Mathématiques — 5ème
Les nombres relatifs — Maths Cinquième (chapitre 3)
Nombres positifs et négatifs, opposé et valeur absolue, abscisse sur une droite graduée, comparaison et rangement, addition et soustraction de nombres…
Par ProfBot
Voir la vidéo du cours sur YouTube
Les nombres relatifs
Chapitre 3 — Nombres et calculs · Cinquième
$-7$ °C, $-120$ m sous le niveau de la mer, un compte à $-45$ €. Jusqu'ici, un nombre décrivait une quantité, et on ne pouvait pas en avoir moins que rien. Les nombres relatifs changent cela : ils permettent de descendre en dessous de zéro. Ce chapitre les définit, apprend à les ranger, puis à les additionner et à les soustraire.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Nombres et calculs, thème Nombres relatifs :
« Définir les nombres relatifs » ; « Définir l'opposé et la valeur absolue d'un nombre » ; « Définir la notion de nombre positif, strictement positif, négatif, strictement négatif » ; « Utiliser les nombres relatifs pour représenter des grandeurs observables qui peuvent prendre des valeurs inférieures à zéro (température, temps, altitude, etc.) » ; « Lire l'abscisse d'un nombre relatif sur une droite graduée et placer un nombre relatif d'abscisse donnée » ; « Comparer et ranger dans l'ordre croissant et décroissant » ; « Additionner deux, puis plusieurs nombres décimaux relatifs » ; « Soustraire deux nombres décimaux relatifs » ; « Connaitre et justifier les situations dans lesquelles des parenthèses sont indispensables » ; « Simplifier l'écriture de sommes comportant des parenthèses ».
⚠️ En cinquième, on additionne et on soustrait les relatifs — le produit et le quotient de nombres relatifs sont au programme de quatrième.
1. Vocabulaire
Définition. Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe $+$ ou $-$.
- Il est positif s'il est supérieur ou égal à $0$, strictement positif s'il est supérieur à $0$.
- Il est négatif s'il est inférieur ou égal à $0$, strictement négatif s'il est inférieur à $0$.
$0$ est à la fois positif et négatif — c'est le seul nombre dans ce cas, et c'est précisément pour cela que le mot « strictement » existe. Enfin, le signe $+$ d'un nombre positif ne s'écrit presque jamais : $+7$ s'écrit $7$.
Définitions. Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ne diffèrent que par leur signe. La valeur absolue d'un nombre relatif est sa distance à zéro ; on la note entre deux barres.
$|-3{,}5| = 3{,}5 \qquad\text{et}\qquad |+3{,}5| = 3{,}5.$
L'opposé de $-3{,}5$ est $+3{,}5$ ; l'opposé de $+7$ est $-7$ ; l'opposé de $0$ est $0$. Deux nombres opposés ont la même valeur absolue, et leur somme vaut toujours $0$.
La valeur absolue, c'est le nombre « sans son signe ». Elle répond à la question « à quelle distance de zéro ? », jamais à « de quel côté ? ». C'est pour cela qu'elle n'est jamais négative : une distance ne l'est pas.
2. Repérer sur une droite graduée
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse. On note $A(-2{,}5)$ pour dire « le point $A$ a pour abscisse $-2{,}5$ ». Ce repérage sera repris et étendu au plan tout entier au chapitre 10.
Trois éléments sont nécessaires, et suffisants : une origine (le point d'abscisse $0$), un sens (indiqué par une flèche) et une unité (l'écart entre deux graduations).
Une graduation ne vaut pas forcément 1. Avant de lire une abscisse, on compte combien de petits intervalles séparent deux nombres écrits. Si $0$ et $1$ sont séparés par $4$ intervalles, chacun vaut $0{,}25$ — et le point situé trois crans à gauche de $0$ a pour abscisse $-0{,}75$, pas $-3$.
3. Comparer les nombres relatifs
Règle. De deux nombres relatifs, le plus petit est celui qui est le plus à gauche sur la droite graduée.
Cette seule règle suffit, mais on peut la détailler :
- un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif : $-100 < 0{,}1$ ;
- entre deux positifs, le plus grand est celui de plus grande valeur absolue : $2 < 7$ ;
- entre deux négatifs, le plus grand est celui de plus petite valeur absolue : $-7 < -2$.
Chez les négatifs, tout s'inverse. $7 > 2$, mais $-7 < -2$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et le seul remède fiable est de placer les nombres sur une droite avant de conclure : à gauche, c'est plus petit, sans exception.
Ranger dans l'ordre croissant, c'est écrire du plus petit au plus grand ; dans l'ordre décroissant, du plus grand au plus petit. $-8 < -5{,}5 < -1 < 0 < 2{,}5 < 6 \qquad (\text{ordre croissant}).$
4. Additionner deux nombres relatifs
Une addition se lit comme un déplacement sur la droite : on part du premier nombre, puis on avance vers la droite si le second est positif, vers la gauche s'il est négatif.
Règle d'addition.
- Mêmes signes : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun.
$(-3) + (-4) = -7 \qquad ; \qquad (+2{,}5) + (+1{,}5) = +4.$
- Signes contraires : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on garde le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue.
$(-7) + (+5) = -2 \qquad ; \qquad (+9) + (-2{,}5) = +6{,}5.$
Cas particulier. La somme de deux opposés vaut $0$ : $(-4{,}2) + (+4{,}2) = 0$.
Additionner plusieurs nombres
On peut regrouper les termes dans l'ordre que l'on veut : l'addition est commutative et associative. La méthode efficace consiste à réunir d'un côté tous les positifs, de l'autre tous les négatifs.
$(-5) + (+8) + (-3) + (+2) = \underbrace{(+8) + (+2)}_{+10} \; + \; \underbrace{(-5) + (-3)}_{-8} \; = \; +10 - 8 = +2.$
Regrouper, c'est ne faire qu'une seule addition de signes contraires au lieu de trois. Sur une longue somme, c'est à la fois plus rapide et beaucoup plus sûr.
5. Soustraire deux nombres relatifs
Règle. Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.
$a - b = a + (\text{opposé de } b).$
$3 - (-5) = 3 + 5 = 8, \qquad (-4) - (+6) = (-4) + (-6) = -10, \qquad (-2) - (-9) = (-2) + 9 = 7.$
Il n'y a donc aucune règle nouvelle à apprendre : toute soustraction se transforme en addition, et on applique la règle du paragraphe précédent.
Écrire la transformation, toujours. Passer directement de $3 - (-5)$ à $8$ « de tête » est la source d'erreurs numéro un. La ligne intermédiaire $3 + 5$ coûte trois secondes et supprime le risque.
6. Simplifier une écriture
Une écriture comme $(-3) + (+7) - (-2)$ est lourde. On peut la simplifier en remplaçant chaque couple de signes consécutifs par un seul :
$+ (+a) \to +a \qquad + (-a) \to -a \qquad - (+a) \to -a \qquad - (-a) \to +a$
$(-3) + (+7) - (-2) \; = \; -3 + 7 + 2 \; = \; 6.$
L'expression $-3 + 7 + 2$ est une somme algébrique : on la calcule de gauche à droite, ou en regroupant positifs et négatifs.
Quand les parenthèses sont-elles indispensables ? Elles le sont dès que deux signes se suivraient : on n'écrit jamais $5 + -3$ ni $5 - -3$. Elles le sont aussi quand elles changent le calcul, comme dans $8 - (3 + 2) = 3$ alors que $8 - 3 + 2 = 7$. En revanche, dans $(-3) + (+7)$, elles ne servent qu'à la lisibilité : on peut les enlever, en gardant les signes.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Vocabulaire
a. Donner l'opposé de $-6$ ; de $+2{,}5$ ; de $0$. b. Donner la valeur absolue de $-6$ ; de $+2{,}5$ ; de $0$. c. Le nombre $0$ est-il positif ? strictement positif ?
Correction. a. $+6$ ; $-2{,}5$ ; $0$. b. $6$ ; $2{,}5$ ; $0$. c. $0$ est positif (il est supérieur ou égal à $0$) mais pas strictement positif. Il est d'ailleurs négatif au même titre.
Exercice 2 — Comparer
Compléter par
lt;$ ou gt;$ : a. $-3 \ldots -8$ · b. $-0{,}5 \ldots 0{,}1$ · c. $-2{,}7 \ldots -2{,}5$ · d. $-15 \ldots -14{,}9$Correction. a. $-3 > -8$ · b. $-0{,}5 < 0{,}1$ · c. $-2{,}7 < -2{,}5$ · d. $-15 < -14{,}9$
En c et d, les deux nombres sont proches : le réflexe sûr est de comparer les valeurs absolues et d'inverser. $2{,}7 > 2{,}5$ donc $-2{,}7 < -2{,}5$ ; $15 > 14{,}9$ donc $-15 < -14{,}9$.
Exercice 3 — Ranger
Ranger dans l'ordre croissant : $-4$ ; $3{,}5$ ; $-0{,}2$ ; $0$ ; $-4{,}5$ ; $1$.
Correction. $-4{,}5 < -4 < -0{,}2 < 0 < 1 < 3{,}5.$
Le piège est le couple $-4$ / $-4{,}5$ : c'est $-4{,}5$ qui est le plus petit, alors que $4{,}5 > 4$.
Exercice 4 — Additions
Calculer : a. $(-6) + (-9)$ · b. $(-11) + (+4)$ · c. $(+3{,}5) + (-8)$ · d. $(-2{,}4) + (+2{,}4)$ · e. $(-1{,}5) + (-0{,}75)$
Correction. a. Mêmes signes : $6+9 = 15$, signe $-$, donc $-15$. b. Signes contraires : $11-4 = 7$, le $-$ l'emporte, donc $-7$. c. Signes contraires : $8-3{,}5 = 4{,}5$, le $-$ l'emporte, donc $-4{,}5$. d. Opposés : $0$. e. Mêmes signes : $1{,}5 + 0{,}75 = 2{,}25$, donc $-2{,}25$.
Exercice 5 — Soustractions
Calculer : a. $7 - (-4)$ · b. $(-3) - (+8)$ · c. $(-5) - (-12)$ · d. $2{,}5 - 6{,}5$
Correction. a. $7 + 4 = 11$ b. $-3 - 8 = -11$ c. $-5 + 12 = 7$ d. $2{,}5 + (-6{,}5) = -4$
Exercice 6 — Sommes algébriques
Simplifier puis calculer : a. $(-7) + (+3) - (-5)$ · b. $12 - (+4) + (-9) - (-6)$
Correction. a. $-7 + 3 + 5$. Positifs : $3+5 = 8$. Négatifs : $-7$. Total : $8 - 7 = \mathbf{1}$. b. $12 - 4 - 9 + 6$. Positifs : $12+6 = 18$. Négatifs : $-4-9 = -13$. Total : $18 - 13 = \mathbf{5}$.
Exercice 7 — Températures
Un relevé donne : $-6$ °C à $6$ h, $+4$ °C à $14$ h, $-1$ °C à $22$ h. a. De combien la température a-t-elle monté entre $6$ h et $14$ h ? b. De combien a-t-elle baissé entre $14$ h et $22$ h ? c. Ranger les trois températures dans l'ordre décroissant.
Correction. a. $4 - (-6) = 4 + 6 = \mathbf{10}$ degrés de hausse. b. $(-1) - 4 = -5$ : la température a baissé de $\mathbf{5}$ degrés. c. $4 > -1 > -6$.
Un écart de températures se calcule toujours par une différence, dans l'ordre « arrivée moins départ » : le signe du résultat indique alors si ça monte ($+$) ou si ça descend ($-$).
Exercice 8 — Altitudes
Un plongeur descend à $-32$ m. Il remonte de $12$ m, puis redescend de $7{,}5$ m. a. À quelle altitude se trouve-t-il ? b. Un phare culmine à $+45$ m. Quelle est la différence d'altitude entre le sommet du phare et le plongeur ?
Correction. a. $-32 + 12 - 7{,}5 = -20 - 7{,}5 = \mathbf{-27{,}5}$ m. b. $45 - (-27{,}5) = 45 + 27{,}5 = \mathbf{72{,}5}$ m.
La réponse b dépasse $45$ : c'est normal, il faut d'abord remonter les $27{,}5$ m qui séparent le plongeur de la surface, puis monter les $45$ m du phare.
À retenir
Positif = $\geqslant 0$, strictement positif =
gt; 0$. $0$ est à la fois positif et négatif.Opposés : mêmes chiffres, signes contraires ; leur somme vaut $0$. Valeur absolue = distance à zéro, jamais négative : $|-3{,}5| = 3{,}5$.
Comparer : le plus petit est le plus à gauche sur la droite graduée. Chez les négatifs, l'ordre des valeurs absolues est inversé : $-7 < -2$.
Additionner : mêmes signes → on ajoute les valeurs absolues, on garde le signe. Signes contraires → on soustrait, et le signe est celui de la plus grande valeur absolue.
$a - b = a + (\text{opposé de } b)$ Soustraire, c'est ajouter l'opposé — il n'y a pas d'autre règle.
Simplifier : $-(-a) \to +a$, $+(-a) \to -a$, $-(+a) \to -a$. Puis on regroupe les positifs d'un côté, les négatifs de l'autre.
Chapitre suivant : les fractions.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
← Chapitre 2 · Multiples, diviseurs et division euclidienne | Chapitre 4 · Les fractions →