Mathématiques — 4ème
Les racines carrées — Maths Quatrième (chapitre 5)
Définition de la racine carrée, carrés parfaits de 1 à 144, encadrements, valeurs approchées à la calculatrice et usage en géométrie. Programme du cycle 4,…
Par ProfBot
Les racines carrées
Chapitre 5 — Nombres et calculs · Quatrième
Un carré a une aire de $15$ cm². Combien mesure son côté ? Aucun nombre décimal ne convient : $3{,}8^2 = 14{,}44$ et $3{,}9^2 = 15{,}21$. Il faut un nombre nouveau, qu'on note $\sqrt{15}$ — et qui n'a aucune écriture décimale exacte, quelle que soit la précision. Les racines carrées sont exactement cela : les nombres qui manquaient pour mesurer les côtés.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Les carrés parfaits de $1$ à $144$ ; définition de la racine carrée. Utiliser la racine carrée pour résoudre des problèmes, notamment géométriques.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il connaît la définition de la racine carrée d'un nombre positif » ; « il utilise la calculatrice pour déterminer une valeur approchée » ; « il utilise la racine carrée en lien avec des situations géométriques (théorème de Pythagore ; agrandissement, réduction et aires) ».
Les règles de calcul $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ et la simplification de $\sqrt{50}$ en $5\sqrt2$ sont au programme de troisième : elles ne sont pas exigibles cette année.
1. Définition
Définition. Pour un nombre $a$ positif ou nul, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt a$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$ :
$\sqrt a \geqslant 0 \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a.$
$\sqrt{81} = 9 \quad\text{car}\quad 9^2 = 81, \qquad \sqrt{0} = 0, \qquad \sqrt{0{,}25} = 0{,}5.$
Deux interdits absolus.
— La racine d'un nombre négatif n'existe pas : aucun carré ne vaut $-9$, donc $\sqrt{-9}$ n'a pas de sens.
— Une racine n'est jamais négative : $\sqrt{81} = 9$, et pas $\pm9$.
Les carrés parfaits
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
Ces douze valeurs sont à connaître par cœur : ce sont elles qui permettent d'encadrer une racine et de reconnaître celles « qui tombent juste ».
2. Encadrer, approcher
Encadrer une racine. On cherche les deux carrés parfaits qui encadrent le nombre :
$4 < 7 < 9 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt4 < \sqrt7 < \sqrt9 \quad\Longrightarrow\quad 2 < \sqrt7 < 3.$
Puis on affine en testant des décimaux : $2{,}6^2 = 6{,}76$ et $2{,}7^2 = 7{,}29$, donc $2{,}6 < \sqrt7 < 2{,}7$.
À la calculatrice, $\sqrt7 \approx 2{,}645751311$, soit $2{,}65$ au centième près.
$\sqrt7$ est la valeur EXACTE ; $2{,}65$ est une valeur approchée. $2{,}65^2$ vaut $7{,}0225$ et non $7$. En géométrie, on garde donc $\sqrt7$ dans les calculs et l'on n'arrondit qu'à la toute fin — sinon les erreurs s'accumulent.
Le symbole $\approx$ n'est pas le symbole $=$. Écrire « $\sqrt7 = 2{,}65$ » est faux. Cela paraît tatillon, mais c'est exactement la différence entre le nombre et l'image que la machine en donne.
3. Les racines carrées en géométrie
L'aire d'un carré donne son côté : si $c^2 = 15$, alors $c = \sqrt{15}$ cm (la solution négative n'a pas de sens pour une longueur). Son périmètre vaut alors $4\sqrt{15} \approx 15{,}5$ cm.
Le théorème de Pythagore produit des racines à toutes les lignes — c'est même sa principale utilité cette année : $h^2 = 3^2+5^2 = 34$ donne $h = \sqrt{34}$.
La solution négative existe mathématiquement, mais pas géométriquement. L'équation $c^2 = 15$ a deux solutions, $\sqrt{15}$ et $-\sqrt{15}$. On n'en garde qu'une parce qu'une longueur ne peut pas être négative — et il faut l'écrire, ce n'est pas évident en soi.
4. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculs immédiats
Calculer : a. $\sqrt{49}$ · b. $\sqrt{121}$ · c. $\sqrt{144}$ · d. $\left(\sqrt{5}\right)^2$ · e. $\sqrt{0{,}64}$.
Correction. a. $7$ · b. $11$ · c. $12$ · d. $5$ · e. $0{,}8$ (car $0{,}8^2 = 0{,}64$).
Exercice 2 — Vrai ou faux
a. $\sqrt{25} = \pm5$ · b. $\sqrt{-16} = -4$ · c. $\sqrt{9}+\sqrt{16} = \sqrt{25}$ · d. $\sqrt{100} = 10$.
Correction. a. Faux : une racine est positive, $\sqrt{25} = 5$. b. Faux : la racine d'un nombre négatif n'existe pas. c. Faux : $3+4 = 7$ alors que $\sqrt{25} = 5$. Il n'existe aucune règle pour la somme. d. Vrai.
Exercice 3 — Encadrer
Encadrer $\sqrt{55}$ entre deux entiers consécutifs, puis donner une valeur approchée au dixième.
Correction. $49 < 55 < 64$, donc $7 < \sqrt{55} < 8$. Au dixième : $7{,}4^2 = 54{,}76$ et $7{,}5^2 = 56{,}25$, donc $7{,}4 < \sqrt{55} < 7{,}5$ et $\sqrt{55}\approx7{,}4$.
Exercice 4 — Valeurs approchées
À la calculatrice, donner une valeur approchée au centième de : a. $\sqrt7$ · b. $\sqrt{40}$ · c. $\sqrt{2}$. Vérifier chaque réponse en l'élevant au carré.
Correction. a. $\sqrt7 \approx 2{,}65$, et $2{,}65^2 = 7{,}0225$. b. $\sqrt{40}\approx6{,}32$, et $6{,}32^2 = 39{,}9424$. c. $\sqrt2\approx1{,}41$, et $1{,}41^2 = 1{,}9881$.
Aucun de ces carrés ne retombe exactement sur le nombre de départ : c'est bien la marque d'une valeur approchée.
Exercice 5 — Le côté d'un carré
Un carré a une aire de $15$ cm². a. Donner la valeur exacte de son côté, puis une valeur approchée au millimètre. b. Calculer son périmètre, en valeur exacte puis approchée.
Correction. a. Le côté $c$ vérifie $c^2 = 15$ et $c > 0$, donc $c = \sqrt{15}$ cm $\approx 3{,}9$ cm. b. $P = 4\sqrt{15}$ cm, soit environ $15{,}5$ cm.
Exercice 6 — Avec Pythagore
Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $5$ cm et $3$ cm. Calculer l'hypoténuse, en valeur exacte puis approchée au dixième.
Correction. $h^2 = 5^2 + 3^2 = 25+9 = 34, \qquad\text{donc}\qquad h = \sqrt{34} \approx 5{,}8 \text{ cm}.$ Contrôle : l'hypoténuse doit dépasser chacun des deux côtés, et $5{,}8 > 5$ ✓.
Exercice 7 — Une équation
Résoudre $x^2 = 49$, puis $x^2 = 15$, puis $x^2 = -4$.
Correction. $x^2 = 49$ : deux solutions, $7$ et $-7$. $x^2 = 15$ : deux solutions, $\sqrt{15}$ et $-\sqrt{15}$. $x^2 = -4$ : aucune solution, un carré n'est jamais négatif.
Attention à la différence : $\sqrt{49} = 7$ (un seul nombre, positif), alors que l'équation $x^2 = 49$ a deux solutions. Ce ne sont pas les mêmes questions.
À retenir
Définition : pour $a \geqslant 0$, $\sqrt a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. $\left(\sqrt a\right)^2 = a$
Pas de racine d'un nombre négatif ; une racine n'est jamais négative.
Les carrés parfaits jusqu'à $144$ sont à connaître par cœur : ils servent à encadrer.
Aucune règle pour la somme : $\sqrt9+\sqrt{16} = 7 \neq 5 = \sqrt{25}$.
Valeur exacte ($\sqrt{15}$) contre valeur approchée ($3{,}9$) : on écrit $\approx$, et l'on n'arrondit qu'à la fin.
En géométrie, on écarte la solution négative — mais en le disant : « $c$ étant une longueur, $c = \sqrt{15}$ ».
Chapitre suivant : le calcul littéral.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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