Mathématiques — 4ème
Translation et repérage dans l'espace — Maths Quatrième (chapitre 15)
Translation et ses propriétés de conservation, frises et pavages, repérage dans un pavé droit, perspective cavalière et patrons de pyramide et de cône.…
Par ProfBot
Translation et repérage dans l'espace
Chapitre 15 — Espace et géométrie · Quatrième
Un carrelage, une frise, un papier peint : tous sont construits en répétant un motif qui glisse toujours de la même façon. Ce glissement porte un nom — la translation — et il a une propriété remarquable : il ne déforme rien. Longueurs, angles, aires, parallélisme : tout est conservé. Seule la position change.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Comprendre l'effet d'une translation sur une figure ; abscisse, ordonnée, altitude ; (se) repérer dans un parallélépipède rectangle ; construire et mettre en relation des représentations des solides (perspective cavalière, vues, patrons).
Attendus de fin d'année de 4e : « Il comprend l'effet d'une translation : conservation du parallélisme, des longueurs, des aires et des angles » ; « il identifie des translations dans des frises et des pavages » ; « il démontre que deux droites sont parallèles en utilisant la conservation du parallélisme » ; « il construit et met en relation une perspective cavalière et un patron d'une pyramide, d'un cône de révolution ».
La rotation et l'homothétie sont au programme de troisième.
1. La translation
Effet. Une translation fait glisser une figure : chaque point se déplace dans la même direction, dans le même sens et sur la même longueur.
Pour définir une translation, il faut donc trois informations : une direction, un sens et une longueur — que l'on résume souvent par une flèche.
Toutes les flèches sont identiques. Si un point se déplace de « $3$ carreaux à droite et $1$ vers le haut », tous les points font exactement ce déplacement. C'est ce qui distingue une translation d'une rotation : dans une rotation, les points proches du centre bougent peu, les autres beaucoup.
Frises et pavages : on les obtient en répétant la même translation, encore et encore.
2. Ce qu'une translation conserve
Propriétés. Une translation conserve les longueurs, les angles, les aires et le parallélisme. La figure image est superposable à la figure de départ.
Cette conservation est un outil de DÉMONSTRATION, pas seulement une observation. Si $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, alors leurs images par une translation le sont aussi. De même, une longueur inconnue sur la figure image se lit directement sur la figure de départ — c'est exactement ce que les exercices demandent d'exploiter.
La translation ne retourne pas la figure, contrairement à la symétrie axiale. On la réalise en faisant glisser la figure sur la table, sans jamais la soulever.
3. Se repérer dans l'espace
Dans le plan, deux nombres suffisent : l'abscisse et l'ordonnée. Dans l'espace, il en faut trois : abscisse, ordonnée et altitude.
Sur la figure, avec $O$ pour origine : $O(0\,;0\,;0), \qquad A(3\,;0\,;0), \qquad H(0\,;0\,;2), \qquad L(3\,;2\,;2).$
L'ordre des trois nombres est fixe : abscisse, ordonnée, altitude — dans cet ordre, toujours. $(3\,;0\,;2)$ et $(2\,;0\,;3)$ désignent deux points différents.
4. Représenter les solides
La perspective cavalière est la convention de dessin scolaire : la face avant est dessinée en vraie grandeur, les fuyantes partent obliquement, et les arêtes cachées se tracent en pointillés.
Le patron est la figure plane qui, découpée et pliée, reconstitue le solide. Pour une pyramide à base carrée : un carré (la base) et quatre triangles (les faces latérales).
La perspective déforme, le patron non. Sur une perspective cavalière, un carré vu de dessus a l'air d'un parallélogramme et les angles droits n'ont plus l'air droits. Sur le patron, en revanche, toutes les longueurs sont en vraie grandeur — c'est là qu'on mesure, jamais sur la perspective.
Le patron d'un cône : un disque (la base) et un secteur de disque (la surface latérale) — et non un triangle, comme on l'imagine souvent.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Reconnaître
Pour chaque situation, dire s'il s'agit d'une translation. a. Un ascenseur qui monte. · b. Une porte qui pivote. · c. Le reflet dans un miroir. · d. Un tapis roulant.
Correction. a. Oui : tous les points montent de la même hauteur. b. Non : c'est une rotation autour des gonds ; les points près des gonds bougent moins. c. Non : c'est une symétrie axiale, qui retourne la figure. d. Oui.
Exercice 2 — Conservations
Une figure de $12$ cm² a un côté de $5$ cm et un angle de $40°$. On lui applique une translation. Donner l'aire, la longueur du côté et la mesure de l'angle de la figure image.
Correction. Une translation conserve tout : l'aire vaut $12$ cm², le côté $5$ cm, l'angle $40°$.
Exercice 3 — Démontrer un parallélisme
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On applique une translation qui envoie $A$ sur $A'$, $B$ sur $B'$, $C$ sur $C'$ et $D$ sur $D'$. Que peut-on dire de $(A'B')$ et $(C'D')$ ?
Correction. La translation conserve le parallélisme, donc $(A'B')$ et $(C'D')$ sont parallèles.
C'est un exemple de démonstration en une ligne : on cite la propriété, on l'applique, on conclut.
Exercice 4 — Coordonnées dans l'espace
Dans le pavé droit de la figure, où $O(0\,;0\,;0)$, la longueur vaut $3$, la profondeur $2$ et la hauteur $2$. Donner les coordonnées des points $A$, $H$ et $L$, puis placer le point $K(3\,;2\,;0)$.
Correction. $A(3\,;0\,;0), \qquad H(0\,;0\,;2), \qquad L(3\,;2\,;2).$ Le point $K(3\,;2\,;0)$ est le sommet situé au sol, à l'aplomb de $L$ : altitude nulle, mais mêmes abscisse et ordonnée que $L$.
Exercice 5 — Perspective et patron
Une pyramide a une base carrée de côté $6$ cm et quatre faces latérales identiques. a. De combien de faces le patron est-il composé ? b. Si l'on mesure une arête latérale sur le dessin en perspective, obtient-on la vraie longueur ?
Correction. a. Cinq : un carré et quatre triangles. b. Non. En perspective cavalière, les fuyantes sont raccourcies : seules les longueurs de la face avant sont en vraie grandeur. On mesure sur le patron, jamais sur la perspective.
Exercice 6 — Le patron d'un cône
Quelles figures composent le patron d'un cône de révolution ?
Correction. Un disque (la base) et un secteur de disque (la surface latérale). Ce n'est pas un triangle : la surface latérale, une fois déroulée, est courbe.
Exercice 7 — Une frise
Une frise est constituée d'un motif reproduit tous les $4$ cm vers la droite. a. Quelle transformation fait passer du motif $1$ au motif $2$ ? au motif $5$ ? b. De quelle longueur est le glissement entre le motif $1$ et le motif $5$ ?
Correction. a. Dans les deux cas, une translation — c'est la même direction et le même sens, seule la longueur change. b. Il y a $4$ intervalles entre les motifs $1$ et $5$, donc $4\times4 = 16$ cm.
Le piège : compter $5$ intervalles au lieu de $4$. Entre $n$ motifs, il y a $n-1$ intervalles.
À retenir
Translation = un glissement : même direction, même sens, même longueur pour tous les points.
Elle conserve les longueurs, les angles, les aires et le parallélisme — et ne retourne pas la figure. Ces conservations servent à démontrer.
Dans l'espace : trois coordonnées, abscisse, ordonnée, altitude, toujours dans cet ordre.
Perspective cavalière : arêtes cachées en pointillés, longueurs déformées sur les fuyantes. Patron : toutes les longueurs en vraie grandeur — c'est là qu'on mesure.
Patron d'une pyramide à base carrée : $1$ carré $+$ $4$ triangles. Patron d'un cône : $1$ disque $+$ $1$ secteur.
Chapitre suivant, le dernier : les volumes de la pyramide et du cône.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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