Mathématiques — 4ème
Les nombres relatifs — Maths Quatrième (chapitre 1)
Nombres relatifs, opposé et distance à zéro, comparaison, somme et différence, produits et quotients, règle des signes et priorités opératoires. Programme…
Par ProfBot
Les nombres relatifs : produits et quotients
Chapitre 1 — Nombres et calculs · Quatrième
$(-3)\times(-4) = +12$. Pourquoi deux nombres négatifs donnent-ils un résultat positif ? Ce n'est pas une convention arbitraire : c'est la seule valeur qui permette aux règles de calcul de rester cohérentes. Ce premier chapitre installe la règle des signes, l'outil le plus utilisé de toute l'année — en calcul littéral, en équations, en géométrie repérée.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Nombres décimaux (positifs et négatifs), notion d'opposé ; somme, différence, produit, quotient de nombres décimaux relatifs. Calculer avec des nombres relatifs ; effectuer des calculs et des comparaisons pour traiter des problèmes ; vérifier la vraisemblance d'un résultat.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il effectue avec des nombres décimaux relatifs, des produits et des quotients » ; « il détermine le signe de $(-6{,}7)\times7\times(-1{,}24)\times(-0{,}7)$ ».
⚠️ Un nouveau programme de cycle 4 a été publié (arrêté du 18 février 2026), mais il n'entre en application en classe de quatrième qu'à la rentrée 2027-2028. Le programme applicable reste celui de 2020.
1. Vocabulaire
Définitions. Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe : $+$ ou $-$. Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ne diffèrent que par leur signe. La distance à zéro d'un nombre relatif est ce nombre privé de son signe.
L'opposé de $-3{,}5$ est $+3{,}5$ ; leur distance à zéro est la même, $3{,}5$. La somme de deux opposés vaut toujours $0$.
Comparer, c'est regarder la POSITION, pas la taille apparente. $-7 < -2$, alors que $7 > 2$ : chez les négatifs, plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit. Sur la droite graduée, le plus petit est toujours le plus à gauche — c'est le seul repère sûr.
2. Somme et différence
Rappels de cinquième.
- Deux nombres de même signe : on additionne les distances à zéro, on garde le signe commun.
$(-4) + (-7) = -11.$
- Deux nombres de signes contraires : on soustrait les distances à zéro, on garde le signe de celui qui est le plus loin de zéro.
$(-9) + (+5) = -4.$
- Soustraire, c'est ajouter l'opposé :
$8 - (-3) = 8 + 3 = 11, \qquad (-5) - (+2) = (-5) + (-2) = -7.$
Deux signes qui se suivent se remplacent par un seul. $-(-3)$ devient $+3$ ; $+(-3)$ devient $-3$. Écrire la transformation avant de calculer évite l'essentiel des erreurs — surtout dans les chaînes longues.
3. Produit et quotient : la règle des signes
Règle des signes. Pour un produit comme pour un quotient :
$(+)\times(+) = (+), \qquad (+)\times(-) = (-), \qquad (-)\times(+) = (-), \qquad (-)\times(-) = (+).$
Méthode. On détermine d'abord le signe, puis on calcule avec les distances à zéro : $(-2{,}5)\times(-4) = +10, \qquad \frac{-63}{-0{,}7} = +90, \qquad 7{,}2 \div (-5) = -1{,}44.$
Pourquoi $(-)\times(-) = (+)$ ? Regardez la suite de droite sur la figure : $3\times5 = 15$, $2\times5 = 10$, $1\times5 = 5$, $0\times5 = 0$… à chaque ligne on retire $5$. En continuant, $(-1)\times5$ doit valoir $-5$. Le même raisonnement, appliqué à $(-1)\times(-5)$, force la valeur $+5$. Ce n'est pas une convention : c'est la seule façon de ne pas casser les règles de calcul.
Signe d'un produit de plusieurs facteurs
Propriété. Un produit de plusieurs facteurs non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s'il est impair.
Exemple. $(-6{,}7)\times7\times(-1{,}24)\times(-0{,}7)$ contient trois facteurs négatifs : le produit est négatif.
On compte les facteurs négatifs, on ne les calcule pas. Cette question — « quel est le signe ? » — se répond en deux secondes, avant même de sortir la calculatrice. C'est aussi le meilleur contrôle du résultat final.
4. Les priorités opératoires
Ordre des opérations :
$\text{parenthèses} \ \rightarrow \ \text{puissances} \ \rightarrow \ \times \text{ et } \div \ \rightarrow \ + \text{ et } -$
À égalité (deux multiplications, ou une addition et une soustraction), on calcule de gauche à droite.
$-3 + 4\times(-2)^2 = -3 + 4\times4 = -3+16 = 13.$
$(-2)^2$ et $-2^2$ ne sont pas la même chose. Le premier vaut $+4$, le second $-4$ : sans parenthèses, la puissance s'applique avant le signe. Les calculatrices appliquent cette règle à la lettre, et c'est une source d'erreurs constante.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Comparer
Ranger dans l'ordre croissant : $-3{,}5$ ; $2$ ; $-7$ ; $0$ ; $-0{,}5$ ; $3{,}2$.
Correction. $-7 < -3{,}5 < -0{,}5 < 0 < 2 < 3{,}2.$ Chez les négatifs, l'ordre est celui des distances à zéro inversé : $7 > 3{,}5 > 0{,}5$ donne $-7 < -3{,}5 < -0{,}5$.
Exercice 2 — Sommes et différences
Calculer : a. $(-8) + (-5)$ · b. $(-12) + 7$ · c. $6 - (-9)$ · d. $(-4) - (+11)$ · e. $-3 + 8 - 10 + 2$.
Correction. a. $-13$ · b. $-5$ · c. $6+9 = 15$ · d. $-4-11 = -15$ e. De gauche à droite : $-3+8 = 5$, puis $5-10 = -5$, puis $-5+2 = -3$.
Exercice 3 — Calcul mental
Calculer mentalement : a. $-7\times3$ · b. $-2{,}5\times(-4)$ · c. $2{,}4\times(-0{,}5)$ · d. $-12{,}8 \div 2$ · e. $-63 \div (-0{,}7)$ · f. $7{,}2 \div (-5)$.
Correction. a. $-21$ · b. $+10$ · c. $-1{,}2$ · d. $-6{,}4$ · e. $+90$ · f. $-1{,}44$.
Pour e : $63 \div 0{,}7 = 630 \div 7 = 90$, et deux facteurs négatifs donnent un résultat positif.
Exercice 4 — Signe d'un produit
Sans calculer, déterminer le signe de : a. $(-6{,}7)\times7\times(-1{,}24)\times(-0{,}7)$ b. $\dfrac{11{,}4\times(-3{,}5)}{5{,}6\times123}$
Correction. a. Trois facteurs négatifs (nombre impair) : le produit est négatif. b. Un seul facteur négatif au numérateur, aucun au dénominateur : le quotient est négatif.
Vérification à la calculatrice : $\approx -40{,}7$ et $\approx -0{,}058$ — les deux sont bien négatifs.
Exercice 5 — Priorités
Calculer : a. $-5 + 3\times(-4)$ · b. $(-5+3)\times(-4)$ · c. $-2^2 + (-3)^2$ · d. $\dfrac{-18 + 6}{-4}$.
Correction. a. La multiplication d'abord : $-5 + (-12) = -17$. b. La parenthèse d'abord : $(-2)\times(-4) = +8$. c. $-2^2 = -4$ et $(-3)^2 = +9$, donc $-4+9 = 5$. d. Le trait de fraction joue le rôle d'une parenthèse : $\dfrac{-12}{-4} = +3$.
Les questions a et b ont les mêmes nombres et des résultats opposés : c'est la parenthèse, et elle seule, qui fait la différence.
Exercice 6 — Un problème de températures
À $6$ h du matin, il fait $-4$ °C. La température monte de $11$ degrés jusqu'à $14$ h, puis redescend de $7$ degrés jusqu'à minuit. a. Quelle température fait-il à $14$ h ? à minuit ? b. Quel est l'écart entre la température de $14$ h et celle de $6$ h ?
Correction. a. À $14$ h : $-4 + 11 = 7$ °C. À minuit : $7 - 7 = 0$ °C. b. L'écart vaut $7 - (-4) = 7 + 4 = 11$ degrés.
L'écart entre deux températures se calcule par une différence, et l'on retrouve bien les $11$ degrés de montée annoncés.
Exercice 7 — Un compte bancaire
Le compte de Léo affiche $-45$ € (il est à découvert). Il reçoit $120$ €, puis effectue $3$ retraits de $28$ € chacun. Quel est le solde final ?
Correction. $-45 + 120 - 3\times28 = -45 + 120 - 84 = 75 - 84 = -9 \text{ €}.$ Le compte est de nouveau à découvert, de $9$ €.
Attention à l'ordre : la multiplication $3\times28$ se calcule avant les additions.
À retenir
Opposés : même distance à zéro, signes contraires ; leur somme vaut $0$. Comparer : le plus petit est le plus à gauche sur la droite graduée — chez les négatifs, l'ordre des distances est inversé.
Soustraire = ajouter l'opposé. Deux signes qui se suivent se remplacent par un seul.
$(+)\times(+) = (+) \quad (+)\times(-) = (-) \quad (-)\times(+) = (-) \quad (-)\times(-) = (+)$ — même règle pour les quotients.
Signe d'un produit de plusieurs facteurs : nombre pair de facteurs négatifs → positif ; impair → négatif. On compte, on ne calcule pas.
$\text{parenthèses} \rightarrow \text{puissances} \rightarrow \times, \div \rightarrow +, -$
$(-2)^2 = 4 \qquad\text{mais}\qquad -2^2 = -4$
Chapitre suivant : les fractions et les nombres rationnels.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
Chapitre 2 · Fractions et nombres rationnels →