Mathématiques — 4ème
Puissances et notation scientifique — Maths Quatrième (chapitre 3)
Puissances d'un nombre, puissances de 10 d'exposants positifs et négatifs, notation scientifique, préfixes de nano à giga et ordres de grandeur. Programme…
Par ProfBot
Puissances et notation scientifique
Chapitre 3 — Nombres et calculs · Quatrième
Un virus mesure $0{,}000\,000\,1$ mètre ; la distance Terre-Soleil vaut $150\,000\,000\,000$ mètres. Écrits ainsi, ces nombres sont illisibles — on ne peut ni les comparer, ni les calculer. Les puissances de $10$ servent exactement à cela : les rendre courts, comparables et calculables.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Puissance d'un nombre ; notation scientifique ; les préfixes de nano à giga. Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances ; utiliser diverses représentations d'un même nombre et passer de l'une à l'autre ; associer à des objets des ordres de grandeur.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il utilise les puissances de 10 d'exposants positifs ou négatifs » ; « il associe, dans le cas des nombres décimaux, écriture décimale, écriture fractionnaire et notation scientifique » ; « il utilise les puissances d'exposants strictement positifs d'un nombre pour simplifier l'écriture des produits ».
1. Puissance d'un nombre
Définition. Pour un nombre $a$ et un entier $n$ strictement positif :
$a^n = \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n \text{ facteurs}}.$
On lit « $a$ exposant $n$ », ou « $a$ puissance $n$ ». On note aussi $a^1 = a$.
$7\times7\times7\times7\times7 = 7^5, \qquad 2^5 = 32, \qquad 11^2 = 121, \qquad 5^3 = 125.$
L'exposant compte les FACTEURS, pas les multiplications. $2^5$ vaut $2\times2\times2\times2\times2$ : cinq facteurs, quatre signes $\times$. Et surtout $2^5 \neq 2\times5$ : $32$ et non $10$. C'est l'erreur numéro un du chapitre.
Signe d'une puissance. $(-3)^2 = +9$ et $(-3)^3 = -27$ : une puissance paire d'un nombre négatif est positive, une puissance impaire est négative — c'est la règle des signes du [chapitre 1] appliquée plusieurs fois.
$(-3)^2$ et $-3^2$ ne sont pas la même chose. Le premier vaut $9$, le second $-9$ : sans parenthèses, la puissance s'applique avant le signe.
2. Les puissances de 10
Définition (exposants négatifs, pour la base $10$).
$10^0 = 1, \qquad 10^{-n} = \frac{1}{10^n}.$
| Écriture | Valeur | Lecture |
|---|---|---|
| $10^4$ | $10\,000$ | 4 zéros après le $1$ |
| $10^1$ | $10$ | |
| $10^0$ | $1$ | |
| $10^{-1}$ | $0{,}1$ | 1 rang après la virgule |
| $10^{-3}$ | $0{,}001$ | $\dfrac{1}{1\,000}$ |
L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif. $10^{-3} = 0{,}001$ est positif — c'est un nombre petit, pas un nombre négatif. Confondre « petit » et « négatif » fausse toutes les comparaisons.
Les règles de calcul (à retrouver par la définition plutôt qu'à réciter) : $10^m\times10^n = 10^{m+n}, \qquad \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}, \qquad (10^m)^n = 10^{m\times n}.$
$10^3\times10^2 = \underbrace{(10\times10\times10)}_{3}\times\underbrace{(10\times10)}_{2} = 10^5.$
On ADDITIONNE les exposants, on ne les multiplie pas. $10^3\times10^2 = 10^5 = 100\,000$, et non $10^6$. Contrôle mental : $1\,000\times100 = 100\,000$ ✓.
3. La notation scientifique
Définition. Un nombre est en notation scientifique lorsqu'il s'écrit
$a\times10^n \qquad\text{avec}\qquad 1 \leqslant a < 10 \quad\text{et}\quad n \text{ entier relatif.}$
$3\,900\,000\,000 = 3{,}9\times10^9, \qquad 0{,}000783 = \frac{783}{1\,000\,000} = 7{,}83\times10^{-4}.$
La mantisse doit avoir UN seul chiffre non nul avant la virgule. $39\times10^8$ et $0{,}39\times10^{10}$ valent bien $3\,900\,000\,000$, mais ne sont pas en notation scientifique. C'est cette contrainte qui rend l'écriture unique, et donc la comparaison immédiate.
Comparer : on regarde d'abord l'exposant, puis, en cas d'égalité, la mantisse. $4{,}1\times10^{7} < 1{,}2\times10^{8}, \qquad 2{,}4\times10^{5} < 7{,}1\times10^{5}.$
4. Les préfixes et les ordres de grandeur
| Préfixe | Symbole | Facteur |
|---|---|---|
| giga | G | $10^{9}$ |
| méga | M | $10^{6}$ |
| kilo | k | $10^{3}$ |
| milli | m | $10^{-3}$ |
| micro | μ | $10^{-6}$ |
| nano | n | $10^{-9}$ |
$3 \text{ microlitres} = 3\times10^{-6} \text{ L}, \qquad 7 \text{ mégamètres} = 7\times10^{6} \text{ m}.$
Un ordre de grandeur sert à VÉRIFIER. Si un calcul de taille de bactérie donne $10^{3}$ m, inutile de chercher l'erreur dans le détail : le résultat est absurde. C'est le contrôle le plus rentable qui soit.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Écrire avec une puissance
Écrire sous la forme d'une seule puissance : a. $7\times7\times7\times7\times7$ · b. $3\times3\times3$ · c. $10\times10\times10\times10$ · d. $(-2)\times(-2)\times(-2)$.
Correction. a. $7^5$ · b. $3^3$ · c. $10^4$ · d. $(-2)^3$.
Exercice 2 — Calculer
Calculer : a. $2^6$ · b. $11^2$ · c. $(-5)^2$ · d. $(-5)^3$ · e. $-5^2$ · f. $10^{-2}$.
Correction. a. $64$ · b. $121$ · c. $25$ · d. $-125$ · e. $-25$ · f. $0{,}01$.
Les questions c et e donnent des résultats opposés : ce sont les parenthèses qui font la différence.
Exercice 3 — Correspondances
Compléter : a. $10^4 = \ldots$ · b. $10^{-3} = \dfrac{1}{\ldots} = \ldots$ · c. $0{,}01 = 10^{\ldots}$ · d. $1\,000\,000 = 10^{\ldots}$.
Correction. a. $10\,000$ · b. $\dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$ · c. $10^{-2}$ · d. $10^{6}$.
Exercice 4 — Notation scientifique
Écrire en notation scientifique : a. $3\,900\,000\,000$ · b. $0{,}000783$ · c. $47\times10^{3}$ · d. $0{,}05\times10^{-2}$.
Correction. a. $3{,}9\times10^9$. b. $7{,}83\times10^{-4}$. c. $47 = 4{,}7\times10^1$, donc $47\times10^3 = 4{,}7\times10^{4}$. d. $0{,}05 = 5\times10^{-2}$, donc $0{,}05\times10^{-2} = 5\times10^{-4}$.
Dans c et d, le nombre était déjà correct — mais pas en notation scientifique. C'est l'étape finale qu'on oublie.
Exercice 5 — Préfixes
Exprimer en unités du système international, en notation scientifique : a. $3$ μL · b. $7$ Mm · c. $250$ nm · d. $4{,}5$ GB (gigaoctets).
Correction. a. $3\times10^{-6}$ L. b. $7\times10^{6}$ m. c. $250\times10^{-9} = 2{,}5\times10^{-7}$ m. d. $4{,}5\times10^{9}$ octets.
Exercice 6 — Comparer
Ranger dans l'ordre croissant : $4{,}1\times10^{7}$ ; $1{,}2\times10^{8}$ ; $9{,}5\times10^{6}$ ; $2{,}3\times10^{7}$.
Correction. On compare d'abord les exposants, puis les mantisses à exposant égal : $9{,}5\times10^{6} < 2{,}3\times10^{7} < 4{,}1\times10^{7} < 1{,}2\times10^{8}.$ Contrôle : $9\,500\,000 < 23\,000\,000 < 41\,000\,000 < 120\,000\,000$ ✓.
Exercice 7 — Un ordre de grandeur
Le diamètre d'un cheveu est d'environ $70$ μm ; celui d'un globule rouge d'environ $7$ μm. a. Écrire ces deux longueurs en mètres, en notation scientifique. b. Combien de globules rouges faudrait-il aligner pour atteindre le diamètre d'un cheveu ?
Correction. a. $70$ μm $= 70\times10^{-6} = 7\times10^{-5}$ m ; $7$ μm $= 7\times10^{-6}$ m. b. $\frac{7\times10^{-5}}{7\times10^{-6}} = 10^{-5-(-6)} = 10^{1} = 10.$ Il en faudrait dix.
Le rapport se lit directement sur les exposants : un rang d'écart, donc un facteur $10$.
À retenir
$a^n = \underbrace{a\times\cdots\times a}_{n \text{ facteurs}} \qquad (n > 0)$ $2^5 = 32$, et non $2\times5$. Attention à $(-3)^2 = 9$ contre $-3^2 = -9$.
Puissances de 10 : $10^0 = 1, \qquad 10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ Exposant positif → autant de zéros ; exposant négatif → autant de rangs après la virgule. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.
$10^m\times10^n = 10^{m+n}, \qquad \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$
Notation scientifique : $a\times10^n$ avec $\mathbf{1 \leqslant a < 10}$ — la conversion finale de la mantisse est l'étape qu'on oublie. On compare d'abord par l'exposant.
Préfixes : nano $10^{-9}$ · micro $10^{-6}$ · milli $10^{-3}$ · kilo $10^{3}$ · méga $10^{6}$ · giga $10^{9}$.
Chapitre suivant : la divisibilité et les nombres premiers.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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