Mathématiques — 4ème
Divisibilité et nombres premiers — Maths Quatrième (chapitre 4)
Multiples et diviseurs, critères de divisibilité, nombres premiers jusqu'à 100, décomposition en facteurs premiers et simplification de fractions. Programme…
Par ProfBot
Divisibilité et nombres premiers
Chapitre 4 — Nombres et calculs · Quatrième
$\dfrac{140}{135}$ : est-ce simplifiable ? Les critères de divisibilité ne disent rien de très utile, et tâtonner peut durer longtemps. La décomposition en facteurs premiers répond en une ligne — et donne du même coup la réponse à toutes les questions du chapitre : simplifier, comparer, partager.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Multiples et diviseurs ; critères de divisibilité par $2$, $3$, $5$, $9$ ; division euclidienne ; définition d'un nombre premier ; fractions irréductibles. Déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à $100$ ; décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers ; simplifier une fraction ; modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il utilise les nombres premiers inférieurs à 100 pour reconnaître et produire des fractions égales et simplifier des fractions » ; « il modélise et résout des problèmes simples mettant en jeu les notions de divisibilité et de nombre premier ».
1. Multiples, diviseurs, division euclidienne
Définition. $a$ est un multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = k\times b$. On dit aussi que $b$ divise $a$, ou que $b$ est un diviseur de $a$.
Division euclidienne. Diviser $a$ par $b$ ($b \neq 0$), c'est trouver le quotient $q$ et le reste $r$ tels que
$a = b\times q + r \qquad\text{avec}\qquad 0 \leqslant r < b.$
$247 = 8\times30 + 7.$
$b$ divise $a$ si et seulement si le reste est NUL. C'est le test le plus simple : $247$ n'est pas multiple de $8$, puisque le reste vaut $7$. Et le reste est toujours plus petit que le diviseur — sinon le quotient a été mal choisi.
Les critères de divisibilité :
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| $2$ | chiffre des unités $0,2,4,6,8$ | $174$ |
| $3$ | somme des chiffres divisible par $3$ | $174$ car $1+7+4 = 12$ |
| $5$ | chiffre des unités $0$ ou $5$ | $2\,045$ |
| $9$ | somme des chiffres divisible par $9$ | $531$ car $5+3+1 = 9$ |
| $10$ | chiffre des unités $0$ | $9\,870$ |
2. Les nombres premiers
Définition. Un entier est premier s'il a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97.$
$1$ n'est pas premier : il n'a qu'un diviseur, et la définition en exige exactement deux. Ce n'est pas un caprice : si $1$ était premier, la décomposition d'un nombre ne serait plus unique.
$2$ est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs ont au moins trois diviseurs : $1$, $2$ et eux-mêmes.
Tester si un nombre est premier : on essaie de le diviser par $2$, $3$, $5$, $7$, $11$… en s'arrêtant dès que le diviseur dépasse la racine carrée du nombre. Pour $91$ : $\sqrt{91}\approx9{,}5$, donc on teste $2, 3, 5, 7$. Or $91 = 7\times13$ : $91$ n'est pas premier, ce qui surprend souvent.
3. Décomposer en produit de facteurs premiers
Théorème (admis). Tout entier supérieur ou égal à $2$ s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près).
$780 = 2\times2\times3\times5\times13 = 2^2\times3\times5\times13.$
Méthode : on divise par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir $1$.
On s'arrête quand on atteint $1$, pas quand « on ne voit plus rien ». Tant que le nombre restant n'est pas $1$, il reste au moins un facteur à extraire — le nombre lui-même s'il est premier.
4. Simplifier une fraction
Définition. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$.
La méthode la plus sûre : les facteurs premiers. $\frac{140}{135} = \frac{2^2\times5\times7}{3^3\times5} = \frac{2^2\times7}{3^3} = \frac{28}{27}.$
Reconnaître des fractions égales : on les rend toutes irréductibles. $\frac{22}{55} = \frac{2\times11}{5\times11} = \frac25, \qquad \frac{34}{85} = \frac{2\times17}{5\times17} = \frac25, \qquad \frac{62}{155} = \frac{2\times31}{5\times31} = \frac25.$
« Simplifier le plus possible » n'est pas une méthode. Beaucoup s'arrêtent trop tôt, faute d'avoir vu un facteur commun. La décomposition en facteurs premiers rend l'erreur impossible : ce qui reste après avoir barré les facteurs communs est irréductible.
5. Résoudre des problèmes
Deux familles de problèmes, qu'il faut savoir distinguer :
« Combien de paquets identiques ? » → on cherche un diviseur commun. « Quand les deux se retrouvent-ils ? » → on cherche un multiple commun.
La question à se poser : est-ce qu'on PARTAGE ou est-ce qu'on RÉPÈTE ? Partager en parts égales conduit aux diviseurs communs ; répéter deux phénomènes jusqu'à ce qu'ils coïncident conduit aux multiples communs.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Divisibilité
a. $2\,024$ est-il divisible par $3$ ? par $4$ ? par $9$ ? b. Effectuer la division euclidienne de $2\,024$ par $7$.
Correction. a. Somme des chiffres : $2+0+2+4 = 8$, ni divisible par $3$ ni par $9$ : non dans les deux cas. Pour $4$, on regarde les deux derniers chiffres : $24 = 4\times6$, donc oui. b. $2\,024 = 7\times289 + 1$ : quotient $289$, reste $1$. Contrôle : $7\times289 = 2\,023$ et $0 \leqslant 1 < 7$ ✓.
Exercice 2 — Nombres premiers
a. Énumérer tous les nombres premiers compris entre $50$ et $70$. b. $91$ est-il premier ? Et $97$ ?
Correction. a. $53$, $59$, $61$, $67$. b. $91 = 7\times13$ : non. Pour $97$, $\sqrt{97}\approx9{,}8$ et aucun de $2$, $3$, $5$, $7$ ne le divise : oui, $97$ est premier.
Exercice 3 — Décomposition
Décomposer en produit de facteurs premiers : a. $780$ · b. $140$ · c. $135$ · d. $1\,001$.
Correction. a. $780 = 2^2\times3\times5\times13$. b. $140 = 2^2\times5\times7$. c. $135 = 3^3\times5$. d. $1\,001 = 7\times11\times13$.
Exercice 4 — Fractions égales
Parmi $\dfrac{14}{49}$, $\dfrac{22}{55}$, $\dfrac{34}{85}$, $\dfrac{62}{155}$, lesquelles sont égales ?
Correction. On rend chacune irréductible : $\dfrac{14}{49} = \dfrac27$, tandis que les trois autres valent $\dfrac25$. Les trois dernières sont égales ; la première ne l'est pas.
Sans calculatrice : $49 = 7^2$, $55 = 5\times11$, $85 = 5\times17$, $155 = 5\times31$ — les facteurs premiers font tout le travail.
Exercice 5 — Simplifier
Rendre irréductibles : a. $\dfrac{140}{135}$ · b. $\dfrac{780}{1\,001}$ · c. $\dfrac{360}{252}$.
Correction. a. $\dfrac{2^2\times5\times7}{3^3\times5} = \dfrac{28}{27}$. b. $\dfrac{2^2\times3\times5\times13}{7\times11\times13} = \dfrac{2^2\times3\times5}{7\times11} = \dfrac{60}{77}$. c. $\dfrac{2^3\times3^2\times5}{2^2\times3^2\times7} = \dfrac{2\times5}{7} = \dfrac{10}{7}$.
Exercice 6 — Les bouquets
Un fleuriste dispose de $434$ roses et $620$ tulipes. Il veut composer des bouquets tous identiques en utilisant toutes ses fleurs. Quelles sont toutes les compositions possibles ?
Correction. Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $434$ et $620$. Décomposons : $434 = 2\times7\times31, \qquad 620 = 2^2\times5\times31.$ Les facteurs communs sont $2$ et $31$, donc les diviseurs communs sont $1$, $2$, $31$ et $62$.
| bouquets | roses par bouquet | tulipes par bouquet |
|---|---|---|
| $1$ | $434$ | $620$ |
| $2$ | $217$ | $310$ |
| $31$ | $14$ | $20$ |
| $62$ | $7$ | $10$ |
Le maximum est de 62 bouquets, contenant chacun $7$ roses et $10$ tulipes.
Exercice 7 — Deux phares
Deux phares s'allument, l'un toutes les $18$ secondes, l'autre toutes les $24$ secondes. Ils s'allument ensemble à midi. Quand le feront-ils de nouveau ?
Correction. On cherche le plus petit multiple commun. Multiples de $18$ : $18, 36, 54, \mathbf{72}, 90\dots$ — multiples de $24$ : $24, 48, \mathbf{72}, 96\dots$ Ils s'allumeront ensemble 72 secondes après midi, puis toutes les $72$ secondes.
Attention à ne pas répondre $18\times24 = 432$ : c'est bien un multiple commun, mais pas le plus petit.
À retenir
$a$ multiple de $b$ : il existe un entier $k$ tel que $a = kb$. Division euclidienne : $a = bq+r$ avec $0 \leqslant r < b$ ; $b$ divise $a$ si et seulement si $r = 0$.
Critères : $2$ (unités), $3$ et $9$ (somme des chiffres), $5$ et $10$ (unités).
Nombre premier = exactement deux diviseurs. $1$ n'est pas premier ; $2$ est le seul premier pair ; il y en a 25 en dessous de $100$. On teste jusqu'à $\sqrt n$.
La décomposition en facteurs premiers est unique — et elle donne tout : les fractions égales, la forme irréductible, les diviseurs communs.
Partager → diviseur commun. Répéter jusqu'à coïncidence → multiple commun.
Chapitre suivant : les racines carrées.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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