Mathématiques — 4ème
Théorème de Thalès et agrandissement — Maths Quatrième (chapitre 13)
Configuration des triangles emboîtés, théorème de Thalès et sa réciproque, agrandissement et réduction, effet sur les longueurs, les aires et les volumes.…
Par ProfBot
Théorème de Thalès et agrandissements
Chapitre 13 — Espace et géométrie · Quatrième
Comment mesurer la hauteur d'un arbre sans y monter ? En comparant son ombre à celle d'un bâton. C'est le principe du théorème de Thalès : quand une droite parallèle à un côté coupe un triangle, elle en découpe un plus petit dont les côtés sont proportionnels. Le même raisonnement fait fonctionner les maquettes, les cartes et les photocopies agrandies.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Le théorème de Thalès et sa réciproque ; effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les angles, les aires et les volumes. Utiliser un rapport de réduction ou d'agrandissement (architecture, maquettes) pour calculer des longueurs, des aires, des volumes ; faire le lien entre la proportionnalité et certaines configurations géométriques.
Attendus de fin d'année de 4e : le théorème de Thalès et sa réciproque dans la configuration des triangles emboîtés ; « il construit un agrandissement ou une réduction d'une figure donnée ».
La configuration du papillon est au programme de troisième.
1. La configuration des triangles emboîtés
Les ingrédients à repérer : un triangle $ABC$, un point $M$ sur $[AB]$, un point $N$ sur $[AC]$, et la droite $(MN)$ parallèle à $(BC)$. Le petit triangle $AMN$ est « emboîté » dans le grand $ABC$.
Sans parallèles, pas de Thalès. Si l'énoncé ne dit pas que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles — ou ne permet pas de le démontrer — le théorème ne s'applique pas, même si la figure y ressemble. C'est la première chose à vérifier, avant d'écrire quoi que ce soit.
2. Le théorème
Théorème de Thalès. Dans la configuration ci-dessus, si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, alors
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.$
Sur la figure : $AM = 4$, $AB = 8$, $AN = 3$, $AC = 6$, $MN = 3{,}5$, $BC = 7$, et $\frac48 = \frac36 = \frac{3{,}5}{7} = \frac12.$
Toutes les fractions partent du sommet $A$ — sauf la troisième. $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ se lisent depuis le point d'intersection ; $\frac{MN}{BC}$ relie les deux parallèles. C'est cette troisième fraction qu'on oublie, et c'est souvent la seule qui permet de calculer la longueur cherchée.
Le petit triangle au NUMÉRATEUR, le grand au DÉNOMINATEUR — et dans le même ordre pour les trois fractions. Mélanger les sens (une fraction à l'endroit, une à l'envers) donne des résultats faux sans que rien ne le signale.
Méthode de calcul. On écrit les trois rapports, on ne garde que les deux qui contiennent la longueur cherchée et trois longueurs connues, puis on fait un produit en croix.
Exemple. Si $AM = 4$, $AB = 10$ et $BC = 15$ : $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \ \Longrightarrow\ \frac{4}{10} = \frac{MN}{15} \ \Longrightarrow\ MN = \frac{4\times15}{10} = 6.$
3. La réciproque
Réciproque du théorème de Thalès. Si $A$, $M$, $B$ sont alignés dans le même ordre que $A$, $N$, $C$, et si
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},$
alors $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Exemple. $AM = 2{,}4$, $AB = 6$, $AN = 3{,}2$, $AC = 8$ : $\frac{2{,}4}{6} = 0{,}4 \qquad\text{et}\qquad \frac{3{,}2}{8} = 0{,}4.$ Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : $(MN) \parallel (BC)$.
Deux calculs SÉPARÉS, puis une comparaison. Écrire d'emblée « $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ » reviendrait à supposer ce qu'on veut démontrer. On calcule chaque rapport dans son coin, puis on conclut — c'est la structure de toute réciproque, exactement comme pour Pythagore.
4. Agrandissement et réduction
Définition. Agrandir (ou réduire) une figure de rapport $k$, c'est multiplier toutes ses longueurs par $k$ — les angles, eux, ne changent pas.
$k > 1$ : agrandissement · $k < 1$ : réduction.
Propriété fondamentale. Dans un agrandissement (ou une réduction) de rapport $k$ :
$\text{longueurs} \times k, \qquad \text{aires} \times k^2, \qquad \text{volumes} \times k^3.$
C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. « J'ai doublé les dimensions, donc j'ai doublé le volume » est faux : il est huit fois plus grand. La raison tient à la dimension : une aire est un produit de deux longueurs, un volume de trois.
Exemple. Un pavé droit mesure $L = 12$ cm, $l = 6$ cm, $h = 4$ cm. On réduit toutes ses dimensions au tiers ($k = \frac13$).
| pavé initial | pavé réduit | |
|---|---|---|
| dimensions | $12 \times 6 \times 4$ | $4 \times 2 \times \frac43$ |
| aire d'une face $L\times l$ | $72$ cm² | $8$ cm² ($\div 9$) |
| volume | $288$ cm³ | $\frac{32}{3} \approx 10{,}7$ cm³ ($\div 27$) |
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculer une longueur
Dans un triangle $ABC$, $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$. On donne $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm, $AN = 5$ cm et $BC = 12$ cm. Calculer $AC$ et $MN$.
Correction. D'après le théorème de Thalès, $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}, \qquad\text{soit}\qquad \frac{4}{10} = \frac{5}{AC} = \frac{MN}{12}.$ $AC = \frac{5\times10}{4} = 12{,}5 \text{ cm}, \qquad MN = \frac{4\times12}{10} = 4{,}8 \text{ cm}.$ Contrôle : $MN$ doit être plus petit que $BC$ ✓, et $AC$ plus grand que $AN$ ✓.
Exercice 2 — Attention à la longueur totale
Dans un triangle $ABC$, $M \in [AB]$ avec $AM = 6$ et $MB = 4$, $N \in [AC]$, et $(MN)\parallel(BC)$ avec $BC = 15$ cm. Calculer $MN$.
Correction. Attention : $AB = AM + MB = 6+4 = 10$. $\frac{6}{10} = \frac{MN}{15} \ \Longrightarrow\ MN = \frac{6\times15}{10} = 9 \text{ cm}.$
Le piège : l'énoncé donne $MB$, pas $AB$. Il faut d'abord reconstituer la longueur totale — c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type d'exercice.
Exercice 3 — Réciproque
$A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre avec $AM = 2{,}4$ et $AB = 6$ ; $A$, $N$, $C$ le sont avec $AN = 3{,}2$ et $AC = 8$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
Correction. $\frac{AM}{AB} = \frac{2{,}4}{6} = 0{,}4, \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{3{,}2}{8} = 0{,}4.$ Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d'après la réciproque, $(MN)\parallel(BC)$.
Exercice 4 — Montrer que ce n'est pas parallèle
Même configuration avec $AM = 3$, $AB = 8$, $AN = 4$, $AC = 10$.
Correction. $\frac38 = 0{,}375 \qquad\text{et}\qquad \frac{4}{10} = 0{,}4.$ $0{,}375 \neq 0{,}4$ : les droites ne sont pas parallèles.
Exercice 5 — La hauteur d'un arbre
Un bâton de $1{,}5$ m planté verticalement projette une ombre de $2{,}4$ m. Au même moment, un arbre projette une ombre de $9{,}6$ m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Correction. Les rayons du soleil étant parallèles, les deux configurations sont proportionnelles. Le rapport se lit sur les ombres : $k = \frac{9{,}6}{2{,}4} = 4,$ donc l'arbre mesure $1{,}5\times4 = 6$ m.
Exercice 6 — Agrandissement d'un pavé
Un pavé droit mesure $L = 12$ cm, $l = 6$ cm, $h = 4$ cm. a. Calculer l'aire de chacune de ses faces et son volume. b. On réduit toutes ses dimensions au tiers. Calculer les nouvelles aires et le nouveau volume.
Correction. a. Les trois paires de faces mesurent $12\times6 = 72$ cm², $12\times4 = 48$ cm² et $6\times4 = 24$ cm². Le volume vaut $12\times6\times4 = 288$ cm³. b. Les dimensions deviennent $4$ cm, $2$ cm et $\frac43$ cm. Les aires sont divisées par $9$ : $8 \text{ cm}^2, \qquad \frac{16}{3} \approx 5{,}3 \text{ cm}^2, \qquad \frac83 \approx 2{,}7 \text{ cm}^2,$ et le volume est divisé par $27$ : $\dfrac{288}{27} = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}7$ cm³.
Contrôle direct : $4\times2\times\frac43 = \frac{32}{3}$ ✓.
Exercice 7 — Retrouver le rapport
Deux figures sont semblables. La première a une aire de $18$ cm², la seconde de $162$ cm². Quel est le rapport d'agrandissement des longueurs ?
Correction. Le rapport des aires vaut $\dfrac{162}{18} = 9$. Or ce rapport vaut $k^2$, donc $k^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad k = 3.$
Le piège : répondre $9$. C'est le rapport des aires, pas celui des longueurs.
Exercice 8 — Le ballon
On multiplie par $1{,}2$ le rayon d'un ballon sphérique. a. De quel pourcentage sa surface augmente-t-elle ? b. Et son volume ?
Correction. a. La surface est multipliée par $1{,}2^2 = 1{,}44$, soit $+44\,\%$. b. Le volume est multiplié par $1{,}2^3 = 1{,}728$, soit $+72{,}8\,\%$.
À retenir
Configuration : un triangle, une droite parallèle à un côté. Sans parallèles, pas de Thalès.
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ Les deux premières partent de $A$ ; la troisième relie les deux parallèles. Petit triangle au numérateur, grand au dénominateur.
Réciproque : on calcule les deux rapports séparément, on compare, et l'on vérifie que les points sont dans le même ordre.
Agrandissement de rapport $k$ : $\text{longueurs}\times k, \qquad \text{aires}\times k^2, \qquad \text{volumes}\times k^3$ Les angles ne changent pas. Doubler les dimensions multiplie le volume par $8$.
Le réflexe : vérifier si l'énoncé donne la longueur totale ou seulement une partie ($MB$ au lieu de $AB$).
Chapitre suivant : le cosinus dans le triangle rectangle.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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