Mathématiques — 4ème
Probabilités — Maths Quatrième (chapitre 11)
Expérience aléatoire, issues, événements, probabilité entre 0 et 1, événement contraire, calcul par dénombrement et par les aires. Programme du cycle 4,…
Par ProfBot
Les probabilités
Chapitre 11 — Organisation et gestion de données · Quatrième
« J'ai quatre chances sur cinq de gagner. » — « La probabilité de gagner est de $0{,}8$. » — « J'ai $80\,\%$ de chances. » Ces trois phrases disent exactement la même chose. Apprendre à passer de l'une à l'autre, et à calculer ce nombre proprement, voilà l'essentiel de ce chapitre.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Vocabulaire des probabilités ; notion de probabilité, comprise entre $0$ et $1$ ; probabilité d'événements certains, impossibles, contraires. Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples ; calculer des probabilités dans des cas simples ; exprimer des probabilités sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage) ; faire le lien entre fréquence et probabilité.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il reconnaît des événements contraires et s'en sert pour calculer des probabilités » ; « il calcule des probabilités dans des cas d'équiprobabilité comme les osselets, des cibles (par calcul d'aires) ».
Les expériences à deux épreuves (arbres, tableaux à double entrée) sont au programme de troisième.
1. Le vocabulaire
Définitions.
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat.
- Les résultats possibles sont les issues.
- Un événement est un ensemble d'issues.
- La probabilité d'un événement mesure sa chance de se réaliser.
Exemple. Une urne contient des boules blanches et grises, numérotées de $1$ à $6$.
- Si l'on s'intéresse à la couleur, les issues sont : blanche, grise — deux issues.
- Si l'on s'intéresse au numéro, les issues sont $1, 2, 3, 4, 5, 6$ — six issues.
Les issues dépendent de la QUESTION posée, pas de l'expérience. La même urne donne deux issues ou six selon ce qu'on regarde. Avant tout calcul, il faut décider ce qu'on observe — c'est cela qui fixe la liste des issues.
Événement certain : sa probabilité vaut $1$ (« tirer une boule numérotée entre $1$ et $6$ »). Événement impossible : sa probabilité vaut $0$ (« tirer une boule numérotée $9$ »).
Une probabilité ne dépasse jamais $1$ et n'est jamais négative. Un résultat de $1{,}2$ ou de $-0{,}3$ signale une erreur de calcul, pas un événement « très probable ». C'est le contrôle le plus rapide qui soit.
2. Calculer une probabilité
Propriété (issues équiprobables). Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire,
$P = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}.$
Exemple. Une urne contient $1$ boule rouge et $4$ oranges. La probabilité de tirer une orange vaut $\frac45 = 0{,}8 = 80\,\%.$
Trois écritures, un seul nombre. Fraction, décimal, pourcentage : l'énoncé demande parfois une forme précise, mais elles désignent la même probabilité. La fraction est la forme exacte — et parfois la seule : $\frac13$ ne s'écrit pas exactement en décimal.
L'équiprobabilité est une HYPOTHÈSE. Elle se justifie par la symétrie de l'objet (dé équilibré, boules indiscernables au toucher) ou par l'observation. Sur un dé pipé, la formule ci-dessus donne des résultats faux — et rien dans le calcul ne le signale.
3. L'événement contraire
Définition et propriété. L'événement contraire de $A$ est « $A$ ne se réalise pas ». Leurs probabilités vérifient
$P(\text{contraire de } A) = 1 - P(A).$
Exemple. Si la probabilité de gagner à un jeu vaut $0{,}4$, alors celle de perdre vaut $1 - 0{,}4 = 0{,}6.$
Le contraire est souvent le chemin le plus court. Pour « au moins un… », il est presque toujours plus rapide de calculer la probabilité de « aucun… » et de retrancher à $1$. C'est un réflexe à prendre dès cette année.
« Contraire » n'est pas « opposé ». Le contraire de « tirer une boule rouge » est « tirer une boule non rouge » — et non « tirer une boule verte », sauf s'il n'y a que deux couleurs. Le contraire recouvre tout le reste.
4. Les probabilités par les aires
Quand une fléchette tombe « au hasard » sur une cible, la probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à son aire : $P = \frac{\text{aire de la zone}}{\text{aire totale}}.$
Pour une cible de rayons $1$, $2$ et $3$ :
| zone | aire | probabilité |
|---|---|---|
| centre | $\pi\times1^2 = \pi$ | $\dfrac{\pi}{9\pi} = \dfrac19$ |
| couronne du milieu | $\pi\times2^2 - \pi = 3\pi$ | $\dfrac{3\pi}{9\pi} = \dfrac13$ |
| couronne extérieure | $\pi\times3^2 - 4\pi = 5\pi$ | $\dfrac{5\pi}{9\pi} = \dfrac59$ |
| total | $9\pi$ | $\mathbf{1}$ |
L'aire d'une couronne est une DIFFÉRENCE de disques. La zone du milieu ne vaut pas $\pi\times2^2 = 4\pi$ : il faut retrancher le disque central. Oublier cette soustraction est l'erreur classique — et la somme des probabilités, qui ne fera plus $1$, la révèle immédiatement.
Les $\pi$ se simplifient. Inutile de sortir la calculatrice : $\frac{\pi}{9\pi} = \frac19$ exactement. Travailler en valeurs exactes est ici plus simple et plus juste.
5. Fréquence et probabilité
Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité.
Le hasard n'a pas de mémoire. Après cinq « pile » d'affilée, la pièce n'a aucune « dette » : $P(\text{pile}) = 0{,}5$ encore et toujours. La stabilisation des fréquences n'est pas une force de rappel.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Vocabulaire
Une urne contient $3$ boules blanches numérotées $1$, $2$, $3$ et $2$ boules grises numérotées $4$, $5$. On en tire une au hasard. a. Quelles sont les issues si l'on s'intéresse à la couleur ? au numéro ? b. Donner un événement certain, et un événement impossible.
Correction. a. Couleur : blanche, grise (deux issues). Numéro : $1, 2, 3, 4, 5$ (cinq issues). b. Certain : « tirer une boule numérotée entre $1$ et $5$ ». Impossible : « tirer une boule numérotée $7$ », ou « tirer une boule verte ».
Exercice 2 — Un dé
On lance un dé équilibré à six faces. a. $P(\text{obtenir } 4)$ · b. $P(\text{obtenir un nombre pair})$ · c. $P(\text{obtenir un nombre} > 4)$ · d. $P(\text{obtenir } 7)$.
Correction. a. $\dfrac16$ · b. $\dfrac36 = \dfrac12$ · c. $\dfrac26 = \dfrac13$ · d. $0$ (impossible).
Exercice 3 — Trois écritures
Une urne contient $1$ boule rouge et $4$ oranges. a. Quelle est la probabilité de tirer une orange ? L'exprimer sous trois formes. b. Celle de tirer une rouge ?
Correction. a. $\dfrac45 = 0{,}8 = 80\,\%$. b. Par l'événement contraire : $1 - 0{,}8 = 0{,}2 = \dfrac15 = 20\,\%$.
Exercice 4 — Événement contraire
a. La probabilité de gagner à un jeu vaut $0{,}4$. Quelle est celle de perdre ? b. La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $\dfrac37$. Quelle est celle qu'il ne pleuve pas ?
Correction. a. $1 - 0{,}4 = 0{,}6$. b. $1 - \dfrac37 = \dfrac77 - \dfrac37 = \dfrac47$.
Exercice 5 — Une cible
Une cible est formée de trois disques concentriques de rayons $1$, $2$ et $3$. Une fléchette tombe au hasard sur la cible. Calculer la probabilité d'atteindre chaque zone.
Correction. Aire totale : $\pi\times3^2 = 9\pi$.
- Centre : aire $\pi$, donc $P = \dfrac{\pi}{9\pi} = \dfrac19$.
- Couronne du milieu : $4\pi - \pi = 3\pi$, donc $P = \dfrac{3\pi}{9\pi} = \dfrac13$.
- Couronne extérieure : $9\pi - 4\pi = 5\pi$, donc $P = \dfrac59$.
Contrôle : $\dfrac19+\dfrac39+\dfrac59 = \dfrac99 = 1$ ✓.
Exercice 6 — Un jeu de cartes
Dans un jeu de $32$ cartes, on tire une carte au hasard. a. $P(\text{obtenir un roi})$ · b. $P(\text{obtenir un cœur})$ · c. $P(\text{ne pas obtenir un cœur})$.
Correction. a. Il y a $4$ rois : $\dfrac{4}{32} = \dfrac18 = 0{,}125 = 12{,}5\,\%$. b. Il y a $8$ cœurs : $\dfrac{8}{32} = \dfrac14 = 25\,\%$. c. Par l'événement contraire : $1 - \dfrac14 = \dfrac34 = 75\,\%$.
Exercice 7 — Une roue
Une roue de loterie est partagée en $12$ secteurs identiques : $2$ gagnent le gros lot, $4$ un petit lot, les autres rien. a. Quelle est la probabilité de gagner quelque chose ? b. Celle de ne rien gagner ?
Correction. a. $2+4 = 6$ secteurs gagnants, donc $\dfrac{6}{12} = \dfrac12 = 50\,\%$. b. Par le contraire : $1 - \dfrac12 = \dfrac12$. On peut aussi compter directement : $12 - 6 = 6$ secteurs perdants, soit $\frac{6}{12}$ ✓ — les deux méthodes doivent donner le même résultat.
À retenir
Les issues dépendent de ce qu'on OBSERVE, pas seulement de l'expérience.
Une probabilité est toujours entre $0$ et $1$ : $0$ = impossible, $1$ = certain.
$P = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \quad \text{(issues équiprobables)}$
Trois écritures d'un même nombre : fraction, décimal, pourcentage.
$P(\text{contraire de } A) = 1 - P(A)$ Le contraire recouvre tout le reste — souvent le chemin le plus court.
Sur une cible : la probabilité est proportionnelle à l'aire ; l'aire d'une couronne est une différence de disques, et les $\pi$ se simplifient.
Contrôle final : la somme des probabilités de toutes les issues doit valoir $1$.
Chapitre suivant : le théorème de Pythagore.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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