Mathématiques — 4ème

Le cosinus dans le triangle rectangle — Maths Quatrième (chapitre 14)

Côté adjacent et hypoténuse, définition du cosinus, calcul d'une longueur et d'une mesure d'angle avec la touche arccos. Programme du cycle 4, avec…

Par ProfBot

Le cosinus dans le triangle rectangle

Chapitre 14 — Espace et géométrie · Quatrième

Pythagore relie les trois longueurs d'un triangle rectangle. Le cosinus fait mieux : il relie une longueur à un angle. Avec lui, on calcule l'inclinaison d'une échelle, la pente d'une route ou la hauteur d'un immeuble — à partir de mesures qu'on peut prendre depuis le sol.

Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Lignes trigonométriques dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente. Mobiliser les connaissances des figures et des configurations pour déterminer des grandeurs géométriques.

Attendus de fin d'année de 4e : « le cosinus d'un angle d'un triangle rectangle » ; « dans un triangle rectangle, il utilise le cosinus pour déterminer la mesure d'un angle ».

Le sinus et la tangente sont au programme de troisième : cette année, seul le cosinus est exigible.

1. Le vocabulaire

Dans un triangle rectangle, et par rapport à un angle aigu choisi :

Nom du côtéDéfinition
hypoténusele côté opposé à l'angle droit (fixe)
côté adjacentcelui qui touche l'angle choisi, sans être l'hypoténuse

Deux triangles identiques : selon qu'on regarde l'angle B ou l'angle C, le côté adjacent change.

Le côté adjacent DÉPEND de l'angle choisi ; l'hypoténuse, non. Sur la figure, $AB$ est adjacent à $\widehat B$, mais c'est $AC$ qui est adjacent à $\widehat C$. La première question, avant toute formule, est donc : de quel angle est-ce que je parle ?

2. La définition

Définition. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat B$ :

$\cos\widehat B = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}.$

Un triangle 3-4-5 avec le cosinus de l'angle B calculé.

$\cos\widehat B = \frac{AB}{BC} = \frac45 = 0{,}8.$

Le cosinus d'un angle aigu est TOUJOURS compris entre $0$ et $1$. C'est un quotient dont le numérateur (un côté de l'angle droit) est plus petit que le dénominateur (l'hypoténuse, le plus long côté). Trouver $\cos\widehat B = 1{,}25$ signale une erreur : on a probablement inversé la fraction.

Le cosinus ne dépend que de l'ANGLE, pas de la taille du triangle. Deux triangles rectangles de tailles différentes mais de mêmes angles ont le même cosinus — c'est exactement la proportionnalité du [chapitre 13]. C'est ce qui rend la touche cos de la calculatrice possible : elle ne connaît que l'angle.

3. Les deux usages

Calculer une longueur

Un triangle est rectangle en $A$, avec $\widehat B = 35°$ et $BC = 10$ cm. Calculer $AB$.

$AB$ est adjacent à $\widehat B$ et $BC$ est l'hypoténuse : $\cos35° = \frac{AB}{10} \quad\Longrightarrow\quad AB = 10\times\cos35° \approx 8{,}19 \text{ cm}.$

Calculer un angle

Un triangle est rectangle en $A$, avec $AB = 4$ et $BC = 5$. Calculer $\widehat B$.

$\cos\widehat B = \frac45 = 0{,}8 \quad\Longrightarrow\quad \widehat B = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°.$

$\arccos$ (souvent noté $\cos^{-1}$) n'est PAS $\dfrac{1}{\cos}$. C'est la touche qui fait le chemin inverse : elle part du rapport et rend l'angle. On l'obtient avec SHIFT (ou 2nde) suivi de cos.

La calculatrice doit être en DEGRÉS. Le mode RAD ou GRAD donne des résultats faux sans le moindre avertissement. Contrôle avant de commencer : $\cos60°$ doit afficher $0{,}5$.

4. Combiner Pythagore et le cosinus

Une échelle de 13 m appuyée contre un mur, à 5 m du pied.

Exemple. Une échelle de $13$ m est posée contre un mur vertical ; son pied est à $5$ m du mur.

Hauteur atteinte (Pythagore) : $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \ \Longrightarrow\ h = 12 \text{ m}.$

Angle avec le sol (cosinus) : le côté adjacent vaut $5$ et l'hypoténuse $13$, donc $\cos\alpha = \frac{5}{13} \approx 0{,}3846 \ \Longrightarrow\ \alpha \approx 67{,}4°.$

Un fabricant recommande un angle compris entre $65°$ et $75°$ : l'échelle est bien posée.

Deux outils, deux questions. Pythagore répond aux questions de longueur ; le cosinus, aux questions d'angle (ou de longueur quand un angle est donné). Devant un exercice, la première décision est de choisir lequel s'applique — et il arrive, comme ici, qu'il faille les deux.

5. Exercices corrigés

Exercice 1 — Vocabulaire

Un triangle $RST$ est rectangle en $S$. Pour l'angle $\widehat R$, quel est le côté adjacent ? l'hypoténuse ?

Correction. L'hypoténuse est $RT$ (opposée à l'angle droit en $S$). Le côté adjacent à $\widehat R$ est $RS$ — celui qui touche $\widehat R$ sans être l'hypoténuse.

Exercice 2 — Calculer un cosinus

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 6$, $AC = 8$ et $BC = 10$. Calculer $\cos\widehat B$ et $\cos\widehat C$.

Correction. $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0{,}6, \qquad \cos\widehat C = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0{,}8.$ Les deux valeurs sont bien comprises entre $0$ et $1$ ✓.

Exercice 3 — Calculer un angle

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle mesure $4$ cm et l'hypoténuse $5$ cm. Calculer la mesure de cet angle, au dixième de degré.

Correction. $\cos\widehat B = \frac45 = 0{,}8 \ \Longrightarrow\ \widehat B = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°.$

Exercice 4 — Calculer une longueur

Un triangle $MNP$ est rectangle en $M$, avec $\widehat N = 35°$ et $NP = 10$ cm. Calculer $MN$ au centième.

Correction. $MN$ est adjacent à $\widehat N$, $NP$ est l'hypoténuse : $\cos35° = \frac{MN}{10} \ \Longrightarrow\ MN = 10\times\cos35° \approx 8{,}19 \text{ cm}.$ Contrôle : $MN$ doit être plus petit que l'hypoténuse ✓.

Exercice 5 — L'échelle

Une échelle de $13$ m est posée contre un mur vertical, son pied à $5$ m du mur. Le fabricant recommande un angle au sol compris entre $65°$ et $75°$. a. Quelle hauteur atteint-elle ? b. La pose respecte-t-elle la recommandation ?

Correction. a. Par Pythagore : $h^2 = 169-25 = 144$, donc $h = 12$ m. b. $\cos\alpha = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}3846$, donc $\alpha \approx 67{,}4°$. Comme $65 < 67{,}4 < 75$, oui, la recommandation est respectée.

Exercice 6 — Une rampe

Une rampe d'accès mesure $6$ m de long et son extrémité est à $4{,}8$ m du bâtiment, mesurés au sol. Quel angle fait-elle avec le sol ?

Correction. Le côté adjacent vaut $4{,}8$ m, l'hypoténuse $6$ m : $\cos\alpha = \frac{4{,}8}{6} = 0{,}8 \ \Longrightarrow\ \alpha = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°.$

Une rampe d'accès réelle est bien plus douce (moins de $5°$) : celle-ci serait impraticable en fauteuil — un bon exemple de résultat mathématiquement juste et pratiquement absurde.

Exercice 7 — Un angle particulier

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure $10$ cm et un côté de l'angle droit $5$ cm. a. Calculer l'angle adjacent à ce côté. b. Que remarque-t-on ?

Correction. a. $\cos\alpha = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$, donc $\alpha = \arccos(0{,}5) = 60°$ exactement. b. Le cosinus $0{,}5$ donne un angle rond : $\cos60° = 0{,}5$ est l'une des rares valeurs exactes à connaître. C'est le triangle « demi-équilatéral ».

Exercice 8 — Vérifier une inclinaison

Un panneau solaire de $2$ m de long doit être incliné à $30°$ par rapport au sol. À quelle distance horizontale son extrémité haute se projette-t-elle ?

Correction. La distance horizontale est le côté adjacent à l'angle de $30°$, et le panneau est l'hypoténuse : $\cos30° = \frac{d}{2} \ \Longrightarrow\ d = 2\times\cos30° \approx 1{,}73 \text{ m}.$

À retenir

Hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit, fixe. Côté adjacent : celui qui touche l'angle choisi — il change si l'on change d'angle.

$\cos\widehat B = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

Le cosinus d'un angle aigu est toujours entre $0$ et $1$, et il ne dépend que de l'angle.

Longueur cherchée → on multiplie : $AB = BC\times\cos\widehat B$. Angle cherché → on utilise $\arccos$ (touche SHIFT + cos), qui n'est pas $\frac{1}{\cos}$.

La calculatrice doit être en DEGRÉS : vérifier que $\cos60° = 0{,}5$.

Pythagore pour les longueurs, cosinus pour les angles — et parfois les deux dans le même exercice.

Chapitre suivant : les transformations et le repérage dans l'espace.

Le programme complet de quatrième

Nombres et calculs

  1. Les nombres relatifs
  2. Fractions et nombres rationnels
  3. Puissances et notation scientifique
  4. Divisibilité et nombres premiers
  5. Les racines carrées
  6. Calcul littéral
  7. Équations du premier degré

Organisation et gestion de données

  1. La proportionnalité
  2. Dépendance de deux grandeurs
  3. Statistiques
  4. Probabilités

Espace et géométrie

  1. Le théorème de Pythagore
  2. Théorème de Thalès et agrandissements
  3. Le cosinus dans le triangle rectangle
  4. Translation et repérage dans l'espace

Grandeurs et mesures

  1. Volumes de la pyramide et du cône

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