Mathématiques — 4ème
Équations du premier degré — Maths Quatrième (chapitre 7)
Vocabulaire des équations, tester une valeur, règles de résolution, équations du premier degré et mise en équation de problèmes. Programme du cycle 4, avec…
Par ProfBot
Les équations du premier degré
Chapitre 7 — Nombres et calculs · Quatrième
Résoudre une équation, ce n'est pas « faire passer de l'autre côté en changeant le signe » — c'est maintenir un équilibre. Une équation est une balance : tout ce qu'on retire d'un plateau, il faut le retirer de l'autre. Cette image explique toutes les règles du chapitre, et dispense de les apprendre par cœur.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Notions d'inconnue et d'équation. Mettre un problème en équation en vue de sa résolution ; résoudre algébriquement des équations du premier degré.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il introduit une lettre pour désigner une valeur inconnue et met un problème en équation » ; « il teste si un nombre est solution d'une équation » ; « il résout algébriquement une équation du premier degré ».
Les équations produits et les équations du type $x^2 = a$ sont au programme de troisième.
1. Vocabulaire
Définition. Une équation est une égalité contenant une lettre, l'inconnue. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie ; ces valeurs sont les solutions.
Tester une valeur ne demande aucune méthode : on calcule les deux membres séparément, puis on compare.
On ne « remplace » pas dans toute l'égalité d'un coup. On calcule le membre de gauche dans son coin, le membre de droite dans le sien, et l'on regarde s'ils tombent sur le même nombre. Écrire une suite d'égalités mélangeant les deux membres conduit à « démontrer » ce qu'on cherche à tester.
Une identité n'est pas une équation. $k(a+b) = ka+kb$ est vraie pour toutes les valeurs : c'est une identité. $5x-6 = 3x+2$ n'est vraie que pour certaines valeurs, qu'on cherche : c'est une équation.
2. Les règles de résolution
Propriétés. On ne change pas les solutions d'une équation :
- en ajoutant ou retranchant un même nombre aux deux membres ;
- en multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul.
Méthode. On rassemble les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise.
$3x + 2 = 11 \ \Longrightarrow\ 3x = 9 \ \Longrightarrow\ x = 3.$
Avec des $x$ des deux côtés : $2x + 5 = -x - 4 \ \Longrightarrow\ 2x + x = -4 - 5 \ \Longrightarrow\ 3x = -9 \ \Longrightarrow\ x = -3.$
« Ça passe de l'autre côté » cache la vraie opération. On ne « fait pas passer » : on ajoute $x$ aux deux membres, puis on retranche $5$ aux deux membres. La formule mnémotechnique marche, mais elle s'effondre dès qu'il y a une multiplication — la règle de la balance, elle, ne tombe jamais en défaut.
Diviser par zéro est interdit. Diviser les deux membres par $3$ est licite ; par $x$, jamais — $x$ pourrait valoir $0$.
Vérifier la solution est une étape à part entière : on remplace dans l'équation de départ. Pour $x = -3$ : à gauche $2\times(-3)+5 = -1$ ; à droite $-(-3)-4 = -1$ ✓.
Avec des parenthèses, on développe d'abord : $5(x - 2) = 3x + 4 \ \Longrightarrow\ 5x - 10 = 3x + 4 \ \Longrightarrow\ 2x = 14 \ \Longrightarrow\ x = 7.$
3. Mettre un problème en équation
Méthode en quatre temps.
1. Choisir l'inconnue et l'écrire : « soit $x$ le nombre de… ».
2. Traduire l'énoncé en une égalité.
3. Résoudre l'équation.
4. Revenir au problème : la solution répond-elle à la question ? est-elle réaliste ?
La première étape est la plus importante, et la plus bâclée. Écrire noir sur blanc « soit $x$ le nombre de billes de Léa » évite de confondre en cours de route ce que la lettre désigne. Un problème mal posé ne se rattrape pas par un calcul juste.
4. Exercices corrigés
Exercice 1 — Tester
$4$ est-il solution des équations suivantes ? a. $3x + 2 = 8$ · b. $5x - 6 = 3x + 2$ · c. $x^2 - 9 = 3x - 5$.
Correction. a. Gauche : $3\times4+2 = 14$. Droite : $8$. $14 \neq 8$ : non. b. Gauche : $5\times4-6 = 14$. Droite : $3\times4+2 = 14$. Oui. c. Gauche : $4^2-9 = 7$. Droite : $3\times4-5 = 7$. Oui.
Exercice 2 — Équations rapides
Résoudre : a. $4x + 2 = 0$ · b. $5x - 7 = 3$ · c. $-3x = 12$ · d. $x + 9 = 5$.
Correction. a. $4x = -2$, donc $x = -\dfrac12 = -0{,}5$. b. $5x = 10$, donc $x = 2$. c. $x = \dfrac{12}{-3} = -4$. d. $x = -4$.
Exercice 3 — Des $x$ des deux côtés
Résoudre : a. $2x + 5 = -x - 4$ · b. $7x - 3 = 4x + 12$ · c. $6 - 2x = 3x + 21$.
Correction. a. $3x = -9$, donc $x = -3$. b. $3x = 15$, donc $x = 5$. c. $6 - 21 = 3x + 2x$, soit $-15 = 5x$ et $x = -3$.
Vérification de c : à gauche $6 - 2\times(-3) = 12$ ; à droite $3\times(-3)+21 = 12$ ✓.
Exercice 4 — Avec des parenthèses
Résoudre : a. $5(x-2) = 3x + 4$ · b. $3(2x+1) = 2(x+7)$.
Correction. a. $5x - 10 = 3x+4$, donc $2x = 14$ et $x = 7$. b. $6x + 3 = 2x + 14$, donc $4x = 11$ et $x = \dfrac{11}{4} = 2{,}75$.
Le résultat de b n'est pas entier — c'est parfaitement normal, et l'on donne la valeur exacte $\frac{11}{4}$.
Exercice 5 — Un nombre mystère
Je pense à un nombre, je le multiplie par $5$, je retranche $7$ et j'obtiens $3$. Quel est ce nombre ?
Correction. Soit $x$ le nombre cherché. L'énoncé se traduit par $5x - 7 = 3 \ \Longrightarrow\ 5x = 10 \ \Longrightarrow\ x = 2.$ Vérification : $5\times2 - 7 = 3$ ✓.
Exercice 6 — Un problème d'âges
Marie a $12$ ans, sa mère $38$ ans. Dans combien d'années la mère aura-t-elle exactement le double de l'âge de Marie ?
Correction. Soit $n$ le nombre d'années cherché. Dans $n$ ans, Marie aura $12+n$ ans et sa mère $38+n$. On veut $38 + n = 2(12+n) \ \Longrightarrow\ 38+n = 24+2n \ \Longrightarrow\ 14 = n.$ Dans 14 ans : Marie aura $26$ ans et sa mère $52$ — c'est bien le double ✓.
Erreur classique : écrire $2(38+n) = 12+n$, qui inverse les rôles. Toujours se demander qui est le double de qui.
Exercice 7 — Le récupérateur
Un jardinier paie $545$ € d'eau par an. Un récupérateur d'eau coûte $199$ € et lui ferait économiser $42$ € par an, tout compris. Au bout de combien d'années l'installation serait-elle rentable ?
Correction. Soit $n$ le nombre d'années. Sans récupérateur, la dépense vaut $545n$ ; avec, elle vaut $199 + (545-42)n = 199 + 503n$. Les deux coûts sont égaux quand $545n = 199 + 503n \ \Longrightarrow\ 42n = 199 \ \Longrightarrow\ n = \frac{199}{42} \approx 4{,}74.$ Comme $n$ est un nombre entier d'années, l'installation devient rentable à partir de la 5ᵉ année.
Vérification : après $4$ ans, $2\,180$ € contre $2\,211$ € (encore perdant) ; après $5$ ans, $2\,725$ € contre $2\,714$ € (gagnant) ✓.
Exercice 8 — Un périmètre
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $5$ cm et un périmètre de $46$ cm. Quelles sont ses dimensions ?
Correction. Soit $x$ la largeur, en cm. La longueur vaut $x+5$, et $2\big(x + (x+5)\big) = 46 \ \Longrightarrow\ 4x + 10 = 46 \ \Longrightarrow\ x = 9.$ La largeur mesure $9$ cm et la longueur $14$ cm. Vérification : $2(9+14) = 46$ ✓ et $14-9 = 5$ ✓.
À retenir
Tester une valeur : on calcule les deux membres séparément, puis on compare.
Une équation est un équilibre : on ajoute, retranche, multiplie ou divise des deux côtés — jamais par $0$, jamais par une expression contenant $x$.
Méthode : les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise. Puis on vérifie dans l'équation de départ.
Avec des parenthèses : on développe d'abord.
Mettre en équation : nommer l'inconnue (par écrit !) · traduire · résoudre · revenir au problème.
La solution n'est pas forcément entière : $\frac{11}{4}$ est une réponse parfaitement valable.
Chapitre suivant : la proportionnalité.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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