Mathématiques — 5ème
Les fractions — Maths Cinquième (chapitre 4)
Fraction et nombre quotient, fractions égales et simplification, repérage sur une droite graduée, comparaison, addition et soustraction de fractions de…
Par ProfBot
Les fractions
Chapitre 4 — Nombres et calculs · Cinquième
Trois personnes se partagent sept parts égales de gâteau : chacune reçoit $\frac{7}{3}$ de part. Ce nombre n'a pas d'écriture décimale exacte — $2{,}333\ldots$ ne s'arrête jamais — et pourtant il existe, il est parfaitement défini, et on sait calculer avec. C'est tout l'intérêt des fractions : elles écrivent exactement des quotients que les décimaux n'atteignent pas.
Au programme officiel (programme du cycle 4, arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026, applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027), partie Nombres et calculs, thème Nombres rationnels :
automatismes — « Faire vivre la notion de nombre quotient en complétant des multiplications à trou : $3 \times \ldots = 7$ » ; « Lire l'abscisse d'un point sur une droite graduée en tiers, en quarts, en moitiés, en dixièmes » ; « Reconnaitre des fractions égales » ; « Comparer deux fractions » ; « Écrire une fraction sous la forme d'une somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à 1 : $\frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5}$ » ; « Prendre une fraction simple d'un nombre » ; « Écrire un même nombre sous de multiples formes ».
Objectifs d'apprentissage — « Comparer des fractions » ; « Additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques » ; « Résoudre des problèmes avec des additions et soustractions de fractions ».
⚠️ En cinquième, on compare, on additionne et on soustrait les fractions. Le produit et le quotient de deux fractions sont au programme de quatrième.
1. La fraction, un nombre quotient
Définition. Soit $a$ un nombre et $b$ un nombre non nul. Le quotient $\dfrac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ :
$b \times \frac{a}{b} = a.$
$a$ est le numérateur, $b$ le dénominateur.
C'est la réponse à la multiplication à trou $3 \times \ldots = 7$ : la solution est $\frac{7}{3}$, et l'on vérifie que $3 \times \frac{7}{3} = 7$.
Une fraction est un nombre, pas une opération en attente. $\frac{7}{3}$ n'est pas « $7$ divisé par $3$, à calculer plus tard » : c'est déjà un nombre, avec une place précise sur la droite graduée, entre $2$ et $3$. Sa valeur décimale $2{,}333\ldots$ n'est jamais exacte quel que soit le nombre de décimales écrites — l'écriture fractionnaire, elle, l'est.
Deux lectures de la même écriture. $\frac{3}{4}$, c'est à la fois « trois parts d'un tout partagé en quatre » et « le quart de trois ». Les deux donnent le même nombre.
2. Fractions égales
Propriété fondamentale. On ne change pas un quotient en multipliant — ou en divisant — son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :
$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k} \qquad (k \neq 0).$
$\frac{2}{3} = \frac{2\times5}{3\times5} = \frac{10}{15}, \qquad \frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}.$
Simplifier une fraction, c'est la remplacer par une fraction égale de termes plus petits. Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
Pour simplifier vite, on utilise les critères de divisibilité (voir chapitre 2). $\frac{24}{36}$ : les deux sont pairs, donc $\frac{12}{18}$, encore pairs, donc $\frac{6}{9}$ ; les deux ont une somme de chiffres divisible par $3$, donc $\frac{2}{3}$. On peut aussi diviser d'un coup par $12$, si on le voit.
Un même nombre, beaucoup d'écritures. $1{,}2 \; = \; \frac{12}{10} \; = \; \frac{6}{5} \; = \; 1 + \frac{1}{5} \; = \; \frac{120}{100} \; = \; 120\,\%.$
3. Placer une fraction, l'encadrer
Sur une droite graduée où l'unité est partagée en $b$ parts, $\frac{a}{b}$ se place au bout de $a$ parts. Pour $\frac{7}{3}$ : on partage chaque unité en trois et on compte sept tiers — on arrive entre $2$ et $3$.
Écrire une fraction comme « entier $+$ fraction inférieure à 1 ». On effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur :
$17 = 5\times3 + 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{17}{5} = \frac{15 + 2}{5} = 3 + \frac{2}{5}.$
Cette écriture donne immédiatement l'encadrement par deux entiers : $3 < \frac{17}{5} < 4$.
Comparer une fraction à 1, en un coup d'œil. Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à $1$ ($\frac{4}{7} < 1$). S'il est plus grand, elle est supérieure à $1$ ($\frac{8}{3} > 1$). S'ils sont égaux, elle vaut $1$. C'est souvent tout ce dont on a besoin pour trancher une comparaison.
4. Comparer deux fractions
Trois situations.
- Même dénominateur : la plus grande est celle de plus grand numérateur. $\dfrac{2}{7} < \dfrac{5}{7}$.
- Même numérateur : la plus grande est celle de plus petit dénominateur — partager en moins de parts donne de plus grosses parts. $\dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{7}$.
- Cas général : on met au même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
Exemple. Comparer $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{7}{9}$. Un dénominateur commun est $18$ (multiple de $6$ et de $9$) : $\frac{5}{6} = \frac{5\times3}{6\times3} = \frac{15}{18}, \qquad \frac{7}{9} = \frac{7\times2}{9\times2} = \frac{14}{18}.$ Comme $15 > 14$, on conclut $\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}$.
Le produit des dénominateurs marche toujours, mais il est rarement le meilleur. Pour $6$ et $9$, il donnerait $54$ — un calcul correct, avec de plus gros nombres. Cherchez d'abord un multiple commun plus petit : ici $18$, qui est dans les deux tables.
5. Additionner et soustraire
Règle. Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur. On les ramène d'abord à un dénominateur commun, puis :
$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a-b}{d}.$
Exemple détaillé. Calculer $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{6}$.
Un dénominateur commun de $4$ et $6$ est $12$ : $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{2}{6} = \frac{4}{12}, \qquad \text{donc}\qquad \frac{3}{4} + \frac{2}{6} = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12}.$
Le résultat, $\frac{13}{12}$, est supérieur à $1$ — ce qui était prévisible, puisque $\frac{3}{4}$ vaut déjà les trois quarts.
On n'additionne JAMAIS les dénominateurs. $\frac{3}{4} + \frac{2}{6}$ ne vaut pas $\frac{5}{10}$. La raison est concrète : un quart et un sixième ne sont pas des parts de la même taille, on ne peut donc pas les compter ensemble tant qu'on ne les a pas exprimés dans la même unité — ici, le douzième.
Avec un entier. Un entier s'écrit comme une fraction de dénominateur $1$, ou directement au dénominateur voulu : $3 + \frac{2}{5} = \frac{15}{5} + \frac{2}{5} = \frac{17}{5}, \qquad 1 - \frac{4}{7} = \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}.$
6. Prendre une fraction d'une quantité
« Prendre les $\frac{2}{3}$ de $18$ », c'est partager $18$ en $3$ et en prendre $2$ : $18 \div 3 = 6, \qquad 6 \times 2 = 12.$
De même, le $\frac{1}{4}$ de $12$ vaut $3$, et les $\frac{3}{5}$ de $40$ valent $(40\div5)\times3 = 24$.
Les pourcentages usuels sont des fractions déguisées. $50\,\% = \frac{1}{2}$, $25\,\% = \frac{1}{4}$, $10\,\% = \frac{1}{10}$, $1\,\% = \frac{1}{100}$. Prendre $10\,\%$ d'un nombre, c'est le diviser par $10$ ; prendre $1\,\%$, c'est le diviser par $100$. Ces réflexes servent tous les jours, et on les retrouvera au chapitre 9.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Nombre quotient
a. Compléter : $4 \times \ldots = 9$ · $7 \times \ldots = 3$ b. Vérifier que $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$ et que $\dfrac{3}{7}$ n'a pas d'écriture décimale exacte.
Correction. a. $4 \times \dfrac{9}{4} = 9$ · $7 \times \dfrac{3}{7} = 3$. b. $9 \div 4 = 2{,}25$ exactement, car $2{,}25 \times 4 = 9$. En revanche $3 \div 7 = 0{,}428571\,428571\ldots$ : les six chiffres $428571$ se répètent indéfiniment, la division ne s'arrête jamais. Seule l'écriture $\frac{3}{7}$ est exacte.
Exercice 2 — Simplifier
Rendre irréductibles : a. $\dfrac{18}{24}$ · b. $\dfrac{45}{60}$ · c. $\dfrac{84}{35}$ · d. $\dfrac{51}{68}$
Correction. a. $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18\div6}{24\div6} = \dfrac{3}{4}$ b. $\dfrac{45}{60} = \dfrac{45\div15}{60\div15} = \dfrac{3}{4}$ c. $\dfrac{84}{35} = \dfrac{84\div7}{35\div7} = \dfrac{12}{5}$ d. $\dfrac{51}{68} = \dfrac{51\div17}{68\div17} = \dfrac{3}{4}$
Les questions a, b et d donnent toutes $\frac{3}{4}$ : trois écritures différentes du même nombre. Pour d, le facteur $17$ se trouve en remarquant que $51 = 3\times17$.
Exercice 3 — Entier plus fraction
Écrire sous la forme « entier $+$ fraction inférieure à $1$ », puis encadrer par deux entiers consécutifs : a. $\dfrac{23}{4}$ · b. $\dfrac{100}{7}$ · c. $\dfrac{29}{6}$
Correction. a. $23 = 4\times5+3$, donc $\dfrac{23}{4} = 5 + \dfrac{3}{4}$ et $5 < \dfrac{23}{4} < 6$. b. $100 = 7\times14+2$, donc $\dfrac{100}{7} = 14 + \dfrac{2}{7}$ et $14 < \dfrac{100}{7} < 15$. c. $29 = 6\times4+5$, donc $\dfrac{29}{6} = 4 + \dfrac{5}{6}$ et $4 < \dfrac{29}{6} < 5$.
Exercice 4 — Comparer
Comparer : a. $\dfrac{4}{9}$ et $\dfrac{7}{9}$ · b. $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{5}{11}$ · c. $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{7}{10}$ · d. $\dfrac{7}{6}$ et $\dfrac{9}{11}$
Correction. a. Même dénominateur : $\dfrac{4}{9} < \dfrac{7}{9}$. b. Même numérateur : $11 > 8$ donc les onzièmes sont plus petits, $\dfrac{5}{11} < \dfrac{5}{8}$. c. Dénominateur commun $20$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}$ et $\dfrac{7}{10} = \dfrac{14}{20}$, donc $\dfrac{3}{4} > \dfrac{7}{10}$. d. Sans calcul : $\dfrac{7}{6} > 1$ et $\dfrac{9}{11} < 1$, donc $\dfrac{7}{6} > \dfrac{9}{11}$.
La question d se règle par comparaison à $1$ : c'est plus rapide et plus sûr que de passer au dénominateur $66$.
Exercice 5 — Additions et soustractions
Calculer et simplifier si possible : a. $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}$ · b. $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}$ · c. $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4}$ · d. $1 - \dfrac{5}{8}$ · e. $\dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{15}$
Correction. a. $\dfrac{5}{7}$ b. $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ c. $\dfrac{8}{20} + \dfrac{15}{20} = \dfrac{23}{20}$ d. $\dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$ e. Dénominateur commun $30$ : $\dfrac{21}{30} - \dfrac{4}{30} = \dfrac{17}{30}$
En e, prendre $150$ (le produit) au lieu de $30$ aurait donné $\frac{105}{150} - \frac{20}{150} = \frac{85}{150}$ — juste, mais avec une simplification pénible à la fin.
Exercice 6 — Fraction d'une quantité
a. Calculer les $\dfrac{3}{4}$ de $48$ ; le $\dfrac{2}{5}$ de $35$ ; les $\dfrac{5}{6}$ de $54$. b. Une classe compte $30$ élèves ; $\dfrac{2}{5}$ d'entre eux font de l'allemand. Combien sont-ils ?
Correction. a. $(48\div4)\times3 = 12\times3 = 36$ ; $(35\div5)\times2 = 7\times2 = 14$ ; $(54\div6)\times5 = 9\times5 = 45$. b. $(30\div5)\times2 = 6\times2 = 12$ élèves.
Exercice 7 — Un problème de gâteau
Léa mange $\dfrac{1}{4}$ d'un gâteau, puis son frère en mange $\dfrac{1}{3}$. a. Quelle fraction du gâteau a été mangée ? b. Quelle fraction reste-t-il ? c. Le gâteau pesait $600$ g. Quelle masse reste-t-il ?
Correction. a. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}$. b. $1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{12}{12} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}$. c. $(600 \div 12) \times 5 = 50 \times 5 = 250$ g.
Contrôle : Léa a mangé $150$ g et son frère $200$ g ; $150 + 200 + 250 = 600$ g. Tout le gâteau est bien retrouvé.
Exercice 8 — Un trajet en trois étapes
Un randonneur parcourt $\dfrac{2}{5}$ d'un sentier le matin, puis $\dfrac{3}{10}$ l'après-midi. a. Quelle fraction du sentier lui reste-t-il ? b. A-t-il dépassé la moitié du sentier à la fin de la matinée ?
Correction. a. Parcouru : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{4}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$. Il reste $1 - \dfrac{7}{10} = \dfrac{3}{10}$. b. Non : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$ et $\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}$, donc $\dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2}$.
À retenir
$b \times \frac{a}{b} = a \qquad (b \neq 0)$ La fraction $\frac{a}{b}$ est un nombre : celui qui, multiplié par $b$, donne $a$.
$\frac{a}{b} = \frac{a\times k}{b\times k} = \frac{a \div k}{b \div k} \qquad (k \neq 0)$ C'est la propriété qui sert à simplifier comme à mettre au même dénominateur.
Division euclidienne du numérateur : $\frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5}$, d'où l'encadrement $3 < \frac{17}{5} < 4$.
Comparer : même dénominateur → on regarde les numérateurs ; même numérateur → le plus petit dénominateur gagne ; sinon, on met au même dénominateur. Et comparer à $1$ règle souvent la question d'un coup d'œil.
$\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$ Même dénominateur obligatoire, et on n'additionne jamais les dénominateurs.
Fraction d'une quantité : on divise par le dénominateur, on multiplie par le numérateur.
Chapitre suivant : les puissances, carrés et cubes.
Le programme complet de cinquième
Programme 2026 (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026), applicable en cinquième à la rentrée 2026-2027.
Nombres et calculs
- Opérations, priorités et distributivité
- Multiples, diviseurs et division euclidienne
- Les nombres relatifs
- Les fractions
- Puissances : carrés et cubes
- Le calcul littéral
- Mettre en équation et résoudre
Proportionnalité, repérage et fonctions
- La proportionnalité
- Proportions et pourcentages
- Repérage sur une droite et dans le plan
- Dépendance de deux grandeurs
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- La symétrie centrale
- Angles et droites parallèles
- Le triangle
- Les parallélogrammes
- Solides, volumes et aire du disque
La pensée informatique
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