Mathématiques — 4ème
Le théorème de Pythagore — Maths Quatrième (chapitre 12)
Théorème de Pythagore, calcul de l'hypoténuse et d'un côté de l'angle droit, réciproque et contraposée pour démontrer qu'un triangle est rectangle.…
Par ProfBot
Le théorème de Pythagore
Chapitre 12 — Espace et géométrie · Quatrième
Comment vérifier qu'une étagère est bien d'équerre, sans équerre ? En mesurant trois longueurs. Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle par une égalité si simple qu'elle permet, dans les deux sens, de calculer une longueur inconnue ou de démontrer qu'un angle est droit.
Au programme officiel (programme du cycle 4, BO n°31 du 30 juillet 2020, en vigueur en quatrième). Le théorème de Pythagore et sa réciproque. Mobiliser les connaissances des figures et des configurations pour déterminer des grandeurs géométriques ; mener des raisonnements et s'initier à la démonstration.
Attendus de fin d'année de 4e : « Il sait calculer une longueur d'un côté d'un triangle rectangle à partir de la connaissance des longueurs des deux autres » ; « il démontre qu'un triangle est rectangle à partir de la connaissance des longueurs de ses côtés ».
1. Le vocabulaire
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le plus long des trois côtés.
L'hypoténuse est le côté qui ne touche pas l'angle droit. C'est le repère infaillible — bien plus sûr que « celui qui est en biais », car la figure peut être dessinée dans n'importe quelle position.
2. Le théorème
Théorème de Pythagore. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors
$BC^2 = AB^2 + AC^2.$
L'égalité est une histoire d'aires : le carré construit sur l'hypoténuse a exactement l'aire des deux autres réunis — $16+9 = 25$.
L'hypoténuse est SEULE de son côté du signe $=$. Écrire $AB^2 = BC^2 + AC^2$ quand le triangle est rectangle en $A$ fausse tout. Avant d'écrire l'égalité, repérer l'angle droit et nommer l'hypoténuse.
3. Calculer une longueur
Cas 1 — l'hypoténuse est inconnue : on ADDITIONNE. $h^2 = 4^2 + 3^2 = 16+9 = 25, \qquad h = \sqrt{25} = 5.$
Cas 2 — un côté de l'angle droit est inconnu : on SOUSTRAIT. $5^2 = c^2 + 3^2 \ \Longrightarrow\ c^2 = 25 - 9 = 16 \ \Longrightarrow\ c = \sqrt{16} = 4.$
Additionner ou soustraire selon ce qu'on cherche — c'est la décision qui compte, et elle se prend en regardant si l'inconnue est l'hypoténuse ou non. Contrôle systématique : l'hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux autres côtés. Trouver une hypoténuse de $2$ cm dans un triangle qui a un côté de $3$ cm signale une addition faite à la place d'une soustraction.
Le résultat n'est pas toujours entier : $h^2 = 5^2+3^2 = 34 \ \Longrightarrow\ h = \sqrt{34} \approx 5{,}8 \text{ cm}.$ On garde la valeur exacte $\sqrt{34}$ dans les calculs, et l'on n'arrondit qu'à la fin.
4. La réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle
Réciproque du théorème de Pythagore. Si, dans un triangle $ABC$,
$BC^2 = AB^2 + AC^2,$
alors le triangle est rectangle en $A$.
Contraposée. Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors le triangle n'est pas rectangle.
Méthode en trois temps.
1. Repérer le plus grand côté : c'est le seul candidat au rôle d'hypoténuse.
2. Calculer séparément son carré, d'une part, et la somme des carrés des deux autres, d'autre part.
3. Comparer, et conclure.
Exemple. Une étagère avec $RS = 42$ cm, $TR = 40$ cm et $ST = 58$ cm : $ST^2 = 58^2 = 3\,364, \qquad RS^2 + TR^2 = 1\,764 + 1\,600 = 3\,364.$ Les deux résultats sont égaux : le triangle est rectangle en $R$, l'étagère est bien d'équerre.
Deux calculs SÉPARÉS, puis une comparaison. Écrire d'emblée « $ST^2 = RS^2+TR^2$ » reviendrait à supposer ce qu'on veut démontrer. On calcule chaque membre dans son coin, puis on conclut — c'est la structure même d'une réciproque.
5. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculer l'hypoténuse
Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calculer $BC$.
Correction. D'après le théorème de Pythagore, $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100, \qquad BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.$ Contrôle : $10 > 8$ et $10 > 6$ ✓.
Exercice 2 — Calculer un côté de l'angle droit
Un triangle $DEF$ est rectangle en $D$, avec $EF = 13$ cm et $DE = 5$ cm. Calculer $DF$.
Correction. $EF$ est l'hypoténuse (elle ne touche pas l'angle droit en $D$) : $EF^2 = DE^2 + DF^2 \ \Longrightarrow\ 169 = 25 + DF^2 \ \Longrightarrow\ DF^2 = 144 \ \Longrightarrow\ DF = 12 \text{ cm}.$
Exercice 3 — Un résultat non entier
Un triangle est rectangle avec des côtés de l'angle droit de $5$ cm et $3$ cm. Calculer l'hypoténuse, en valeur exacte puis approchée au dixième.
Correction. $h^2 = 25 + 9 = 34, \qquad h = \sqrt{34} \approx 5{,}8 \text{ cm}.$
Exercice 4 — Réciproque
Un triangle a pour côtés $9$ cm, $12$ cm et $15$ cm. Est-il rectangle ?
Correction. Le plus grand côté est $15$ cm. $15^2 = 225, \qquad 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225.$ Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de $15$ cm.
Exercice 5 — Contraposée
Un triangle a pour côtés $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm. Est-il rectangle ?
Correction. $9^2 = 81, \qquad 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74.$ $81 \neq 74$ : le triangle n'est pas rectangle.
Exercice 6 — L'étagère
Alan a posé une étagère contre un mur vertical. Il mesure $RS = 42$ cm, $TR = 40$ cm et $ST = 58$ cm. L'étagère est-elle horizontale (autrement dit, l'angle en $R$ est-il droit) ?
Correction. $ST^2 = 58^2 = 3\,364, \qquad RS^2 + TR^2 = 42^2 + 40^2 = 1\,764 + 1\,600 = 3\,364.$ Les deux résultats sont égaux : le triangle $RST$ est rectangle en $R$. Oui, l'étagère est bien d'équerre.
Exercice 7 — L'échelle
Une échelle de $13$ m est appuyée contre un mur vertical ; son pied est à $5$ m du mur. a. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? b. L'échelle, le mur et le sol forment-ils bien un triangle rectangle ? Justifier.
Correction. a. Le mur est vertical, donc l'angle au sol est droit et l'échelle est l'hypoténuse : $13^2 = 5^2 + h^2 \ \Longrightarrow\ h^2 = 169 - 25 = 144 \ \Longrightarrow\ h = 12 \text{ m}.$ b. Oui : c'est une hypothèse de l'énoncé (le mur est perpendiculaire au sol), et c'est elle qui autorise l'emploi du théorème. Sans elle, aucun calcul n'est possible.
Le triplet $5$-$12$-$13$ est, comme $3$-$4$-$5$, à reconnaître d'un coup d'œil : ce sont des longueurs entières qui reviennent souvent.
Exercice 8 — Une diagonale
Un rectangle mesure $9$ cm sur $12$ cm. Calculer la longueur de sa diagonale.
Correction. La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles dont elle est l'hypoténuse : $d^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225, \qquad d = 15 \text{ cm}.$
À retenir
Hypoténuse = le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long, et il ne touche pas l'angle droit.
$BC^2 = AB^2 + AC^2 \qquad (\text{rectangle en } A)$ L'hypoténuse est seule de son côté du signe $=$.
Calculer : l'hypoténuse est inconnue → on additionne ; un côté de l'angle droit est inconnu → on soustrait. Contrôle : l'hypoténuse doit être plus longue que les deux autres.
Réciproque : on calcule les deux membres séparément, on compare — après avoir repéré le plus grand côté. Contraposée : si l'égalité est fausse, le triangle n'est pas rectangle.
Triplets à reconnaître : $3$-$4$-$5$ · $5$-$12$-$13$ · $9$-$12$-$15$ (le triple du premier).
Chapitre suivant : le théorème de Thalès et les agrandissements.
Le programme complet de quatrième
Nombres et calculs
- Les nombres relatifs
- Fractions et nombres rationnels
- Puissances et notation scientifique
- Divisibilité et nombres premiers
- Les racines carrées
- Calcul littéral
- Équations du premier degré
Organisation et gestion de données
Espace et géométrie
- Le théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès et agrandissements
- Le cosinus dans le triangle rectangle
- Translation et repérage dans l'espace
Grandeurs et mesures
← Chapitre 11 · Probabilités | Chapitre 13 · Théorème de Thalès et agrandissements →