Mathématiques — 4ème
Dépendance de deux grandeurs — Maths Quatrième (chapitre 9)
Exprimer une grandeur en fonction d'une autre, tableau de valeurs, représentation graphique et lecture d'un graphique dans les deux sens. Programme du cycle…
Par ProfBot
Quand une grandeur dépend d'une autre
Chapitre 9 — Organisation et gestion de données · Quatrième
L'aire d'un carré dépend de son côté ; la température d'un four dépend du temps ; le prix d'un trajet dépend de la distance. Décrire cette dépendance — par une formule, par un tableau, par une courbe — et savoir passer de l'une à l'autre : voilà tout le chapitre. C'est la première marche vers la notion de fonction, qui sera formalisée en troisième.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Vocabulaire : variable, fonction, antécédent, image ; différents modes de représentation (expression, tableau de valeurs, représentation graphique, programme de calcul). Passer d'un mode de représentation à un autre ; modéliser un phénomène continu.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il produit une formule littérale représentant la dépendance de deux grandeurs » ; « il représente la dépendance de deux grandeurs par un graphique » ; « il utilise un graphique pour lire et interpréter différentes valeurs sur l'axe des abscisses ou l'axe des ordonnées ».
La notation $f(x)$ et les mots image et antécédent sont formalisés en troisième.
1. Écrire une formule
Méthode. On nomme par une lettre la grandeur qui varie, puis on exprime l'autre en fonction d'elle.
Exemple. Dans un rectangle de $20$ cm sur $13$ cm, on découpe un carré de côté $x$ à chacun des quatre coins. L'aire restante vaut $\mathcal{A} = \underbrace{20\times13}_{\text{aire totale}} - \underbrace{4x^2}_{\text{quatre carrés}} = 260 - 4x^2.$
Nommer la grandeur qui varie est le vrai travail. « Soit $x$ le côté d'un carré découpé, en cm » : cette phrase, écrite noir sur blanc, évite de confondre en route ce que la lettre désigne. Sans elle, on ne sait plus si $x$ est un côté, une aire ou un nombre de carrés.
La lettre a un domaine de validité. Ici $x$ doit rester positif et ne pas dépasser $6{,}5$ cm — sinon les carrés découpés se chevaucheraient sur la largeur de $13$ cm. La formule, elle, accepterait n'importe quel nombre : c'est la situation qui impose les limites.
2. Du tableau au graphique
À partir de la formule, on construit un tableau de valeurs, puis on place les points.
| $x$ (cm) | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| aire (cm²) | $260$ | $256$ | $244$ | $224$ | $196$ | $160$ | $116$ |
Un point du graphique se lit toujours $(\text{abscisse}\,;\text{ordonnée})$, dans cet ordre : d'abord ce qu'on choisit ($x$), ensuite ce qui en découle (l'aire). Inverser les deux revient à répondre à une autre question.
Cette dépendance n'est PAS proportionnelle. La courbe n'est pas une droite, et doubler $x$ ne divise pas l'aire par deux : à cause du $x^2$. Une formule contenant un carré exclut la proportionnalité — c'est le lien direct avec le [chapitre 8].
3. Lire un graphique dans les deux sens
Méthode.
- On connaît l'abscisse (le temps) : on monte jusqu'à la courbe, puis on lit à gauche sur l'axe vertical.
- On connaît l'ordonnée (la température) : on part de l'axe vertical, on trace l'horizontale jusqu'à la courbe, puis on descend.
Sur la figure : au bout de $7$ minutes, le four est à $160$ °C ; il atteint $110$ °C au bout de $4{,}5$ minutes.
Le sens de lecture dépend de la question, pas du dessin. « Quelle température à $7$ min ? » se lit de bas en haut ; « quand atteint-on $110$ °C ? » se lit de gauche à droite. Se tromper de sens donne une réponse dans la mauvaise unité — des minutes au lieu de degrés — et cela devrait alerter immédiatement.
Une lecture graphique est APPROCHÉE. On lit « environ $160$ °C », pas « exactement ». C'est normal, et c'est aussi pourquoi une formule reste plus précise quand on en dispose.
4. Exercices corrigés
Exercice 1 — Écrire une formule
Exprimer, en fonction de $x$ : a. le périmètre d'un carré de côté $x$ ; b. l'aire d'un rectangle de longueur $x$ et de largeur $5$ ; c. le prix de $x$ croissants à $1{,}20$ € pièce ; d. le prix d'une course de taxi de $x$ km, avec $4$ € de prise en charge et $1{,}50$ € par km.
Correction. a. $P = 4x$ · b. $\mathcal{A} = 5x$ · c. $p = 1{,}20x$ · d. $p = 1{,}50x + 4$.
Les trois premières sont proportionnelles ; la quatrième ne l'est pas, à cause des $4$ € fixes.
Exercice 2 — Compléter un tableau
Pour l'aire restante $\mathcal{A} = 260 - 4x^2$, compléter :
| $x$ | $0$ | $1$ | $3$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\mathcal{A}$ | ? | ? | ? | ? | ? |
Correction. $260$ ; $260-4 = 256$ ; $260-36 = 224$ ; $260-100 = 160$ ; $260-144 = 116$.
Attention : $4x^2$ signifie $4\times x^2$, donc pour $x=3$ on calcule $4\times9 = 36$ — et non $(4\times3)^2 = 144$.
Exercice 3 — Lire un graphique
D'après le graphique du four : a. Quelle est la température au bout de $3$ minutes ? b. Au bout de combien de temps le four atteint-il $200$ °C ? c. Que se passe-t-il après $9$ minutes ?
Correction. a. $80$ °C. b. Au bout de $9$ minutes. c. La température cesse d'augmenter : elle reste à $200$ °C. Le four a atteint sa consigne, le thermostat maintient la température.
Exercice 4 — Choisir le bon sens
Pour chaque question, dire si l'on part de l'axe des abscisses ou de celui des ordonnées. a. « Quelle est l'aire pour $x = 4$ ? » b. « Pour quelle valeur de $x$ l'aire vaut-elle $196$ cm² ? »
Correction. a. On part de l'axe des abscisses ($x = 4$) et l'on monte : l'aire vaut $196$ cm². b. On part de l'axe des ordonnées ($196$) et l'on descend : $x = 4$. Les deux questions sont symétriques l'une de l'autre — et c'est la même paire de valeurs qui y répond.
Exercice 5 — Un problème de clôture
Un éleveur dispose de $40$ m de grillage pour un enclos rectangulaire. a. Si la largeur vaut $x$, exprimer la longueur en fonction de $x$. b. En déduire l'aire en fonction de $x$. c. Calculer l'aire pour $x = 5$, $x = 10$ et $x = 15$.
Correction. a. Le demi-périmètre vaut $20$, donc la longueur est $20 - x$. b. $\mathcal{A} = x(20-x)$. c. $\mathcal{A}(5) = 5\times15 = 75$ m² · $\mathcal{A}(10) = 10\times10 = 100$ m² · $\mathcal{A}(15) = 15\times5 = 75$ m².
Les valeurs $5$ et $15$ donnent la même aire — et $10$ fait mieux. C'est le carré qui l'emporte : un résultat qu'on démontrera au lycée.
Exercice 6 — Proportionnel ou non ?
Ces dépendances sont-elles proportionnelles ? a. $p = 1{,}20x$ · b. $p = 1{,}50x + 4$ · c. $\mathcal{A} = x^2$ · d. $d = 80t$.
Correction. a. Oui (coefficient $1{,}20$). b. Non : le terme fixe $+4$ empêche le passage par l'origine — pour $x = 0$, on paie déjà $4$ €. c. Non : le carré. d. Oui (coefficient $80$).
Exercice 7 — Construire un graphique
Un forfait de téléphone coûte $8$ € par mois plus $0{,}05$ € par minute. a. Exprimer le prix $p$ en fonction du nombre $t$ de minutes. b. Calculer $p$ pour $t = 0$, $100$, $200$, $300$. c. Que représente le point d'ordonnée $8$ sur le graphique ?
Correction. a. $p = 0{,}05t + 8$. b. $8$ € ; $13$ € ; $18$ € ; $23$ €. c. C'est le prix pour zéro minute : les $8$ € de forfait fixe, payés même sans appeler. Sur le graphique, c'est le point où la droite coupe l'axe vertical.
À retenir
Écrire une formule commence par nommer la grandeur qui varie : « soit $x$ le… ». La lettre a un domaine de validité imposé par la situation, pas par la formule.
Trois représentations : formule · tableau de valeurs · graphique. Savoir passer de l'une à l'autre.
Un point se lit $(\text{abscisse}\,;\text{ordonnée})$, dans cet ordre.
Lire un graphique dans les deux sens : on connaît l'abscisse → on monte ; on connaît l'ordonnée → on descend. Le sens dépend de la question, et une réponse dans la mauvaise unité signale l'erreur.
Une lecture graphique est approchée.
Un $x^2$ (ou un terme fixe) dans la formule exclut la proportionnalité.
Chapitre suivant : les statistiques.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
← Chapitre 8 · La proportionnalité | Chapitre 10 · Statistiques →