisé est un parallélogramme, il suffit que : ses côtés opposés soient parallèles, ou deux à deux égaux, ou que ses diagonales aient le même milieu, ou que deux côtés opposés soient à la fois parallèles et égaux.
| diagonales | figure |
|---|---|
| même milieu | parallélogramme |
| même milieu $+$ même longueur | rectangle |
| même milieu $+$ perpendiculaires | losange |
| les trois | carré |
$\mathcal{A}_{\text{parallélogramme}} = \text{base} \times \text{hauteur}$ La hauteur n'est pas le côté oblique.
Aires : chaque unité vaut $100$ fois la suivante — deux colonnes dans le tableau. $1$ m$^2 = 10\,000$ cm². $1$ ha $= 10\,000$ m².
Chapitre suivant : les solides, les volumes et l'aire du disque.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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