Mathématiques — 4ème
Statistiques — Maths Quatrième (chapitre 10)
Effectifs et fréquences, moyenne, médiane d'une série de petit effectif et construction d'un diagramme circulaire. Programme du cycle 4, avec exercices…
Par ProfBot
Statistiques : moyenne, médiane, diagrammes
Chapitre 10 — Organisation et gestion de données · Quatrième
Dans une petite entreprise, le salaire moyen est de $3\,720$ € — et pourtant quatre employés sur cinq gagnent moins de $2\,000$ €. Les deux affirmations sont vraies en même temps. Résumer une série par un seul nombre déforme toujours quelque chose : la médiane, que l'on découvre cette année, corrige précisément ce défaut.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Effectifs, fréquences ; indicateurs de position : moyenne, médiane. Lire et interpréter des données sous forme de tableau ou de diagramme (en bâtons, circulaire, histogramme) ; calculer des effectifs et des fréquences ; calculer et interpréter des indicateurs de position.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il lit, interprète et représente des données sous forme de diagrammes circulaires » ; « il calcule et interprète la médiane d'une série de données de petit effectif total » (pair ou impair, effectif $\leqslant 30$).
1. Effectifs et fréquences
Définitions. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. La fréquence est
$f = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}},$
qu'on exprime en décimal, en fraction ou en pourcentage.
La somme des fréquences vaut TOUJOURS $1$ (ou $100\,\%$). C'est le contrôle immédiat : si elle ne tombe pas sur $1$ aux arrondis près, un effectif a été oublié.
2. Le diagramme circulaire
Méthode. Le disque entier représente l'effectif total et mesure $360°$. L'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif :
$\text{angle} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\times360°.$
Exemple. Les $36$ adhérents d'un club d'échecs :
| âge | $11$ | $13$ | $14$ | $15$ | TOTAL |
|---|---|---|---|---|---|
| effectif | $5$ | $20$ | $9$ | $2$ | $\mathbf{36}$ |
| angle | $50°$ | $200°$ | $90°$ | $20°$ | $\mathbf{360°}$ |
$\frac{20}{36}\times360 = 200°.$
Le contrôle est intégré : la somme des angles doit faire exactement $360°$. Si elle donne $358°$ ou $362°$, c'est qu'un arrondi a dérapé ou qu'un calcul est faux. Aucun autre diagramme n'offre une vérification aussi immédiate.
Un diagramme circulaire montre des PROPORTIONS, pas des effectifs. Deux clubs de tailles très différentes peuvent avoir exactement le même diagramme. Si la question porte sur des nombres, il faut revenir au tableau.
3. La moyenne
Définition. $\bar x = \frac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{effectif total}}$
Avec des effectifs, c'est une moyenne pondérée :
$\bar x = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + \cdots}{n_1+n_2+\cdots}.$
Pour le club d'échecs : $\bar x = \frac{5\times11 + 20\times13 + 9\times14 + 2\times15}{36} = \frac{471}{36} \approx 13{,}1 \text{ ans}.$
On ne fait PAS la moyenne des valeurs sans tenir compte des effectifs. $\frac{11+13+14+15}{4} = 13{,}25$ serait la moyenne d'un club de quatre adhérents, un par âge. Ici, l'âge $13$ pèse vingt fois plus que l'âge $15$ — c'est tout l'objet de la pondération.
4. La médiane
Définition. La médiane est la valeur qui partage la série en deux moitiés de même effectif, une fois les valeurs rangées dans l'ordre croissant :
- effectif impair : c'est la valeur du milieu ;
- effectif pair : c'est la moyenne des deux valeurs centrales.
RANGER LA SÉRIE d'abord — c'est l'oubli qui fausse tout. Sur des données brutes non triées, « la valeur du milieu du tableau » n'a aucun sens.
La médiane n'est pas toujours une valeur de la série. Avec un effectif pair, elle peut valoir $10{,}5$ alors qu'aucune donnée ne vaut $10{,}5$. Ce n'est pas une erreur : la médiane est une position, pas nécessairement une observation.
Moyenne ou médiane ?
Sur les salaires $1\,500$ ; $1\,600$ ; $1\,700$ ; $1\,800$ ; $12\,000$ € : $\bar x = \frac{18\,600}{5} = 3\,720 \text{ €}, \qquad \text{médiane} = 1\,700 \text{ €}.$
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non. Ici, quatre salaires sur cinq sont inférieurs à la moyenne. Quand une série contient une valeur très éloignée des autres, c'est la médiane qui décrit le mieux la situation courante — et c'est pour cela que les statistiques officielles sur les salaires publient toujours les deux.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Diagramme circulaire
Construire le diagramme circulaire des adhérents du club :
| âge | $11$ | $13$ | $14$ | $15$ |
|---|---|---|---|---|
| effectif | $5$ | $20$ | $9$ | $2$ |
Correction. L'effectif total vaut $36$. Les angles sont : $\frac{5}{36}\times360 = 50°, \quad \frac{20}{36}\times360 = 200°, \quad \frac{9}{36}\times360 = 90°, \quad \frac{2}{36}\times360 = 20°.$ Contrôle : $50+200+90+20 = 360°$ ✓.
Exercice 2 — Lire un diagramme
Sur un diagramme circulaire représentant $200$ personnes, un secteur mesure $72°$. Combien de personnes représente-t-il ?
Correction. La proportion vaut $\dfrac{72}{360} = 0{,}2 = 20\,\%$, donc $0{,}2\times200 = 40 \text{ personnes}.$
Exercice 3 — Médiane, effectif impair
Déterminer la médiane de : $12\ ;\ 7\ ;\ 15\ ;\ 9\ ;\ 4$.
Correction. On range d'abord : $4\ ;\ 7\ ;\ \mathbf{9}\ ;\ 12\ ;\ 15$. L'effectif est impair ($5$ valeurs), la médiane est la $3^{\text{e}}$ : $9$.
Exercice 4 — Médiane, effectif pair
Déterminer la médiane de : $4\ ;\ 7\ ;\ 9\ ;\ 12\ ;\ 15\ ;\ 20$.
Correction. L'effectif est pair ($6$ valeurs) : la médiane est la moyenne des $3^{\text{e}}$ et $4^{\text{e}}$ : $\frac{9+12}{2} = 10{,}5.$
Aucune donnée ne vaut $10{,}5$ — et c'est normal.
Exercice 5 — Moyenne pondérée
Voici les notes d'un devoir :
| note | $6$ | $9$ | $12$ | $15$ | $18$ |
|---|---|---|---|---|---|
| effectif | $2$ | $5$ | $8$ | $4$ | $1$ |
a. Combien d'élèves ont composé ? b. Calculer la moyenne. c. Déterminer la médiane.
Correction. a. $2+5+8+4+1 = 20$ élèves. b. $\bar x = \frac{2\times6+5\times9+8\times12+4\times15+1\times18}{20} = \frac{12+45+96+60+18}{20} = \frac{231}{20} = 11{,}55.$ c. L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des $10^{\text{e}}$ et $11^{\text{e}}$ notes. Les effectifs cumulés valent $2$, $7$, $15$, $19$, $20$ : ces deux notes valent toutes deux $12$. La médiane est donc $12$.
La médiane ($12$) dépasse la moyenne ($11{,}55$) : les deux notes basses tirent la moyenne vers le bas.
Exercice 6 — Interpréter
Les salaires d'une entreprise (en €) : $1\,500$ ; $1\,600$ ; $1\,700$ ; $1\,800$ ; $12\,000$. a. Calculer la moyenne et la médiane. b. Lequel des deux décrit le mieux la situation des salariés ?
Correction. a. Somme : $18\,600$, donc $\bar x = 3\,720$ €. Série rangée, effectif impair : la médiane est la $3^{\text{e}}$ valeur, soit $1\,700$ €. b. La médiane. Personne ne gagne $3\,720$ € et quatre salariés sur cinq gagnent moins : c'est le seul salaire de $12\,000$ € qui tire la moyenne vers le haut.
Exercice 7 — Compléter
Une série de $6$ nombres a pour moyenne $9$. Cinq d'entre eux valent $5$, $7$, $8$, $11$ et $14$. Quel est le sixième ?
Correction. La somme des six nombres vaut $6\times9 = 54$. Or $5+7+8+11+14 = 45$, donc le sixième vaut $54 - 45 = 9.$ La moyenne donne accès à la somme, et la somme au terme manquant.
À retenir
$\text{fréquence} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}, \qquad \text{somme des fréquences} = 1$
Diagramme circulaire : $\text{angle} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\times360°$ La somme des angles doit faire exactement $360°$ : c'est le contrôle intégré.
Moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif — jamais la moyenne des seules valeurs.
Médiane : série rangée · effectif impair → valeur du milieu · effectif pair → moyenne des deux valeurs centrales. Elle n'est pas forcément une valeur de la série.
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non. On donne souvent les deux.
Chapitre suivant : les probabilités.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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