Mathématiques — 4ème
Volumes de la pyramide et du cône — Maths Quatrième (chapitre 16)
Volume d'une pyramide et d'un cône de révolution, unités de volume et de contenance, conversions de grandeurs composées (vitesses et débits). Programme du…
Par ProfBot
Volumes de la pyramide et du cône
Chapitre 16 — Grandeurs et mesures · Quatrième
Un cornet de glace et un verre cylindrique de même diamètre et même hauteur : lequel contient le plus ? Le verre — et pas d'un peu : trois fois plus. Ce facteur $3$, qui surprend toujours, est la seule nouveauté de ce chapitre — mais il faut savoir d'où il vient, et surtout ne jamais l'oublier.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Volume d'un prisme, d'une pyramide, d'un cylindre, d'un cône, d'une boule ; correspondance entre unités de volume et de contenance ($1$ L $= 1$ dm³, $1\,000$ L $= 1$ m³) ; notion de grandeur produit et de grandeur quotient. Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment composées ; vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités ; effectuer des conversions.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il calcule le volume d'une pyramide, d'un cône » ; « il sait convertir des m³/s en L/min et inversement (débits), des km/h en m/s et inversement (vitesses) ».
Le volume de la boule est au programme de troisième.
1. Rappels : prisme et cylindre
Pour un solide « droit » — un prisme, un cylindre — le volume est le produit de l'aire de la base par la hauteur : $V = \mathcal{B}\times h.$
$V_{\text{pavé}} = L\times l\times h, \qquad V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 \times h.$
2. Pyramide et cône : le tiers
Formules.
$V_{\text{pyramide}} = \frac{\mathcal{B}\times h}{3}, \qquad V_{\text{cône}} = \frac{\pi r^2 \times h}{3}.$
($\mathcal{B}$ est l'aire de la base, $h$ la hauteur.)
D'où vient le $3$ ? Il faut exactement trois cônes pour remplir un cylindre de même base et même hauteur — c'est une expérience qu'on peut faire avec de l'eau.
Ne pas oublier de diviser par $3$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et la plus coûteuse : elle triple le résultat. Contrôle immédiat : le volume d'un cône doit être plus petit que celui du cylindre qui le contiendrait.
La hauteur n'est pas l'arête (ni la génératrice). Dans une pyramide ou un cône, $h$ est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement — pas la longueur du côté oblique, qui est plus grande. Quand l'énoncé donne l'arête, il faut d'abord retrouver $h$ par Pythagore.
3. Unités de volume et de contenance
$1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3, \qquad 1\,000 \text{ L} = 1 \text{ m}^3, \qquad 1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3.$
Les volumes se convertissent de $1\,000$ en $1\,000$. $1$ m³ $= 1\,000$ dm³, et non $100$. On multiplie par $1\,000$ d'une unité de volume à la suivante (contre $100$ pour les aires et $10$ pour les longueurs) — parce qu'il y a trois dimensions.
4. Les grandeurs composées
Une vitesse (km/h, m/s) et un débit (m³/s, L/min) sont des grandeurs quotients : deux unités, une au-dessus, une en dessous.
Méthode. On convertit chaque unité — celle du haut et celle du bas.
Vitesses. $1$ m/s : en une heure ($3\,600$ s), on parcourt $3\,600$ m $= 3{,}6$ km. Donc $1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/h}, \qquad\text{et}\qquad 1 \text{ km/h} = \frac{1}{3{,}6} \text{ m/s}.$
Débits. $1$ m³/s : en une minute ($60$ s), il passe $60$ m³ $= 60\,000$ L. Donc $1 \text{ m}^3\text{/s} = 60\,000 \text{ L/min}.$
On MULTIPLIE pour passer de m/s à km/h, on DIVISE dans l'autre sens. Le repère : $100$ km/h font environ $28$ m/s, pas $360$. Un résultat aberrant se repère immédiatement si l'on garde en tête cet ordre de grandeur.
Contrôler les unités du résultat. (m/s) $\times$ s $=$ m ✓ ; (m³/s) $\times$ s $=$ m³ ✓. Si le calcul produit des « km·h », c'est qu'on a multiplié au lieu de diviser.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Volumes simples
Calculer, au dixième près : a. le volume d'une pyramide de base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $10$ cm ; b. celui d'un cône de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm ; c. celui du cylindre de même base et même hauteur que le cône.
Correction. a. $\mathcal{B} = 6^2 = 36$ cm², donc $V = \dfrac{36\times10}{3} = 120$ cm³. b. $V = \dfrac{\pi\times9\times10}{3} = 30\pi \approx 94{,}2$ cm³. c. $V = \pi\times9\times10 = 90\pi \approx 282{,}7$ cm³. Le cône vaut bien le tiers du cylindre ✓.
Exercice 2 — Retrouver la hauteur
Une pyramide a une base rectangulaire de $8$ cm sur $5$ cm et un volume de $80$ cm³. Quelle est sa hauteur ?
Correction. $\mathcal{B} = 8\times5 = 40$ cm². De $V = \dfrac{\mathcal{B}h}{3}$ on tire $h = \frac{3V}{\mathcal{B}} = \frac{3\times80}{40} = 6 \text{ cm}.$ Le $3$ passe au numérateur : c'est là qu'on se trompe le plus souvent.
Exercice 3 — Un cornet
Un cornet de glace conique a un diamètre de $6$ cm et une hauteur de $12$ cm. a. Quel est son volume, au cm³ près ? b. Combien de cornets peut-on remplir avec $1$ litre de glace ?
Correction. a. Le rayon vaut $3$ cm (et non $6$), donc $V = \frac{\pi\times3^2\times12}{3} = 36\pi \approx 113 \text{ cm}^3.$ b. $1$ L $= 1\,000$ cm³, donc $\dfrac{1\,000}{113} \approx 8{,}8$ : on peut remplir 8 cornets entiers.
Attention au diamètre : utiliser $6$ à la place de $3$ multiplierait le volume par $4$.
Exercice 4 — Conversions de volume
a. $2{,}5$ m³ en litres · b. $750$ cm³ en litres · c. $3$ L en cm³.
Correction. a. $2\,500$ L · b. $0{,}75$ L · c. $3\,000$ cm³.
Exercice 5 — Vitesses
a. Convertir $90$ km/h en m/s. b. Convertir $15$ m/s en km/h. c. Un piéton marche à $5$ km/h. Quelle distance parcourt-il en $12$ minutes ?
Correction. a. $\dfrac{90}{3{,}6} = 25$ m/s. b. $15\times3{,}6 = 54$ km/h. c. $12$ min $= 0{,}2$ h, donc $d = 5\times0{,}2 = 1$ km.
Dans c, $12$ minutes ne font pas $0{,}12$ h : il faut diviser par $60$.
Exercice 6 — Débits
Un robinet a un débit de $0{,}25$ L/s. a. Convertir ce débit en L/min. b. Combien de temps faut-il pour remplir une baignoire de $150$ L ?
Correction. a. $0{,}25\times60 = 15$ L/min. b. $\dfrac{150}{15} = 10$ minutes. Contrôle des unités : L $\div$ (L/min) $=$ min ✓.
Exercice 7 — Un débit de rivière
Le débit d'une rivière est de $12$ m³/s. a. Convertir en L/min. b. Quel volume s'écoule en $5$ minutes, en m³ ?
Correction. a. $12$ m³/s $= 12\,000$ L/s $= 12\,000\times60 = 720\,000$ L/min. b. $5$ min $= 300$ s, donc $12\times300 = 3\,600$ m³. Contrôle : $3\,600$ m³ $= 3\,600\,000$ L, et $720\,000\times5 = 3\,600\,000$ ✓ — les deux chemins concordent.
Exercice 8 — Une pyramide avec Pythagore
Une pyramide à base carrée de côté $6$ cm a des arêtes latérales de $7$ cm. Calculer sa hauteur, puis son volume.
Correction. Le sommet est à l'aplomb du centre de la base. La demi-diagonale du carré vaut $\frac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt2 \approx 4{,}24 \text{ cm}.$ Par Pythagore dans le triangle rectangle (hauteur, demi-diagonale, arête) : $h^2 = 7^2 - (3\sqrt2)^2 = 49 - 18 = 31, \qquad h = \sqrt{31} \approx 5{,}57 \text{ cm}.$ D'où $V = \frac{36\times\sqrt{31}}{3} = 12\sqrt{31} \approx 66{,}8 \text{ cm}^3.$
L'arête ($7$ cm) est bien plus longue que la hauteur ($5{,}57$ cm) : la confondre aurait surestimé le volume de $26\,\%$.
À retenir
$V_{\text{prisme}} = \mathcal{B}h \quad\cdot\quad V_{\text{cylindre}} = \pi r^2 h$ $V_{\text{pyramide}} = \frac{\mathcal{B}h}{3} \quad\cdot\quad V_{\text{cône}} = \frac{\pi r^2 h}{3}$
Le tiers : trois cônes remplissent le cylindre de même base et même hauteur. Ne jamais l'oublier.
La hauteur n'est pas l'arête — quand l'énoncé donne l'arête, on passe par Pythagore. Le cône se calcule avec un rayon, pas un diamètre.
$1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}, \qquad 1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$ Les volumes se convertissent de $1\,000$ en $1\,000$.
Grandeurs composées : on convertit les deux unités. $1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/h}, \qquad 1 \text{ m}^3\text{/s} = 60\,000 \text{ L/min}$ Et l'on contrôle l'unité du résultat.
Fin du programme de quatrième. Les seize chapitres se répondent : le calcul littéral sert les équations, la proportionnalité sert Thalès, Pythagore appelle les racines carrées — et tout cela prépare la troisième.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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