Mathématiques — 4ème
Fractions et nombres rationnels — Maths Quatrième (chapitre 2)
Addition, soustraction, multiplication et division de fractions, y compris négatives, inverse d'un nombre et résolution de problèmes. Programme du cycle 4,…
Par ProfBot
Fractions et nombres rationnels
Chapitre 2 — Nombres et calculs · Quatrième
En cinquième, on additionnait des fractions de même dénominateur. En quatrième, on fait les quatre opérations, avec des fractions de signe quelconque — et l'on découvre que la règle la plus simple n'est pas celle qu'on croit : multiplier deux fractions est plus facile que les additionner.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Fractions, nombres rationnels (positifs et négatifs), notion d'inverse ; somme, différence, produit, quotient de deux nombres rationnels. Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels ; repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée ; calculer avec des fractions.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il calcule avec les nombres rationnels : addition, soustraction, multiplication, division » ; « il utilise l'inverse pour calculer » ; « il résout des problèmes avec des nombres rationnels ».
1. Ce qu'est une fraction
Définition. Pour $b \neq 0$, le quotient $\dfrac ab$ est l'unique nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. Un nombre qui s'écrit ainsi avec $a$ et $b$ entiers s'appelle un nombre rationnel.
Une fraction est UN nombre, pas deux. $\frac34$ n'est pas « $3$ et $4$ » : c'est $0{,}75$, un point précis sur la droite graduée. L'oublier, c'est se mettre à additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Fractions égales : multiplier (ou diviser) en haut et en bas par le même nombre non nul ne change pas la fraction. $\frac23 = \frac46 = \frac{8}{12}, \qquad \frac{140}{135} = \frac{28}{27}.$
Signe d'une fraction : $\dfrac{-3}{4} = \dfrac{3}{-4} = -\dfrac34$. On écrit de préférence le signe devant la fraction.
2. Additionner et soustraire
Règle. On ne peut additionner que des fractions de même dénominateur :
$\frac ac + \frac bc = \frac{a+b}{c}.$
Sinon, on les réduit d'abord au même dénominateur.
$\frac52 - \frac73 = \frac{15}{6} - \frac{14}{6} = \frac{1}{6}.$
Trouver le dénominateur commun : le plus simple est le produit des deux, mais le plus petit multiple commun donne des nombres plus petits. $\frac15 - \frac76 = \frac{6}{30} - \frac{35}{30} = -\frac{29}{30}.$
Un entier est une fraction de dénominateur $1$ : $\frac53 - 6 = \frac53 - \frac{18}{3} = -\frac{13}{3}.$
$\frac12 + \frac13$ ne fait pas $\frac25$. Contrôle en trois secondes : $\frac12$ vaut déjà $0{,}5$, donc la somme dépasse $0{,}5$ — alors que $\frac25 = 0{,}4$ lui est inférieur. Une estimation décimale détecte l'erreur sans même faire le calcul.
3. Multiplier
Règle. $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{a\times c}{b\times d}.$
Aucun dénominateur commun n'est nécessaire.
La figure explique pourquoi : $\frac23\times\frac34$ est l'aire commune à une bande de $\frac34$ de large et une bande de $\frac23$ de haut — soit $6$ carreaux sur $12$, c'est-à-dire $\frac12$.
On simplifie AVANT de multiplier. Pour $\frac{3}{7}\times\frac{14}{5}$, inutile de calculer $\frac{42}{35}$ puis de simplifier : on voit tout de suite que $7$ divise $14$.
$\frac{3}{7}\times\frac{14}{5} = \frac{3\times 7\times 2}{7\times 5} = \frac{6}{5}.$
Cela évite les grands nombres — et les erreurs qui vont avec.
4. Diviser : l'inverse
Définition. Deux nombres sont inverses lorsque leur produit vaut $1$. L'inverse de $\dfrac ab$ (non nul) est $\dfrac ba$.
Règle. Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :
$\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc.$
$\frac59 \div \frac12 = \frac59\times\frac21 = \frac{10}{9}.$
Ne pas confondre OPPOSÉ et INVERSE. L'opposé de $\frac34$ est $-\frac34$ (leur somme vaut $0$) ; son inverse est $\frac43$ (leur produit vaut $1$). Et zéro n'a pas d'inverse : aucun nombre multiplié par $0$ ne donne $1$.
Diviser peut AGRANDIR. $\frac59 \div \frac12 = \frac{10}{9}$, plus grand que $\frac59$ : diviser par un nombre inférieur à $1$, c'est demander « combien de fois cette petite part tient-elle ? » — la réponse est grande. « Diviser, ça diminue » est une intuition d'école primaire, fausse ici.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Fractions égales
Parmi $\dfrac{14}{49}$, $\dfrac{22}{55}$, $\dfrac{34}{85}$, $\dfrac{62}{155}$, lesquelles sont égales ?
Correction. On rend chacune irréductible : $\frac{14}{49} = \frac{2\times7}{7\times7} = \frac27, \qquad \frac{22}{55} = \frac{2\times11}{5\times11} = \frac25,$ $\frac{34}{85} = \frac{2\times17}{5\times17} = \frac25, \qquad \frac{62}{155} = \frac{2\times31}{5\times31} = \frac25.$ Les trois dernières sont égales (elles valent $\frac25$) ; la première ne l'est pas.
Exercice 2 — Calcul mental
Calculer mentalement : a. $\dfrac52 - \dfrac73$ · b. $\dfrac85 - 7$ · c. $\dfrac37\times\dfrac{14}{5}$ · d. $\dfrac59 \div \dfrac12$.
Correction. a. $\dfrac{15}{6} - \dfrac{14}{6} = \dfrac16$. b. $\dfrac85 - \dfrac{35}{5} = -\dfrac{27}{5}$. c. $\dfrac{6}{5}$ (en simplifiant par $7$ avant de multiplier). d. $\dfrac59\times2 = \dfrac{10}{9}$.
Exercice 3 — Calcul écrit
Calculer et donner le résultat sous forme irréductible. a. $\dfrac53 - 6$ · b. $\dfrac15 - \dfrac76$ · c. $\dfrac12 - \dfrac13$ · d. $\dfrac74 \div 9$.
Correction. a. $\dfrac53 - \dfrac{18}{3} = -\dfrac{13}{3}$. b. $\dfrac{6}{30} - \dfrac{35}{30} = -\dfrac{29}{30}$. c. $\dfrac36 - \dfrac26 = \dfrac16$. d. $\dfrac74\times\dfrac19 = \dfrac{7}{36}$.
Exercice 4 — Avec des signes
Calculer : a. $-\dfrac23 + \dfrac16$ · b. $\left(-\dfrac35\right)\times\left(-\dfrac{10}{9}\right)$ · c. $\dfrac{-4}{7}\div\dfrac{2}{7}$.
Correction. a. $-\dfrac46 + \dfrac16 = -\dfrac36 = -\dfrac12$. b. Deux facteurs négatifs : le résultat est positif. $\frac35\times\frac{10}{9} = \frac{3\times 5\times 2}{5\times 3\times 3} = \frac23.$ c. $\dfrac{-4}{7}\times\dfrac{7}{2} = -\dfrac{28}{14} = -2$.
Dans c, le résultat est un entier : c'est fréquent, et il faut le simplifier jusqu'au bout.
Exercice 5 — Priorités
Calculer $\dfrac23 + \dfrac34\times\dfrac89$.
Correction. La multiplication d'abord : $\frac34\times\frac89 = \frac{3\times 4\times 2}{4\times 3\times 3} = \frac23, \qquad\text{puis}\qquad \frac23+\frac23 = \frac43.$
En calculant de gauche à droite, on aurait trouvé $\left(\frac23+\frac34\right)\times\frac89 = \frac{17}{12}\times\frac89 = \frac{34}{27}$ — un résultat faux. Les priorités valent aussi pour les fractions.
Exercice 6 — Un problème
Un réservoir est rempli aux $\dfrac35$ de sa capacité. On en retire $\dfrac14$ de la capacité totale. a. Quelle fraction de la capacité reste-t-il ? b. Si le réservoir contient $200$ litres au total, combien de litres reste-t-il ?
Correction. a. $\dfrac35 - \dfrac14 = \dfrac{12}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{7}{20}$. b. $\dfrac{7}{20}\times200 = \dfrac{1\,400}{20} = 70$ litres.
Contrôle : $\frac35$ de $200$ font $120$ L, et $\frac14$ de $200$ font $50$ L ; $120-50 = 70$ ✓.
Exercice 7 — Combien de parts ?
Une bouteille contient $\dfrac34$ de litre de sirop. On veut la répartir en verres de $\dfrac{1}{8}$ de litre. Combien de verres peut-on remplir ?
Correction. On cherche combien de fois $\frac18$ tient dans $\frac34$ : c'est une division. $\frac34 \div \frac18 = \frac34\times\frac81 = \frac{24}{4} = 6.$ On peut remplir 6 verres.
Voilà une division dont le résultat est plus grand que le nombre de départ — parce qu'on divise par un nombre inférieur à $1$.
À retenir
Définition : $\frac ab$ est l'unique nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. Une fraction est un nombre.
Addition : dénominateur commun obligatoire. $\frac ac+\frac bc = \frac{a+b}{c}$
Multiplication : aucun dénominateur commun ; on simplifie avant de multiplier. $\frac ab\times\frac cd = \frac{ac}{bd}$
Division : on multiplie par l'inverse. $\frac ab \div \frac cd = \frac ab\times\frac dc$
Opposé (somme $=0$) $\neq$ inverse (produit $=1$). Zéro n'a pas d'inverse.
Priorités : $\times$ et $\div$ avant $+$ et $-$, même avec des fractions.
Le réflexe : estimer en décimal pour vérifier l'ordre de grandeur du résultat.
Chapitre suivant : les puissances et la notation scientifique.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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