Mathématiques — 4ème
Calcul littéral — Maths Quatrième (chapitre 6)
Structure d'une expression, réduction, distributivité simple, développement et factorisation, démonstration de l'équivalence de deux programmes de calcul.…
Par ProfBot
Calcul littéral : développer, factoriser, réduire
Chapitre 6 — Nombres et calculs · Quatrième
« Choisis un nombre, triple-le, ajoute $15$. » — « Choisis un nombre, ajoute $5$, multiplie par $3$. » Ces deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ? Essayer avec $2$, puis $7$, puis $100$ ne prouve rien : il resterait une infinité de cas. Une seule ligne de calcul littéral, elle, règle la question pour tous les nombres à la fois.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Notions d'inconnue, d'équation, d'indéterminée, d'identité ; propriété de distributivité. Développer, factoriser, réduire des expressions algébriques dans des cas très simples ; utiliser le calcul littéral pour traduire une propriété générale, démontrer un résultat général, valider ou réfuter une conjecture.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il identifie la structure d'une expression littérale (somme, produit) » ; « il utilise la propriété de distributivité simple » ; « il démontre l'équivalence de deux programmes de calcul ».
La distributivité double $(a+b)(c+d)$ et l'identité $a^2-b^2$ sont au programme de troisième.
1. Les conventions d'écriture
| On écrit | Au lieu de |
|---|---|
| $3x$ | $3\times x$ |
| $xy$ | $x\times y$ |
| $x^2$ | $x\times x$ |
| $-x$ | $-1\times x$ |
Le signe $\times$ ne disparaît qu'entre deux lettres ou entre un nombre et une lettre — jamais entre deux nombres.
Réduire, c'est regrouper les termes semblables : $5x + 3 - 2x + 7 = 3x + 10, \qquad 4x^2 + x - x^2 = 3x^2 + x.$
$3x^2$ et $3x$ ne sont PAS semblables. On ne peut pas les additionner, pas plus que des pommes et des poires. Seuls les termes ayant exactement la même partie littérale se regroupent.
2. Reconnaître la structure
Méthode. La structure d'une expression est donnée par l'opération qu'on effectuerait en dernier.
- $3x + 12$ est une somme (de $3x$ et de $12$).
- $3(x+4)$ est un produit (de $3$ par $x+4$).
Cette question n'est pas décorative : elle décide de la suite. On développe un produit pour en faire une somme ; on factorise une somme pour en faire un produit. Sans savoir de quoi on part, on ne sait pas quoi faire.
3. Développer : la distributivité simple
Propriété (distributivité). Pour tous nombres $k$, $a$, $b$ :
$k(a+b) = ka + kb, \qquad k(a-b) = ka - kb.$
La figure le montre : le grand rectangle a pour aire $k(a+b)$, et il est fait de deux morceaux d'aires $ka$ et $kb$. C'est la même surface, écrite de deux façons.
$3(4x-2) = 12x - 6, \qquad 3x(4+8x) = 12x + 24x^2.$
Le facteur multiplie TOUS les termes de la parenthèse. $3(4x-2) = 12x - 2$ est l'erreur classique : le $3$ a été oublié sur le second terme. Contrôle en dix secondes : remplacer $x$ par $1$ — à gauche $3\times2 = 6$, à droite $12-6 = 6$ ✓ (alors que $12-2 = 10$ ✗).
Avec un signe moins devant la parenthèse, tous les signes changent : $6(3 - 1{,}5x) - 9x = 18 - 9x - 9x = 18 - 18x.$
Développer puis réduire : $17x + 4x(5-x) = 17x + 20x - 4x^2 = 37x - 4x^2.$
4. Factoriser
Factoriser, c'est faire apparaître un facteur commun : $12x - 30 = 6(2x - 5), \qquad 15x^2 + 18x = 3x(5x + 6), \qquad 27x + 3 = 3(9x+1).$
On cherche le PLUS GRAND facteur commun. $12x - 30 = 2(6x-15)$ est juste, mais incomplet : $3$ est encore en facteur. La factorisation attendue est $6(2x-5)$. Pour la partie littérale, même principe : dans $15x^2+18x$, le facteur commun est $3x$ et non $3$ seul.
Le contrôle est immédiat : on redéveloppe. $3x(5x+6) = 15x^2 + 18x$ ✓. Cela coûte cinq secondes et attrape toutes les erreurs.
5. Démontrer avec des lettres
Programme A : choisir un nombre, le tripler, ajouter $15$ → $3x + 15$. Programme B : choisir un nombre, ajouter $5$, multiplier par $3$ → $(x+5)\times3 = 3x+15$.
Les deux expressions sont identiques : les programmes donnent le même résultat pour tout nombre choisi. C'est démontré, et non plus seulement constaté.
Trois essais ne démontrent rien ; une seule ligne d'algèbre, si. Si les deux programmes coïncident sur $2$, $7$ et $100$, cela ne prouve pas qu'ils coïncident sur $1\,000\,001$. Le calcul littéral traite tous les nombres d'un coup — c'est exactement pour cela qu'il existe.
Un contre-exemple suffit en revanche pour RÉFUTER. Si deux programmes donnent des résultats différents pour une seule valeur, ils ne sont pas équivalents, et la démonstration s'arrête là.
6. Exercices corrigés
Exercice 1 — Structure
Ces expressions sont-elles des sommes ou des produits ? a. $5(x-2)$ · b. $5x - 2$ · c. $3x + 4x^2$ · d. $2x(x+7)$.
Correction. a. produit · b. somme · c. somme · d. produit.
Exercice 2 — Réduire
Réduire : a. $7x - 3 + 2x + 8$ · b. $5x^2 - x + 2x^2 + 4x$ · c. $9x - 4 - 12x + 4$.
Correction. a. $9x + 5$ · b. $7x^2 + 3x$ · c. $-3x$ (les $-4$ et $+4$ s'annulent).
Exercice 3 — Développer
Développer et réduire : a. $3(4x-2)$ · b. $3x(4+8x)$ · c. $17x + 4x(5-x)$ · d. $6(3-1{,}5x) - 9x$.
Correction. a. $12x - 6$. b. $12x + 24x^2$. c. $17x + 20x - 4x^2 = 37x - 4x^2$. d. $18 - 9x - 9x = 18 - 18x$.
Contrôle de d avec $x = 1$ : à gauche $6\times1{,}5 - 9 = 0$, à droite $18-18 = 0$ ✓.
Exercice 4 — Factoriser
Factoriser : a. $12x - 30$ · b. $15x^2 + 18x$ · c. $27x + 3$ · d. $14x^2 - 21x$.
Correction. a. $6(2x-5)$ · b. $3x(5x+6)$ · c. $3(9x+1)$ · d. $7x(2x-3)$.
Dans c, ne pas oublier le $+1$ : $27x+3 = 3(9x+1)$ et non $3\times9x$. Quand on met tout en facteur, il reste toujours un $1$.
Exercice 5 — Deux programmes
Programme A : choisir un nombre, le tripler, puis ajouter $15$. Programme B : choisir un nombre, lui ajouter $5$, puis multiplier par $3$. a. Tester les deux avec $4$, puis avec $-2$. b. Sont-ils équivalents ? Le démontrer.
Correction. a. Avec $4$ : A donne $12+15 = 27$ ; B donne $9\times3 = 27$. Avec $-2$ : A donne $-6+15 = 9$ ; B donne $3\times3 = 9$. b. En notant $x$ le nombre choisi : $\text{A} : 3x + 15, \qquad \text{B} : (x+5)\times3 = 3x + 15.$ Les deux expressions sont égales, donc les programmes sont équivalents pour tout nombre. $\blacksquare$
Exercice 6 — Deux programmes qui ne le sont pas
Programme C : choisir un nombre, le doubler, ajouter $6$. Programme D : choisir un nombre, ajouter $6$, doubler. Sont-ils équivalents ?
Correction. En notant $x$ le nombre choisi : $\text{C} : 2x + 6, \qquad \text{D} : (x+6)\times2 = 2x + 12.$ Les expressions diffèrent : les programmes ne sont pas équivalents. Contre-exemple : avec $x = 1$, C donne $8$ et D donne $14$.
L'ordre des opérations change tout — c'est justement ce que le calcul littéral rend visible.
Exercice 7 — Une démonstration
Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Correction. Notons les trois entiers $n$, $n+1$ et $n+2$. Leur somme vaut $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1),$ qui est bien un multiple de $3$. $\blacksquare$
Le résultat est ici factorisé exprès : c'est la forme $3\times(\dots)$ qui montre le multiple de $3$.
Exercice 8 — Un périmètre
On juxtapose un triangle équilatéral de côté $x$ et un carré de côté $x$ (ils partagent un côté). a. Exprimer le périmètre de la figure obtenue. b. Le triangle et le carré peuvent-ils avoir le même périmètre ?
Correction. a. La figure a $2$ côtés du triangle et $3$ côtés du carré à l'extérieur (le côté commun n'est compté dans aucun), soit $P = 2x + 3x = 5x.$ b. Le périmètre du triangle vaut $3x$, celui du carré $4x$. Ils seraient égaux si $3x = 4x$, c'est-à-dire $x = 0$ — ce qui ne correspond à aucune figure. Non, c'est impossible.
À retenir
Conventions : $3x$, $xy$, $x^2$ · seuls les termes de même partie littérale se regroupent.
Structure : l'opération faite en dernier. $3x+12$ est une somme, $3(x+4)$ un produit.
$k(a+b) = ka + kb$ Le facteur multiplie tous les termes de la parenthèse.
Factoriser = faire apparaître le plus grand facteur commun ; on vérifie en redéveloppant.
Démontrer l'équivalence de deux programmes : les traduire en expressions, puis les développer. Trois essais ne démontrent rien ; un seul contre-exemple réfute.
Chapitre suivant : les équations du premier degré.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
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